先用整體法還是先用隔離法
——連接體問題中研究對象的選擇順序

張克文

（灤南縣第一中學，河北 唐山 063500）

1 提出問題

物理學的發展中，貫穿著歸一性和簡潔性，一類問題的解決方法，若能進行歸一，必然能夠提高學習效率，減輕學生負擔，同時這也遵循著物理學科素養中的科學思維的精神.

連接體問題，指的是存在相互作用的幾個物體組成的系統，是高中物理的運動和力部分的重點，也是難點.無論是共點力平衡問題，還是牛頓運動定律問題中，出現的頻次都是很高的.由于它對學生科學思維為主的各項素養的培養和考查中，具有較好的有效性和較高的區分度，所以，考查頻度很高.可是學生面對連接體問題時，總是感覺無從下手，困難重重.那么學生解決連接體問題遇到的主要障礙是什么呢？

在教學過程中我們發現：對于這些運動和力問題的解決，學生都掌握了分析和解決問題的步驟和基本方法，如果是單個物體的問題，由于不涉及研究對象的選擇，學生解決問題是比較順利的.而面對連接體問題時，學生的困難主要在于不知道先研究哪個對象才能使問題的解決更順利，即不清楚研究對象的選擇順序.

2 問題的分析

學生在學習中往往有這樣的經驗：連接體問題應該運用整體法和隔離法來解決，有時先整體后隔離，有時先隔離后整體，需要具體問題具體分析.核心問題是先選擇哪個物體作為研究對象，才能使問題得到解決，或解決得更順利，即研究對象的選擇順序是成功高效解決連接體問題的關鍵.這里本文通過幾個簡單實例的分析，來探討一下：連接體問題中，研究對象的選擇順序有規律性嗎？按照怎樣的順序選擇研究對象，會使連接體問題的解決更高效呢？

2.1 問題的初探

例1.如圖1所示，水平路面上有一輛載貨汽車，質量為M=1.6×103k g，車上又裝載一物塊，質量為m=0.4×103k g.已知汽車原來處于靜止狀態，開始加速的瞬間，牽引力的大小為F=1.0×104N，并且物塊在車廂內恰好沒有發生相對滑動，不計地面及空氣對系統的阻力.求物塊與車廂之間的最大靜摩擦力？

圖1

學生一般會先運用整體法，再隔離物塊，可以使問題得到解決.

解析：先研究整體，F=（M+m）a.之后研究物塊，fm=ma.所以fm=2×103N.這里我們需要進一步思考，為什么要先整體后隔離？

如果分析兩個研究對象的受力及加速度這些物理量的已知和未知情況，就會發現：對于整體，重力、支持力、牽引力為已知，加速度未知；對于物塊，重力、支持力已知，摩擦力、加速度未知.即對整體是三個量已知，一個量未知，對物塊是兩個已知，兩個未知，整體的未知量較少，所以研究對象的選擇上遵循了由簡入繁的順序.

那么，在其他連接體問題中是否也是由簡入繁呢？

2.2 經驗的驗證

例2.如圖2（a）所示，在一些趣味體育活動中有托球跑這個項目.某次活動中，比賽隊員手握一支傾斜的板球拍（拍面光滑）托著一只塑料球向前水平運動，球在拍上不動.已知拍的質量M=0.5k g，球的質量m=0.1k g，拍與豎直方向的夾角為θ=37°，g=10m/s2，不計空氣阻力及球與拍間的摩擦，求該隊員的手對球拍的水平作用力.

圖2

解析：這個題目的解答中，學生一般先隔離后整體，也會比較順利.先研究球，如圖2（b）所示，mg/tanθ=ma.

之后研究拍和球的整體，Fx=（M+m）a.所以Fx=8N.

再來分析兩個研究對象的受力及加速度的已知情況，對塑料球，重力和各力之間的夾角為已知，加速度未知；對整體，僅重力已知，Fx、加速度、角度均為未知.即先研究了已知多、未知少的塑料球，后研究未知多、已知少的整體，研究對象的選擇上仍是遵循了由簡入繁的順序.

上面是兩個各物體具有相同加速度的連接體問題，對于加速度不同的問題，加速度已經不能作為物體間聯系的紐帶，研究對象的選擇是否還遵循由簡入繁的順序呢？

2.3 舉一反三

例3.山區雨季常發生泥石流，處在山坡上的人會本能的采取一些措施來避險.下面為一簡化后的模型：如圖3所示，固定光滑斜面傾角為θ，上面放一長木板，木板上的人沿板向上奔跑，可使他自己相對地面靜止.已知人的質量m，木板的質量M，重力加速度g，求木板的加速度？

圖3

學生的正確解答：先選擇人作為研究對象，后選擇木板作為研究對象.先研究人，f=mgsinθ.之后研究木板，f′+Mgsinθ=ma.f′=f.所以a=（M+m）gsinθ/M.

