古代投石機運轉和投射機制的物理學研究

王昕明

（江蘇聯合職業技術學院如東分院，江蘇 如東 226400）

1 引言

投石機主要是中、外古代的一種攻城射擊武器，它可把一塊巨石（或其他火器彈藥）直接投進攻擊敵方城墻和城內，造成毀滅性破壞.［1］圖1為古代投石機的試驗實物和模型.近代投石機試驗的結果表明，投射臂長50英尺（約15m），平衡重錘為10t的投石機能將200—300磅（約90—140k g）的石塊或彈體拋射約300碼（約270m）的飛行距離.但是到了14世紀中期，有的古代拋石機竟然還能連續拋射將近1000磅（約450k g）重的石塊或彈體.［2］古代投石機結構和種類雖然有很多，外形也不盡相同，但常見的古代投石機都配備有投射臂和平衡重錘，并通過其底座將所有的投射臂和平衡重錘都固定了起來，依靠將投射臂和平衡重錘的重力勢能直接轉化為所有投射物的重力動能，從而將所有的投射物完全拋射出去.

從投石機的運轉結構來看，投石機的底座可以是固定的，也可以是可自由移動的（如在底座上裝上車輪）；平衡重錘可以固定在投射臂上，也可以繞著投射臂的端點自由轉動.投石機采用何種運轉結構可以將投射物投射的速度更快？如何計算投射物投射時的最大速度？投石機在投射時會在什么位置上將投射物投射出去？投石機如何操作才能使得投射距離最遠？

圖1 投石機實物模型

針對以上問題，本文對投石機結構進行簡化，引入簡化的投石機模型.為了理論分析和計算方便，本文又根據投石機的實物模型，合理地設定了投石機投射臂、平衡重錘、底座質量、投石機投射臂和平衡重錘的尺度.同時，應用本文引入的投石機模型，通過物理學理論分析，得出了投石機最佳的運轉機制，計算出了投射物投射的最大速度，并從理論上得出了投石機怎樣操作才能投射最遠距離的方法.

本文理論分析的結果對研究投石機在古代戰爭中的應用具有一定的理論指導意義，更是提高了學生運用物理學理論分析與解決實際問題的能力.

2 投石機運轉機制研究

為了研究問題方便，引入以下假設數據，假設投射臂的質量為m，臂長為2l，平衡重錘為一個圓盤，質量為4m，半徑為l/2，底座的質量為5m，投射臂可以繞著底座上轉軸C自由轉動，如圖2所示.由于投射物的質量遠遠小于投石機投射臂和平衡重錘的質量，因此，在實際分析中可以不考慮被投射物的質量，轉動時的摩擦力也不計.

圖2 投石機的簡化模型

在實際使用時，投石機可以有以下3種裝設的方式.

① 底座固定在地面上，將平衡重錘的中心鎖緊固定在投射臂上，不能自由轉動，即平衡重錘和投射臂一起運動.

② 底座固定在地面上，將平衡重錘的中心和投射臂下端A點重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉動，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起.

③ 底座在水平地面上自由滑動且無摩擦，而平衡重錘的中心和投射臂下端A點重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉動，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起.

從投石機的結構可以看出，投石機要能夠將投射物投射出去，首先要通過人工的方法，讓平衡重錘上升，依靠將平衡重錘的重力勢能轉化為投射物的動能，從而將投射物投射出去.

在投石機實際發射時，投射物和平衡重錘都繞著底座上轉軸做圓周運動，因此，投射物并不會自動離開投石機飛離出去.在圖2所示的投石機結構中，只有當平衡重錘落到最低點，而投射物上升到最高點時，由于平衡重錘的質量遠大于投射物的質量，平衡重錘將在最低點振蕩，投射物也將在最高點振蕩，最終將投射物投射出去.因此，平衡重錘在最低點（或投射物在最高點）時的振蕩頻率大小，將會影響投射物能否能被投射出去以及投射的速度，當然投射物投射的最大速度還與初始時平衡重錘所處位置、投射臂的長度等因素有關.

