深海起重機系統的實時軌跡規劃方法

王 岳 孫 寧 吳易鳴 梁 瀟 陳 鶴 方勇純

在21 世紀,社會發展伴隨著快速增長的資源需求,為開采豐富的海洋資源,海洋工程領域日益受到全球各國關注.在這種情況下,積極發展海洋裝備設施技術至關重要.深海起重機在海洋工程中扮演著重要角色,例如海底隧道的搭建、跨海橋梁等項目中水下吊裝作業和水下補給等任務.因此,針對深海起重機的研究具有非常重要的實際意義.

然而,由于起重機的固有結構,其所吊運負載的運動無法直接驅動,只能通過臺車運動間接控制,從而產生欠驅動自由度(即負載擺角).這種待控自由度多于控制輸入的系統,被稱作欠驅動系統[1-4].欠驅動系統在工業生產中普遍存在,如欠驅動機械臂[5]、下肢外骨骼[6]、無人機系統[7]、欠驅動TORA(Translational oscillators with rotating actuator)系統[8]以及欠驅動起重機系統[9-10],其中欠驅動起重機系統又可細分為橋式起重機系統[11-13]、塔式起重機系統[14-15]、桅桿式起重機系統[16]、伴有雙擺特性的起重機系統[17-18]等.本文研究的深海起重機系統是一種在水下環境運輸負載的欠驅動橋式起重機系統.一方面,系統本身存在復雜的欠驅動特性、非線性與耦合性;另一方面,在特殊的應用環境下,負載運輸過程還會受到水流作用力的影響.海水作用力的存在也使系統各狀態量間耦合關系更為復雜.因此,深海起重機系統依然存在許多懸而未決的控制難題.

近年來,軌跡規劃[19-22]方法成為解決欠驅動系統控制問題的常用方法,用軌跡規劃解決起重機控制問題[23-24]也逐漸一般化,此類方法可看作從系統輸入到輸出的一種解,通過考慮具體的控制目標,將已知參數與期望軌跡作為系統輸入,并將可驅動狀態量(如橋式起重機的臺車位移、速度、加速度)的時間序列作為系統輸出.根據實際需求,規劃所得軌跡可對系統能耗、運輸效率等指標進行優化,同時還能夠保證吊運的平穩性和準確性.迄今為止,研究人員針對陸地起重機系統(陸地橋式起重機、塔式起重機)提出了基于軌跡規劃與跟蹤的控制方法.具體而言,對雙擺起重機系統,陳鶴等[25]結合高斯偽譜法,將雙擺吊車的控制問題轉化為函數的優化問題,提出了一種時間最優的消擺軌跡規劃方法;Sun 等[26]設計了一種能量最優的軌跡規劃方法,可在整個運輸過程中保證臺車精確定位,降低系統的能量能耗,并有效抑制負載的殘余擺動;Boscario等[27]提出了一種軌跡規劃算法,可增強軌跡對系統參數的魯棒性,有效抑制負載的殘余擺動;Zhang等[28]提出了一種適用于非零初始負載擺角的誤差跟蹤控制方法.對塔式起重機系統,Liu 等[29]為起重臂和臺車規劃了一條軌跡,此軌跡不僅能實現有效載荷的運輸,還可改善系統的瞬態性能.

然而,上述現有的針對陸地起重機系統的軌跡規劃方法均需離線進行,無法很好地實現對系統的實時規劃/控制,因此,在一些對實時性要求較高的場合,現有離線規劃方法便不再適用.以橋式起重機系統為例,當臺車目標位置發生變化時,需重新離線計算軌跡,使作業效率受到影響.為滿足實時性要求,一些學者進一步針對陸地起重機系統提出了基于在線軌跡規劃的控制方法.具體而言,對橋式起重機系統,Otto 等[30]提出了一種基于伺服約束的實時軌跡控制方法,并通過理論分析與實際實驗證明了該方法的實時性和魯棒性;通過對臺車運動過程離散化,Li 等[31]提出了一種基于載荷擺動能量的在線規劃方法,可最小化臺車的運行時間.

盡管如此,上述現有軌跡規劃方法均是針對陸地起重機系統設計的,在水下環境中(存在水流影響)往往難以直接適用.除此之外,大多現有的軌跡規劃方法均將復雜非線性系統的模型線性化,當負載擺動較大導致線性化條件不成立時便無法保證控制性能.因此,本文在未對復雜非線性模型線性化的前提下,考慮水流作用,為深海起重機系統設計了一種結構簡單、參數易于調整的新型軌跡.本文主要貢獻如下:1)針對深海起重機系統,提出了一種新型實時軌跡規劃方法,該方法基于非線性系統模型,無需線性化近似;2)通過理論分析與仿真結果,均證明了所提方法可使臺車精確定位,有效抑制負載擺動,且對外部干擾有較強的魯棒性,同時也具有實時性,可根據不同目標位置在線調整規劃軌跡;3)該方法結合深海起重機系統在水下的作業環境,考慮了在水流干擾下負載(如核燃料棒)呈現出的柔性特性.

