把握數學表征特點，提升建模解決物理問題能力

陳林橋 賈蘇榮

（1.江蘇省揚中市教師發展中心，江蘇 揚中 212200；2.江蘇省揚中市第二高級中學，江蘇 揚中 212200）

建構物理模型是一種研究物理問題的科學的思維方法.即在研究和解決物理問題時，忽略次要因素，抓住主要因素，并進行合理抽象概括，突出客觀事物的本質特征，從而達到解決物理問題的目的.其中物理模型建構往往涉及到數學表征這一問題，因此明晰數學表征類型以及把握其特點和功用，將有助于提升我們正確建構模型解決物理問題的能力.

1 用“圖”來表征解答問題

根據物理問題所給的條件和實際情況，運用幾何圖形、函數圖像等形式進行恰當的表征，在明確幾何圖形、函數圖像所表示的物理意義基礎之上進行有效的分析，由此來解決物理問題.

1.1 基于幾何圖形表征求解

例1.火車以60m/s的速率轉過一段彎道，某乘客發現放在桌面上的指南針在10s內勻速轉過了約10°.在此10s時間內，火車

（A）運動路程為600m.

（B）加速度為0.

（C）角速度約為1r a d/s.

（D）轉彎半徑約為3.4k m.

解析：依據題意，不難畫出反映題中火車運動的情境示意圖圖1來，火車在以O為圓心彎道上運行，指南針時刻指向地磁南極.

圖1

題目給出車中“桌面上的指南針在10s內勻速轉動”.這表明指南針在相同的時間內繞磁南極點轉過的角度相同，即有圖1中∠1=∠2=∠3=∠4.但鑒于彎道的圓心O與地磁南極不重合，所以在相等時間內運動的弧長卻并不都相等，因此可以斷定火車在嚴格意義上不是做的勻速圓周運動.然而考慮到火車運行的實際情況，研究的是非常短的10s時間內的情境，再有火車在彎道運行的區域相比地球大小而言要小得很多，所以地磁不均勻分布這一影響就可以忽略，那么由此就可以把彎道處的地磁場看作勻強磁場.于是我們就有理由認為指南針指針相對地面而言始終指向某一方向（與磁感線平行），指南針的底盤卻隨火車一起繞彎道圓心O做圓周運動，因此我們就可以建構起示意圖2來表征本題的物理情境，并假設火車上的指南針從A位置沿彎道運動到B位置，火車相對于彎道圓心O轉了α角，指南針的地盤相對于指針偏轉了β角，那么由圖可知，α角的兩條邊和β角的兩條邊相互垂直，根據數學知識，于是得到α=β.這就是說，指南針相對于地盤轉過的角度始終等于火車相對彎道圓心O轉過的角度，因此指南針指針相對于底座轉到和火車在彎道轉彎的角速度相同，于是得到10s時間內火車運動路程s=v t=60×10m=600m，選項（A）正確；火車在彎道上運動，做曲線運動，一定有加速度，選項（B）錯誤；火車勻速轉過10°，約為角速度選項（C）錯誤；由v=ω R，可得轉彎半徑約為3.4k m，選項（D）正確.所以選（A）、（D）.

圖2

說明：從以上解答中的數學表征的特點來看，主要是根據題目文字的描述，運用我們相關數學幾何方面的知識，將試題問題情境用直觀而又形象的幾何圖形來表征，并隨著對試題認知的不斷深入和解題的實際需要，又從“對圖1否定“進而新建出“切合題意的圖2”來，進而解決問題.可見，一個符合題意情境的幾何圖形表征的建構對問題的解答突破起到了關鍵的作用.