2.1 投石機在第一種裝設方式之下的運轉分析

在第1種裝設方式之下，可將平衡重錘和投射臂作為一個整體系統進行分析.整體系統的動能為Ek=Ek1+Ek2，其中，Ek1為平衡重錘的動能，Ek2為投射臂的動能，因為二者緊鎖連接在一起，所以，平衡重錘和投射臂以同一轉速繞著轉軸C轉動.根據轉動動能關系式可得平衡重錘轉動動能［3］

投射臂相對于轉軸C的轉動動能為

取平衡系統質心的轉動速度到最低電平衡位置時重力勢能的值為0，根據質心轉動定理，［4］將重力平衡系統的重錘和投射臂作為一個固定的整體，其質心轉動位置其重力勢能為

當角度很小時，

系統的機械能可表示為

若不考慮摩擦阻力時，系統的機械能守恒，對上式兩邊對時間求導可得［5］

此微分方程的解是典型的簡諧運動的偏微分方程，可解得到其振動的角頻率為

根據圓周運動的理論可知，要使得投射物能夠運動到最高點，并順利投射出去必須滿足：［1］，即在本文所設定的投石機參數的情況下，投射臂的長度至少在3m左右才能進行發射，否則投射物在沒有達到發射高度之前就會從投石機上掉落下來，當然在實際使用時，投射臂的長度要遠遠超出此長度.

如果初始時兩個投射臂與系統的豎直位置形成夾角的值為θ0，取系統質心的轉動速度降到最低的位置時重力勢能的值為0，則投射臂初始時重力勢能的值為

根據系統的動能公式，總的動能為

當平衡重錘落到最低點時，根據機械能守恒原理可得Ek=Ep0，即

投射臂上B點的線速度為

由上式可知，在第1種裝設方式之下，投石機的投射物所能達到的最大速度與投射臂長度以及平衡重錘的初始位置有關，實際上還跟平衡重錘與投射臂的質量比有關，質量比越大，投射物所能達到的最大速度也就越大，當然要使得投射物能夠順利投射出去，投射臂還必須達到一定的長度.

2.2 投石機在第2種裝設方式之下的運轉分析

對于第2種裝設方式，由于平衡重錘的中心和投射臂下端A點重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉動，平衡重錘的轉動動能為

投射臂相對于轉軸C的轉動動能為

其重力勢能為

當角度很小時，

系統的機械能可表示為

若不考慮摩擦阻力，系統的機械能守恒，對上式兩邊對時間求導可得

同樣根據圓周運動的理論可知，要使得投射物能夠運動到最高點，并順利投射出去必須滿足：即在本文所設定的投石機參數的情況下，投射臂的長度至少在2m左右才能進行發射，否則投射物在沒有達到發射高度之前就會從投石機上掉落下來.

如果初始時兩個投射臂與系統的豎直位置形成夾角的值為θ0，取系統質心的轉動速度降到最低的位置時重力勢能的值為0，則投射臂初始時重力勢能的值為

根據系統的動能公式，總的動能為

當平衡重錘落到最低點時，根據機械能守恒原理可得Ek=Ep0，即

投射臂上B點的線速度為

同樣由上式可知，在第2種裝設方式之下，投石機的投射物所能達到的最大速度也與投射臂長度以及平衡重錘的初始位置有關，實際上也還跟平衡重錘與投射臂的質量比有關，質量比越大，投射物所能達到的最大速度也就越大，當然要使得投射物能夠順利投射出去，投射臂也還必須達到一定的長度.

2.3 投石機在第3種裝設方式之下的運轉分析

對于第3種裝設方式，由于底座在水平地面上自由滑動且無摩擦，而平衡重錘的中心和投射臂下端A點重合，平衡重錘可以繞著其中心自由轉動，所以當系統質心x以水平速度vx運動時，由動量守恒定律可得［6］

因此，平衡重錘和投射臂的質心的平動動能為

系統相對于質心的轉動動能

底座的平動動能

總動能則為

整個系統的機械能

在不考慮摩擦阻力時，機械能守恒，對上式對時間求導可得

同樣，根據圓周運動的理論可知，要使得投射物能夠運動到最高點，并順利投射出去必須滿足：由以上推導可看出，從理論上來說第3種裝設方式對投石機投射臂的長度沒有限制.