本文結構安排如下:第1 節介紹深海起重機系統的動力學模型,描述系統的控制目標.在第2 節中,提出一種實時軌跡規劃方法,并從理論上分析該軌跡的良好性能.接下來,第3 節對所提方法進行一系列仿真,以驗證其控制性能.最后,第4 節對本文所做工作進行總結,并對今后的研究進行展望.

1 相關問題描述

本節將簡述深海起重機系統的動力學模型,并結合模型介紹相應的控制任務.

1.1 深海起重機系統動力學模型

圖1 是二維空間中深海起重機系統示意圖,其中在慣性坐標系iOj中,x(t)表示臺車位移,u(t)表示驅動臺車的控制輸入.I表示截面慣性矩.定義柔性負載與臺車連接端在i方向上的位置為i=0,負載自然狀態下原長為l,w(y,t)表示在時刻t及i方向上i=y處負載元的橫向偏差(即負載擺動),fw(y,t)表示負載對應位置受到的水作用力.系統參數如表1 所示.

表1 系統參數Table 1 System parameters

圖1 深海柔性起重機系統Fig.1 The flexible deep sea crane system

水作用力fw(y,t)表示為如下兩部分的和[32]:

fm(y,t)與fd(y,t)分別表示水作用力fw(y,t)中的慣性部分與阻力部分.

深海起重機系統的動力學方程為[32]

m表示單位長度負載質量與被負載所排開流體質量的和.記w′(y,t)表示w(y,t)對位置y的一階偏微分,相應地,w′′′′(y,t)表示w(y,t)對位置y的四階偏微分.

1.2 控制目標

針對深海起重機系統,本文的控制目標是利用可驅動與不可驅動狀態量之間的非線性耦合關系,為可驅動的臺車運動在線規劃一條軌跡,在實現臺車準確快速定位的同時,還能夠在水下作業環境下充分抑制柔性負載的擺動.具體所要實現的控制任務概括如下:

實時軌跡規劃的過程如圖2 所示.

圖2 實時軌跡規劃示意圖Fig.2 Schematic diagram of real-time trajectory planning

2 軌跡規劃及分析

為實現上述控制目標,本節將提出具體的實時軌跡規劃方法,并給出相應的理論分析.

2.1 軌跡規劃

基于式(2)所示的深海柔性起重機系統狀態變量間的耦合關系,首先考慮設計消擺軌跡(t).根據實際情況,負載末端點在所有點元中的擺動幅度最大,若末端點擺動范圍滿足要求,則其他點的擺動幅度也可保證在要求范圍內.本節中,僅考慮負載末端點位置(y=l處)的動力學.相應地,Ca(y),Cd(y)可簡記為Ca,Cd,w(y,t)可記為w(t),fd(y,t)記為fd(t).令r(t)=0,fd(t)作為w(t),(t)的高階項可忽略不計,那么式(2)可表示為

在式(4)的基礎上,為方便后續系統的有界性與收斂性分析,構造李雅普諾夫候選函數如下:

對式(5)進行求導,并將結果代入式(4),整理可得

其中,k∈R+為正增益.考慮設定條件(t)=0,即(t)=(t)+(t)=(t).將式(7)代入式(6)進行整理,得

根據拉塞爾不變性定理,可以得出如下結論:

考慮到僅有(t)不能實現臺車的精準定位,還需要選擇定位參考軌跡(t),使其滿足如下條件:

1)為模擬實際情況下臺車的起始運動,設軌跡的初始條件為

2)考慮到深海起重機的實際工作需求,xr(t)要在有限時間tp內收斂到目標位置pd,且無超調,即

其中,vm,am和jm分別代表所選參考軌跡的速度、加速度和加加速度的上界.

只需滿足式(9)～(12)所示的條件,定位參考軌跡xr(t)便可根據實際需要任意選擇,結合式(7),最終規劃軌跡可表示為

其中,增益k(k ∈R+)還應滿足如下條件:

通過對式 (13)積分,可分別求得臺車速度與臺車位移的表達式為

其中,Q(k)為只關于k的函數,相對時間t為常數,因此,式(13),(15)和(16)中的等式關系成立.其中,關于Q(k)函數特性的證明過程將在第2.2 節中給出.

2.2 性能分析

為便于理論分析,本小節利用定理1 證明設計軌跡的良好性能.