兩個研究對象的受力及加速度的已知情況，對于人，加速度為0、重力、斜面的傾角已知，靜摩擦力未知，未知量較少；對于木板，重力、傾角θ已知，摩擦力、加速度未知，未知量較多.所以要先選擇人作為研究對象，后選擇木板作為研究對象.同樣也遵循了由簡入繁的順序，只是前后聯系的紐帶是相互作用的摩擦力.

2.4 經驗的升華

再從另一個角度分析，既然研究對象的選擇順序是由簡入繁，那么，這樣選擇還會有其他效果嗎？

例1中，通過對整體的分析，可以求得加速度，而它也是物塊的加速度.本來物塊的相關條件中，有加速度a、摩擦力fm兩個未知量，由整體求得了加速度，使得物塊的未知量減少了一個，也就是物塊的已知量增多，只剩下摩擦力一個未知量，使復雜問題降低了難度，成為簡單問題.

例2中，由簡入繁也起到了這樣的作用：通過對塑料球的分析，得到了加速度這個物理量.在研究整體和球的整體時，增加了加速度這個已知量，使得球拍的未知量只剩下水平作用力，起到了降低難度的效果.

例3中，通過對人的研究求得摩擦力后，由于摩擦力是人和木板間的相互作用力，通過運用牛頓第三定律，使木板的已知條件增加，只剩下加速度這個未知量，從而變成了簡單問題.

也就是說，由簡入繁，這個選擇研究對象的選擇順序，同時起到了這樣作用：簡單問題的分析中，求得一個新的物理量，為復雜問題的分析，增加了一個已知條件，使得復雜問題變得簡單.因此由簡入繁更大的意義是由簡助繁.

3 方法總結歸一

總結：通過分析以上3個實際問題不難發現，

（1）研究對象的選擇順序：由簡入繁.簡，指力及加速度等物理量中，已知量的個數多、未知量的個數少的那一個研究對象.

（2）“簡”會為“繁”增加已知條件，使繁變簡.即由簡助繁.

（3）助的途徑是通過相互作用力或加速度之間的聯系來實現.

4 實戰演練

懂得了由簡助繁的道理，解決連接體問題時，就能迅速而恰當地選擇研究對象，解決問題的效率就會大大提高.例如：

練習題1.2022年我國將承辦冬奧會，滑雪項目中，運動員乘滑板沿傾斜坡面自由下滑，如圖4，已知運動員和滑板的質量分別為M和m，坡面傾角為θ，不計空氣阻力及坡和滑板間的摩擦力，求運動員和滑板間的摩擦力是多大.

圖4

將總結的經驗用于實戰演練，在運用中提高能力.

對運動員、滑板或整體的受力分析發現：由于物體間的摩擦力及整體的加速度未知，若采用隔離法，若選擇運動員或滑板作為研究對象，均有加速度、摩擦力兩個未知量；而選擇整體為研究對象，則只有加速度為未知量.所以選擇研究對象的順序應為：先選擇整體，后隔離運動員，問題可順利解決.

練習題2.用兩根輕質絕緣細線將兩個質量相同的小球P、Q懸掛起來，放在水平向右的勻強電場中，使P、Q分別帶上等量的正負電荷后，系統處于靜止狀態.則兩球的狀態可能是圖5中的哪一個？

圖5

4個選項中，確定兩條細線的方向，即拉力的方向，就可以選出正確的答案.所以選擇整體，可以避開P Q間的細線拉力這個未知量，很容易地確定出上段細線拉力的方向，而研究Q則可以迅速得出P Q間拉力的方向.

練習題3.如圖6所示，水平力F拉A、B、C3個物體在光滑水平面上運動，在中間的B物體上加一塊橡皮泥后，它和B的物體一起運動，且原拉力F不變，那么加上物體以后，兩段繩的拉力Ta和Tb的變化情況是

圖6

（A）Ta增大. （B）Tb增大.

（C）Ta減小. （D）Tb減小.

這個問題中，Ta、Tb均為未知，因此先選擇整體為研究對象，可求得加速度a的變化.為隔離各物體增加了一個新的物理量.Tb的分析，可選擇C作為研究對象；Ta的分析中，若選擇B及橡皮泥為研究對象，存在兩個變量m、a；可以選擇A為研究對象，此時未知變量只有Ta，可順利求出結果.

不只在連接體問題的分析中有由簡助繁的思想，其他問題中，也廣泛貫穿由簡助繁的思想，例如：

練習題4.如圖7所示，輕桿長L，一端裝光滑軸O，中點及另一端固定A、B球，從水平位置由靜止釋放，擺至豎直位置時，A、B速度各多大？桿對B做多少功？

圖7

這是一個功和能的問題，由于AB間桿的作用力、兩球的末態速度均為未知，所以，應先研究整個系統，運用機械能守恒定律得出兩球的速度，再研究其中一個球，可以順利地解決問題.

總之，連接體問題中，在研究對象的選擇順序上，應遵循“由簡入繁”的順序，同時可以起到“由簡助繁”的效果，使得連接體問題的解決不再盲目，不走彎路，變得簡捷而高效.