運用概率論學習研究培養數學思維

■陳麗萍

（山西省貿易學校，山西 太原 030012）

數學思維從分析能力角度劃分包括邏輯思維、形象思維、空間抽象思維等；按數學知識內容劃分包括代數思維、幾何思維、微積分思維、概率統計思維等，是指在實際應用過程中，運用相關的數學思想和方法思考和解決問題的能力，抓住問題本質規律，發現內在聯系。可以說，數學思維在把數學知識應用到其他領域發揮著無與倫比的重要作用。所以我們常用對稱美、和諧美、平衡美等來形容數學是優美的，其實質是思維之美，散發思想光芒。

概率論是基于隨機現象的一種數學模型，是具體研究隨機現象數量規律的一個數學分支，是用特殊的數學語言描述、分析、研究，透過現象看本質，搭建隨機現象與數學其他分支聯系的橋梁。在自然界和人類社會中,存在大量的隨機現象,而概率是衡量該現象發生的可能性的量度，為其他學科提供了解決問題的新思路和新方法，概率論是社會科學發展的必然成果,分析過去預測未來，實質就是概率問題。“概率論是生活真正的引路人，如果沒有對概率的某種估計，我們將寸步難行無所作為。”學習概率論研究其起源，可以幫助學生提煉醒悟思想，培養發展數學思維。

一、概率論的學習研究

（一）概率論的起源

概率論的起源與賭資有緣，引例：設想小張和小李打賭（可以是任何賭法），各出50元，先贏6局者拿走100元。但是小張賭到5：3領先時被迫停止不能繼續。現在的問題是：100元中小李應該分到多少錢？

分法 1（平分法，1：1，小李分到 50 元）

分法 2（通吃法，1：0，小李分到 0元）

分法 3（樸素法，5：3，小李分到 37.5 元）

分法 4（概率法，7：1，小李分到 12.5 元）

分法 5（極大似然法，485：27，小李分到 5.27元）

按取得最終勝利的可能性來分。小張只需再勝1局就贏，而小李需要連勝3局才能贏。假設勝1局的可能性都是1/2，則小張贏的可能性應該小于1/2，小李贏的可能性是。

按最終贏的可能性來分析，勝1局的可能性不應該是1/2，而應該根據當前比分作最大似然估計，即小張勝1局的可能性為5/8，小李勝1局的可能性為3/8。最后小李贏的可能性是（。

又如古代很多數學愛好者喜歡用擲硬幣試驗，來計算硬幣正反面拋擲頻率，為研究隨機現象和概率論發展提供了大量的詳實的數據（見表1）。

表1 擲硬幣試驗統計表

（二）概率論的研究對象

概率論研究內容包括：概率論基本概念、一元和多元隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征、大數定律和中心極限定理、統計量及抽樣分布、參數的點估計與區間估計、參數的假設檢驗及概率分布的擬合檢驗、方差分析與回歸分析。

數學教學中掌握概率的定義和計算，用隨機變量概率分布及數字特征研究“隨機現象”的規律是教學重點。了解數理統計的基本理論與思想，能夠熟練應用掌握包括點估計、區間估計和假設檢驗等基本統計推斷方法是教學難點。解決重點突破難點從隨機現象和變量開始，理解幾何分布，從生活實際中引例，提高解決問題的興趣，應用拓展能力。

1.隨機現象

相對于確定性（決定性）現象而言，隨機現象如某個城市每天發生的交通事故次數？某種新藥在臨床試驗中是否有效？買彩票是否中獎？下一分鐘股票價格是否會漲？

2.隨機變量

隨機取值的變量就是隨機變量，隨機試驗的結果其實就是隨機變量，隨機變量的函數仍是隨機變量。隨機變量有兩種，一種是離散型隨機變量，一種是連續型隨機變量。我們常用希臘字母ξ、η等表示隨機變量。