定理1.如式(13)所示的軌跡x(t)及其導數光滑且一致連續.在沿該軌跡運行時,深海起重機系統的各狀態量均能收斂,具體如下所示:

1)負載擺動及其前兩階導數均收斂至零,即

2)臺車速度、加速度收斂到零,且臺車準確到達目標位置pd,即

證明.為使證明過程更清晰,特分為兩個步驟證明定理1.其中,步驟1 將證明式(18),即負載擺動及其前兩階導數的收斂性,接著對應式(19),步驟2 將證明臺車位移、速度、加速度的收斂性.

步驟1.將式(13)代入式(6),并整理可得

根據式(14),并借助均值不等式進行放縮,式(20)可整理為

式(21)對時間求積分,可以得到

由式(9)和式(11),通過分部積分,式(22)中的第1 項滿足如下不等式:

根據式(14),式(22)中第2 項非正,即

通過式(22)～(24),可以得到

再結合式(5),(11)和(20),可以推出如下結論:

根據式(22),(23)和(25),可推出

由(t),w′′′′(t),(t),(t)∈L∞可得

此外,還需對w(t),(t)進行證明.首先通過對式(27)進行整理,可以得到

將(t)寫為兩函數相加的形式(t)=φ1(t)+φ2(t),其中

利用式(12),(25)和(29),可推得

結合式(29)和式(30),應用擴展芭芭拉定理[33],可推出

式(31)中,w′′′′(t)可看作w(t)的加減運算式,由此可以得到

至此,以上過程證明了本定理中的式(18).接下來,證明式(19).

步驟2.式(13)對時間t的導數為

根據式(13),(15)和(33),可知x(t),(t),(t)均連續可導.根據式(11)的約束條件,可知

另外,考慮實際情況w(t)有界,再結合式(25)和式(28),可得

因此,根據式(13),(15)和(33),可推知

即x(t),(t),(t)均一致連續.

接著,將式(13)代入式(27)可得

考慮式(12),(29)和(31),則式(35)關于時間的極限為

將式(12)和式(32)代入式(15),整理可得

接下來將證明x(t)的收斂性.通過對式(35)求積分,并代入式(15),計算得到

繼而對式(38)求關于時間的積分,當t→+∞時,式(38)可寫為

再根據式(17)和式(32),整理式(39),可以得到

其中,記

對式(41)進行分部積分,計算可得

式(42)中,記

利用二重積分的區域可加性質整理式(43),拆解過程如下:

當τt＞tp時,(τt)≡0,故xr(τt)(τt)=0,即式(44)中后兩項均為0.而在式(44)第1項中,為關于時間t的確定函數,此函數在有限區間[0,tp]上的積分值為常數,故第1項為常值.因此,T為常值.將式(43)代入式(42)可得

根據對式(44)的分析以及式(45)可知,P為常值,故Q(k)與時間t無關,僅為k的函數.整理式(40),有

將式(46)代入式(16),整理得到

因此,由式(47)可知,x(t)最終收斂到pd,本定理的第2 部分證畢.綜合步驟1 與步驟2 的證明過程,可得所設計軌跡具有良好的定位和消擺性能.□

3 仿真結果與分析

為驗證所提軌跡規劃方法的有效性,本節使用MATLAB 進行數值仿真,首先說明了應用本文所提方法前后負載振動幅度的變化,接著測試了在有外部擾動(初始擾動與中間擾動)、多次變換目標位置pd、與已有軌跡規劃方法相比較三種設定情況下的軌跡跟蹤消擺性能.仿真參數及其取值如表2 所示.

表2 系統參數仿真值Table 2 Simulation values of system parameters

梯形速度軌跡是軌跡規劃方法中最基本、也是最常用的一種軌跡,對控制方法的好壞有一定標稱作用,因此,本文選擇如下所示經平滑處理的梯形速度軌跡作為定位參考軌跡:

設式(48)中目標位置為pd=1.2 m,則定位參考軌跡的位移、速度、加速度軌跡如圖3 所示,由圖3可知,所選定位參考軌跡可滿足式(9)～(12)的全部條件.通過多次調試,式(14)中參數k取為1.

圖3 參考位移、速度、加速度軌跡Fig.3 The reference displacement,velocity,and acceleration trajectories

值得說明的是,圖4 中粗點線與點劃線分別代表設定的目標位置與負載擺動進入相對穩定狀態的設定邊界值.另外,結合仿真結果,考慮量化負載擺動幅度(負載在臺車運動方向反方向的最大擺動值)、反向擺動幅度(負載在臺車運動方向的最大擺動值)、進入相對穩態時間(負載擺動值到達并保持在±0.024 m 內所需的最短時間)三個指標來定量分析比較,從而說明本文所提方法良好的控制性能.