如果初始時兩個投射臂與系統的豎直位置形成夾角的值為θ0，取系統質心的轉動速度降到最低的位置時重力勢能的值為0，則投射臂初始時重力勢能的值為

根據系統的動能公式，總的動能為

當平衡重錘落到最低點時，根據機械能守恒原理可得Ek=Ep0，即

由于投射臂上的端點B相對于轉軸C有一個速度vB C=l ω.因為轉軸C與系統質心x以相同的水平速度運動，因此C相對于地面有一個向左的速度［7］因此，B點相對于地面的速度為

由前述內容可知，應用第3種裝設的方式，投石機可以將投射物投射得更快，在相同條件下也可將投射物投射得更遠.因此，從古代流傳下來的投石機的模型來看，投石機的平衡重錘都是可以自由轉動的，投石機下面一般要裝上輪子，這就由投石機變為投石車，一方面便于移動，另一方面也減少了投石車與地面的摩擦，使得投射物被投射得更快、更遠.投石機的平衡重錘一般都要配制得比較重，而從上述理論分析可知，要使得投射物能投射得更快、更遠，在保證投石機穩定的前提下，底座的重量應該是越輕越好.

3 投石機投射機制的研究

前述內容從理論上證明了，如果在投石機的底座裝上輪子，并且與投射臂相連的平衡重錘可以繞著其中心自由轉動，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起，應用這種裝設方式，投石機可以將投射物投射得更快、更遠.同時得出了投射物投射的最大速度公式，由速度公式可知，投射物所能達到的最大速度與投射臂長度、平衡重錘的初始位置以及底座的質量有關，實際上還跟平衡重錘與投射臂的質量比有關，質量比越大，投射物所能達到的最大速度也就越大.

但在前述內容證明中，假設了平衡重錘到達最低位置，即投射物到達最高位置時，由于平衡重錘和投射物的振蕩，從而將投射物投射出去.而實際上當平衡重錘到達最低位置，投射物到達最高位置時，投射物將被水平拋出，雖然這種情況下投射物被拋出的速度最大，但拋射高度和距離卻受到限制，如果以這種方式進行投射，投石機必須放置在較高的位置或投石機的底座要做得很高.因此，在古代戰爭中，投石機往往被放置在高臺上或將底座建得很高，或將投石機的投石臂做得較長，這樣才能使得投石機能擊中更高、更遠的目標.

在投石機的結構確定的情況下，要使得投石機能夠射中更高的目標或更遠的距離，那就要將投石機的發射由平射改為斜射，如何才能將投射物斜射出去？由圖1的投石機的實物圖可以看出，只要在投射臂上安裝攔截繩，就可以使得投石機將投射物斜射出去.如圖1所示，當投射臂運轉到一定位置時，攔截繩阻止投射臂繼續轉動，這時平衡重錘、投射臂以及被投射物將會在被攔截的位置進行振蕩，從而將投射物投射出去.

根據物理學理論可知，當投射臂與水平位置成45°角時，投射物被投射出去的距離是最遠的，［8］因此，理論上來說投射臂與水平位置成45°角時投射的距離最遠.但實際上投射距離不僅與投射角有關，更與投射的初始速度有關，而在45°角位置上初始速度卻不是最大，因此，實際使用時應該根據實際情況合理進行調節.當然如果能使得平衡重錘盡可能的抬高，增加平衡重錘的初始重力勢能，同時又選擇合理的投射角，這樣就能提高投射高度和投射距離.還可以通過安裝攔截繩實時調節投射角度，從而增加投射精度，提高使用效果.

根據前述理論證明和本節內容的分析可知，要使得投石機能能夠擊中更高目標和投射更遠距離，同時又要能產生更快的投射速度，保證更準確的投射精度，應該采用以下方式.

① 在投石機的底座裝上輪子，并且與投射臂相連的平衡重錘可以繞著其中心自由轉動，即平衡重錘和投射臂松開，沒有緊鎖在一起，應用這種裝設方式，投石機可以將投射物投射得更快、更遠.

② 平衡重錘的重量應該盡可能的大，在保證投石機結構穩定、安全的前提下，投射臂和底座重量越小越好.

③ 在保證投射臂安全牢靠的前提下，投射臂越長，效果越好.

④ 初始時應該將平衡重錘盡可能抬高到較高的位置，增加平衡重錘的初始重力勢能.

⑤ 通過加裝攔截繩，使得投射物能夠斜拋出去，增加投射物投射的高度和距離，同時可以通過攔截繩實時調節投射角度，從而增加投射精度，提高使用效果.