（1）離散型隨機變量:是指對于隨機變量取值可能是有限個，也可能是無限個，但可以順序列出，這樣的隨機變量就稱之為離散型隨機變量。

（2）連續型隨機變量:是指對于隨機變量的取值，是在某一區間內的一切值，無法按一定順序列出，這樣的變量就稱之為連續型隨機變量。

（3）兩種隨機變量的區別與聯系:二者都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定順序列出，而連續性隨機變量的結果不可以按一定順序列出。

若 ξ是隨機變量，η=aξ+b，a，b 是常數，則 η 也是隨機變量，并且不改變其屬性（離散型、連續型）。

3.研究隨機現象

我們需要做大量的隨機試驗，通過不同的結果理解分析“隨機事件發生”概率。

a.試驗在相同條件下重復進行；

b.試驗結果多樣性，但可以預知所有結果的取值范圍；

c.試驗前無法預測會出現什么結果。

例如：某省級射擊運動隊對奧運選拔射擊A選手和B選手的射擊情況進行跟蹤記載，見表2和表3。

表2 A選手射擊所得的環數ξ的分布列

表3 B選手射擊所得的環數ξ的分布列

求此奧運選拔A、B射手“射擊一次命中環數≥7”“射擊一次命中環數≥8”的概率分別是多少？提出選拔建議。

分析：該事件實際是典型的互斥事件，根據互斥事件的概率加法公式，“射擊一次命中環數≥7”是互斥事件“ξ＝7”“ξ＝8”“ξ＝9”“ξ＝10”的和，同理“射擊一次命中環數≥8”是互斥事件“ξ＝8”“ξ＝9”“ξ＝10”的和，解法如下。

解：根據跟蹤記錄環數ξ的分布列，“射擊一次命中環數≥7”的概率計算如下。

A 選手：由于 P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22。所求的概率為P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88。

B 選手：P(ξ=7)＝0.08，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.39，P(ξ=10)＝0.14。所求的概率為 P(ξ≥7)＝0.08+0.28+0.39+0.14＝0.89。

根據跟蹤記錄環數ξ的分布列，“射擊一次命中環數≥8”的概率計算如下。

A 選手：由于 P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22。所求的概率為 P(ξ≥8)＝0.28+0.29+0.22＝0.79。

B 選手：由于 P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.39，P(ξ=10)＝0.14。所求的概率為 P(ξ≥8)＝0.28+0.39+0.14＝0.81。

從本次跟蹤分析，B選手“射擊一次命中環數≥7”和“射擊一次命中環數≥8”的概率均大于A選手的相應概率，由此結果可為奧運選手選拔提供依據。

4.研究事件關系及運算

（1）根據隨機變量的概率分布列，求隨機事件發生的概率。

（2）伯努利分布：研究對象是兩點分布，兩點分布列的應用非常廣泛。它是一種常見的離散型隨機變量的分布，是概率論中最重要的分布之一，比如彩券中獎幾率、投籃命中幾率、工廠產品檢驗合格率、股票基金波動等等現象，都可以用兩點分布列來研究其規律。

如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，而稱P=P(X=1）為成功概率，兩點分布又稱0—1分布，由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布。