圖4 仿真對比結果Fig.4 Comparison results

無外部擾動的仿真對比結果如圖4 所示,同時,表3 列出了量化指標的具體數值.經由表3 數據計算可得,相比未考慮消擺的定位參考軌跡,本文實時軌跡規劃方法使負載擺動幅度降低了48.92%,反向擺動幅度降低了25%,進入相對穩態時間縮短了0.6 s,三個量化指標均優于對比情形;再結合圖4的直觀結果,本文所提方法可在實現臺車精準定位的同時,快速有效地抑制負載的擺動幅度,具有良好的消擺控制性能.

表3 無外部擾動時量化指標對比結果Table 3 Comparison results of quantitative indices without external disturbance

圖5 為無外部擾動時柔性負載擺動的三維仿真圖,表示負載橫向偏差w(y,t)隨位置y與時間t變化的三維曲線,直觀顯示了負載各位置擺動幅度隨時間的變化情況.同樣地,圖6～9 中粗點線代表設定的目標位置;圖9 中點劃線代表負載擺動進入相對穩定狀態的設定邊界值.

圖5 負載擺動三維仿真圖Fig.5 Three-dimensional diagram of the vibrationw(y,t)

圖6 含初始擾動的仿真對比結果Fig.6 Simulation results with initial disturbance

圖7 含中間擾動的仿真對比結果Fig.7 Simulation results with intermediate disturbance

圖8 驗證所提方法實時性的仿真結果Fig.8 Simulation results to verify the real-time performance of the proposed method

圖9 與輸入整形方法的仿真對比結果Fig.9 Simulation results compared with input shaping method

為驗證所提消擺軌跡對外部擾動的魯棒性,并結合實際起重機的起重過程,本文設計了加入初始擾動(t=0 s 時,在負載末端加入幅度為-0.1 m 的擾動)與中間擾動(t=6.5 s 時,在負載末端加入幅度為-0.1 m 的擾動)的仿真測試(采用比例分配的方式將擾動施加在柔性負載上),仿真結果分別如圖6 和圖7 所示.由圖6 和圖7 可知,在外部擾動存在的情況下,相比未考慮消擺的參考軌跡,本文規劃軌跡可使系統更快穩定,并快速有效地減小負載的擺動幅度,具有較強的魯棒性.

此外,為說明所提軌跡規劃方法的實時性(即規劃軌跡隨選擇目標點的不同而不同,且無需離線計算),本文模擬在操作過程中目標位置多次變化的情況,設計了一組驅動臺車依次到達三個目標位置(分別為pd1=1.2 m,pd2=2.4 m,pd3=4 m)的仿真,仿真結果如圖8 所示.由圖8 可知,本文所提軌跡規劃方法可使臺車運行軌跡跟蹤到達設定目標位置,且實時調整,不需離線計算;其次,負載擺動幅度明顯減小(雖目標位置不同,但與定位參考軌跡相比,負載擺動幅度均降低了50%左右),系統更快穩定,也驗證了所提方法良好的控制性能.

最后,為驗證方法的有效性,選擇改進的輸入整形方法[32]作為對比方法,設定目標位置為pd=1.2 m,運送時間為 3s,得到如圖9 所示的仿真結果與表4 所列的量化指標數值.由圖9 與表4可知,與輸入整形方法比較,本文所提軌跡規劃方法可有效抑制負載擺動(負載擺動幅度降低了22.4%),超調更小(反向擺動幅度降低了53.85%)且更快速平穩地回到自然無擺狀態(進入相對穩態時間縮短了1.2 s),具有較好的定位消擺性能,體現了所提方法的有效性.

表4 與輸入整形方法的量化指標對比結果Table 4 Comparison results of quantitative indices with input shaping method

由上述一系列仿真結果可知,本文所提實時消擺軌跡可在使臺車快速、準確到達目標位置的同時,較好地抑制柔性負載擺動.

4 總結

基于深海柔性起重機系統可驅變量與不可驅變量間的非線性耦合關系,本文提出一種實時軌跡規劃方法,該方法不僅能實現臺車精確定位,有效抑制負載擺動,而且對外部干擾有較強的魯棒性,同時也可根據不同目標位置實時調整規劃軌跡,具有實時性.經過理論分析,證明了系統各變量的收斂性,且仿真結果也驗證了所設計軌跡良好的消擺控制性能.在今后的研究中,將進一步縮小定位參考軌跡的選擇范圍(例如可以優先選擇結構形式簡單、參數數量少、階次低的表達式作為定位參考軌跡),并將實時規劃方法推廣到其他欠驅動系統.