一道模擬題中下滑時間長短的定量比較

陳衍訸 張 旭

（1.柳州高級中學，廣西 柳州 545001；2.柳州市第二中學，廣西 柳州 545616）

例題.（2019年湖北武漢高三調研）如圖1所示，將完全相同的兩個小球1、2分別從同一高度由靜止釋放，其中圖1（甲）是一傾角為45°的光滑斜面，圖1（乙）為光滑圓弧，不計空氣阻力，則下列對四種情況下相關物理量的比較，正確的是

圖1

（A）落地時間t1=t2.

（B）全程重力做功W1＞W2.

（C）落地瞬間重力的功率P1=P2.

1 試題引起的討論

該題是2019年湖北武漢高三調研的試題，答案毋庸置疑為（D）選項，但是學生答題后普遍對（A）選項中兩球下滑時間長短的比較產生濃厚興趣.

學生在分析該問題時給出如下的解答：“由動能定理可知，兩小球從初始位置到水平面上同一高度處速度大小總相等，但沿圓弧運動的小球路程更長，因此t1＜t2.”

這是一種常見的誤解，實質上運用了微元法，如圖2所示，認為在同一個Δh內速率v相等，而每一個Δh都有對應的斜面下滑的直線距離小于對應的圓弧下滑的弧長距離.但是，通過作圖分析，顯然在下滑距離較短時AB＞A′B′，而在下滑距離較長時有C D＜C′D′，并不是每一段直線長都小于對應弧長的.導致這一誤解的主要原因是部分學生在看到直線路程小于圓弧路程這個信息時，沒能深入分析該物理過程中細致的對應關系，而是僅憑直覺就認為“路程大的運動時間一定長”，從而步入了誤區.

圖2

因此，以上的解答是存在明顯瑕疵并不嚴謹的，現假設圖甲中下滑時間為t1，圖乙中下滑時間為t2，筆者在此給出相關問題的嚴格證明.

2 用初等數學知識求解

圖3

情形1：沿直線A B′下滑的小球，

在如圖3所示的Rt△CDF由∠ECD接近于直角，則在△ECD中有代入得Δθ.則對應時間為

情形2：對沿弧面AB下滑的小球，mgRsinθ=解得則對應時間為

該方法雖然不涉及高等數學知識，但是巧作等時圓，將不易計算的沿斜面下滑時間轉為求解沿豎直方向自由落體的時間，化繁為簡.

3 用微積分求解

情形1：對沿直線AB下滑的小球：，解得

情形2：對沿圓弧AB下滑的小球，下滑到任意位置P時，有

圖4

機械能守恒：m g Rsinθ=

左邊是一個橢圓積分，沒有解析解，可以查表也可以用計算機數值計算.這里用MAT L A B軟件計算數值解.解得

通過計算機模擬出數值解解出t1、t2的具體值，從而比較兩種情況下的時間長短，結果顯示t1＞t2，結果同上.