X 0 1 … m P …C0 MCn N-M C1 MCn-1 N-M Cm MCn-m N-M Cn N Cn N Cn N

5.幾何概率揭示生活真理

（1）零概率事件不一定不發生。

（2）不是所有的事件都可以計算出概率。

也就是說，對任意的隨機事件A,P(A)不一定都有意義。因此，有關樣本空間的選擇至關重要，哪些子集可算作隨機事件的問題，需引入概率公理化定義。

如利用公式計算概率：某城市有N輛卡車，車牌號從1到N，有一個外地人到該城去，把遇到的n輛車子的牌號抄了一遍，當然有可能重復，求抄到最大號碼正好是k的概率。

分析：記Bk是“抄到的最大號碼不超過k”，Ak是“抄到的最大號碼等于k”則有：Ak=Bk-Bk-1。

又如利用一般加法公式可計算有獎銷售概率：一袋包裝完好的食品中放一張獎券，n張不同的獎券為一套，收集齊一套可獲大獎，求購買k袋食品收集齊一套獎券的概率。

二、概率論與其他數學知識的融合

概率論應用幾乎遍及所有科學技術領域，概率估計不僅是數學學習重點，也是現實生活中的常見問題。融合有利于數學思維的形成，教師在教學中需要探索概率與其他知識點的交匯融合，培養學生動手探究習慣，層層遞進，舉一反三，發散思維，加強實驗訓練，尤其是要認真審題、梳理脈絡、理清知識點，把握本質內涵，完善知識體系結構，才能解決各類知識點融合復雜的難題，進而提升學生的數學綜合應用能力。

（一）概率與不等式知識融合

有效盤活學生學習思維，為概率學習與不等式學習帶來全新思路，從概率的角度去分析不等式問題，進一步加強對復雜不等式的理解，不等式是數學學習的起點，發散思維的形成有助于后續復雜數學問題的迎刃而解。

（二）概率與代數方程知識的融合

如關于游戲闖關的一道題目，第一關擲骰子1次，第二關擲骰子2次，以此類推第n關擲骰子n次，規定只有第n關的n次骰子點數之和超過n的二次方才算游戲闖關成功，請問這一關游戲最多能夠連過幾關？連過兩關的概率是多少？列出方程求解，這就是概率與方程的典型融合。

（三）概率與排列組合知識的融合

如針對電子專業的學生，結合物理電路方面的知識思考：由五個接收器與一個信號源構成一個串聯線路來接收信號，如果將左、右側的六個接線點分別隨機地各分為三組，然后將所有六組的兩個接線點用導線連接，請問這五個接收器可以同時接受信號的概率是多少？

三、培養數學思維是高質量教育發展的必須

（一）高質量教師的正確引導

高質量的教育需要高質量的教師，數學是思維的體操，提高學生的數學思維能力，這就需要教師的正確引導，作為公共基礎性數學課程，對學生數學思維的培養得天獨厚、責無旁貸。做中教、做中學，學中做，循循善誘，誘導啟發學生“口、手、腦”全用，“講、演、練”齊動，課堂精講、網絡輔學、實踐延伸，引導學生主動思考感悟，調動主觀能動性、發揮主體作用，在相互討論和啟發中開展高質量思維活動，在活動中學習、發展、創新，教師要做活動的引導者、組織者、參與者，為學生成長導航。

（二）數學思維魅力展望

學習數學的過程其實苦中做樂，要有足夠的勇氣與毅力，要有逢山開路、遇水搭橋的魄力，要忍受漫長而孤獨的研究過程，獨自品嘗成功的喜悅和失敗的沮喪，這就是數學思維的無限魅力。我們最早可追溯到18世紀古代著名的哥尼斯堡七橋問題：當時歐洲東普魯士哥尼斯堡的城市近郊，有一條河叫普雷蓋爾河，大河穿城而過，河中間有兩個島，在兩個岸和兩個島之間共架有美麗的七座橋，成為當地居民休閑娛樂的好去處。當時城中居民熱烈地討論：如果步行從一個地方出發，想一次性而且不重復地走遍七座橋，最終還能回到原始出發點，這種想法可能實現嗎？這個問題引發無數學者熱議。數學家歐拉把七橋問題轉化成特殊路徑的思考方法，嚴格證明了這樣的特殊路徑根本不存在，為熱議的七橋問題畫上了圓滿句號。歐拉這種極具代表性的思維范式直至今日對我們思考問題和分析問題仍有很強的指導意義和現實意義。

適應新時代、新挑戰、新機遇，在教育教學過程中師生只有真正體驗到應用數學思維解決實際問題的暢快淋漓、妙不可言，才能真正感悟"數學為自然科學之源"的論述是多么的精辟，才能對具有數學思維魅力的擁有無限向往。