1.2 基于函數圖像表征求解

例2.中歐班列在歐亞大陸開辟了“生命之路”，為國際抗疫貢獻了中國力量.某運送防疫物資的班列由40節質量相等的車廂組成，在車頭牽引下，列車沿平直軌道勻加速行駛時，第2節對第3節車廂的牽引力為F.若每節車廂所受摩擦力、空氣阻力均相等，則倒數第3節對倒數第2節車廂的牽引力為

解析：設車頭對后面車廂的牽引力為F總、每節車廂質量為m、受到的摩擦力和空氣阻力的合力為f、第n節對后面車廂的牽引力為Fn、火車的加速度大小為a.因此，對于前面n節車廂而言，根據牛頓運動定律得到F總-Fn-n f=n ma，變形得到Fn=F總-n（f+ma），作出Fn和n的函數關系圖像如圖3所示.再根據圖像中兩個三角△a b c和△a e d相似關系得到倒數第3節對倒數第2節車廂的牽引力F′=所以選項（C）正確.

圖3

說明：從以上解答中的數學表征的特點來看，主要是基于物理問題運用數學知識，找出Fn和n兩者之間的函數關系式.這個關系式含有的未知數竟有4個之多，卻不能直接有效地得到“倒數第3節對倒數第2節車廂的牽引力”的大小.于是我們根據這個關系式作出它們的函數圖像，利用圖像中三角形相似關系來解決這個問題.可見這里函數圖像的表征恰恰是解答本題的核心所在.

2 用“式”來表征解答問題

在具體物理問題中找出物理量之間的數學關系式，結合數學自身的特征和規律，作出符合邏輯的推導或合理外推，在基于所得到的數學結果的基礎上做出物理判斷和解釋，從而解決物理問題.

2.1 基于數學關系式演繹性表征求解

例3.在游樂節目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論如圖4所示.他們將選手簡化為質量m=60k g的質點，選手抓住繩由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深.取重力加速度g=10m/s2.假如選手擺到最低點時松手，小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽卻認為繩越短，落點距岸邊越遠，請通過推算說你的觀點.

圖4

解析：選手從開始擺到最低點過程中機械能守恒，則有

選手離開最低點做平拋運動，于是有

綜合以上幾式解得

因此，兩人的看法均不正確，只有當繩長越接近1.5m時，落點距岸邊越遠.

說明：以上解答中的這種數學關系式演繹性表征的特點，就是基于對題目情境做具體的物理分析，從而建立起選手水平距離和繩長之間的函數關系式，然后運用數學函數極值的方法來確定這個問題的判斷基點，進而做出相應的物理判斷，整個解答過程簡潔明了，很有說服力.

2.2 基于數學關系式歸納性表征求解

例4.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結合為一體，其質量逐漸增大.現將上述過程簡化為沿 豎直方向的一系列碰撞.已知雨滴的初始質量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質量變為m1.此后每經過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質量依次變為m2、m3…mn…（設各質量為已知量）.不計空氣阻力，求第n次碰撞后雨滴的動能.

解析：（1）第1種情境，若不計重力，則全過程中動量守恒，于是有m0v0=mnvn′，解得

所以得到第n次碰撞后雨滴的動能

（2）第2種情境，若考慮重力，那么雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒，則有，第1次碰撞前

第1次碰撞后mv=mv′.解得

利用（1）式化簡得

第2次碰撞后，由（2）式得

同理，第3次碰撞后

……

由此推得第n次碰撞后

所以得到第n次碰撞后雨滴的動能

說明：本題第2種情境解答中的這種數學關系式歸納性表征的特點，就是基于物理問題情境運用物理規律和公式建構起物理量之間的基本關系式，然后利用數學中不完全歸納法的思想來進行合理的外推，即由相關物理知識求出雨點第1次、第2次以及第3次碰撞后速度表達式.仔細分析這些表達式的數學結構特征，對此進行合情合理外推得出第n次碰撞后的速度表達式，最終求得第n次碰撞后雨滴的動能.

通過以上幾個具體實例解答的剖析，我們不難總結得到數學表征建模解題的一般思想方法，即對物理問題中的情境、結構以及要素等相關量及其之間的關系進行數學符號化的描述.在此基礎上建構與之密切相關的而且有利于問題解決的幾何圖形、函數圖像、數學關系式等較為抽象的數學“圖”或“式”來表征分析物理問題，再根據數學知識的特點和規律進而有效地解決物理問題.