在數理相通中讓初中生學到“能用的數學”

徐靜芳

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

對于學習數學的意義，不少學生是困惑的，即使是數學教師對此也不見得明晰達理，偶爾也會有片刻的迷茫。但作為數學老師又必須對自己所教的學科充滿信心，并以理直氣壯、不容置疑的口吻告誡學生：“生活處處是數學，學好數學就能在生活中解決很多難題”，以此來警醒學生，鞭策學生，督促他們對數學學習予以足夠的重視。筆者曾經教過一位男生，在進入初三的第一次期中考試后找到我，沮喪地說：“老師，我不想學習了，老師們現在教的都是‘沒用’的東西。”我思忖了一會兒，含糊其詞地回應他：“就算你學習再不好，老師也不許你這么瞧不起自己，老師教的學生將來都會對社會或多或少有用的。”當時他就一下笑出了聲，說道：“我不是這個意思，學了那么多，真的不知道有什么用，能用在哪里？”且又申明道：“我不是因數學成績不好而找借口。”對于此類帶有普遍性的質疑，我沉默了……

常說的“有用”和“能用”是有一定區別的。“有用”是理性意義上的價值判斷，而“能用”則是實踐運用上的價值體現。博大精深的數學知識，能讓初中生認識其“有用”的價值體現，雖只是淺嘗輒止，但數學思維的嚴謹性、邏輯性、深刻性使人獲益匪淺。當然，就初中生而言，數學的“有用”應借助實踐印證的“能用”來體現，唯此，才能激發廣大同學學習數學的興趣和積極性。筆者曾撰寫過“數學與生活”關聯度的文章，現以一些學生在學習物理時遇到的困惑為切入點，讓學生在“能用”的體驗中領悟數學的“有用”。

一、數、理相通，凸現數學的“能用”

（一）“能用”情景一

例1、甲、乙兩個實心均勻的正方體放在水平地面上，它們對地面壓強相等，已知甲的密度大于乙的密度，若在兩個正方體上分別沿水平方向切去相等的高度，剩余部分的質量分別為m’甲和m’乙，則（ ）

A. m’甲一定小于m’乙 B.m’甲一定等于m’乙

C.m’甲一定大于m’乙 D.m’甲可能等于m’乙

此題的答案是A，翻閱學生作業時，發現很多同學都選對了，我很高興，也想尋找原因，便好奇地問道：“你們是如何算出來的？”周圍的學生都異口同聲地說：“極限法。”學生們口中的“極限法”就是取極值的特殊情況：

于是乎，學生說：“既然切去相等的高度，兩個正方體就切去相等的h甲，那么正方體甲留下質量0，正方體乙還有剩余質量，所以就選A了。”

筆者隨即又問：“如果這是一題解答題，需要你寫解題過程，這時候是不能用特殊情況代替普遍情況的，怎么辦？”一片肅靜，班中竟然沒有同學使用計算方法解決本題。于是我叫來了物理課代表，請他用所學過的物理知識結合數學知識進行計算，且鼓勵他：“作為課代表，你應該具備一題多解的能力，老師相信你！同時你應該明白，理科知識往往不是獨立存在的，而是相互聯系的，聯系的橋梁時數學這門基礎學科。“隨即，他用了十分鐘來思考和計算，最后解決了本題，筆者也順水推舟邀請他為全班解答。這就有了下面的算式：

在本題正確解答后，我乘勢為學生們梳理了知識點：“除去你們應該知道的物理公式，本題涉及的大部分計算都是運用了初二數學的分式化簡，最后再結合不等式中相對比較難的知識點——比較代數式的大小，可見，運用的數學知識點多于物理知識點。”

之后，筆者請教了物理老師，固體壓強中的切割問題本身就是初中物理的考點之一，也是難點之一，于是再結合初中數學中運用比較少的代數式比大小知識點破解此題。對缺乏知識遷移、數學建模思想的學生來說，難度是大的。通過本例題的分析講解，我告訴學生：“知識不是獨立存在的，而是有機聯系的。也許你并不知道生活中哪里能讓你使用勾股定理和黃金比例，但當你把所學的知識融會貫通，就會產生熟能生巧的靈感，頓悟破解的思路和方法，從而收獲學習的自信、成功和樂趣。”

（二）：“能用”情景二

例2、在圖1（a）所示的電路中，電源電壓為18伏保持不變，電阻R1的阻值為5歐，滑動變阻器R2上標有“50Ω? 2A”，閉合電鍵S后電壓表示數如圖1（b）所示。

求通過電阻R1的電流I1;

求此時滑動變阻器R2消耗的電功率P2;

移動滑片P，在確保電路中各元件正常工作的前提下，求電壓表示數的變化范圍，以及滑動變阻器R2接入的阻值范圍.

2014年普陀區初三物理一模卷第21題，其中①、②兩題的解題方法套用所學的電學公式即可解決，我們要探究的是本題第③小題：

綜上所述，電壓表示數的變化范圍8～15V;

滑動變阻器R2接入的阻值范圍4～25Ω.

本題第③小題旨在討論電壓表示數的變化范圍和滑動變阻器R2接入的阻值范圍。計算公式雖是歐姆定律，但從解題思路分析，用到的是數學中的分類討論法，即在滑動變阻器取不同極值時，對應的電壓或電流如何變化。以及當R2最大時，出現電壓大于電壓表量程的情況，這就類似數學中的函數綜合題，自變量x取值不在定義域內。分類討論思想作為初中數學的重點及難點，卻滲透進了物理題型，且是較大難度的壓軸題。我告訴學生：“原本大家認為獨立的數學知識點，甚至懷疑無處‘能用’的數學知識點，不僅會運用于實際生活和科技發展中，而且會伴隨學段的升高，知識的豐富，難度的增加，越來越多的數學知識可解決理科方面的較難題型。和語文的工具性一樣，數學是學習理科、發展科技的基礎性、工具性學科。數學思維與能力決定著學習其他某些科目的深度和高度。現在你們應該發現，所學的數學知識是有用的，并且是‘能用的’。”

（三）“能用”情景三

（上海2005年）甲、乙兩小車同時同地同方向做勻速直線運動，它們的S-t圖像如圖所示。經過6秒，兩車的位置關系是（ ）

A甲在乙前面0.6米處

B甲在乙前面1.2米處

C在甲前面0.6米處

D在甲前面1.2米處

本題是2005年物理中考真題，在初三總復習時，我們都會對歷年考點進行總結復習。此時，學生已學習了初中階段的數學知識，從本題的S-t圖形分析，求路程、速度、時間這三個量之間的關系，能直接、準確地找到問題的答案。但利用數學中的數形結合思想解本題，可以讓解題思路歸于函數關系的建構，從本質上揭示勻速運動的規律。很明顯，這兩條線段都是正比例函數圖形的一部分，將兩個正比例函數解析式求出，把t=6代入兩個正比例函數解析式中，即可求出對應S的值（即得兩個橫坐標相同的點坐標）。如此分析，無論題目問的是6秒或8秒，都可以用函數解析式解出。

筆者告訴學生，本題原本是物理中的S-t圖像問題，是數學中一次函數y=kx在物理中運用，可采用數形結合的思想解題。答題情況良好，說明大家確實能用數學方法解決物理問題，同時也驗證了作為初三學生，你們已具備了一題多解的綜合能力，這是一件多么讓人感到高興的事啊！需注意的是，當遇到較難的物理問題而難以入手時，不妨打開自己的思路，想想能否在數學中調遣攻堅克難的“特種兵”，發揮其能用善戰的奇特作用。

因為數學是理科學習的基礎，與理科特別是物理學科，存在著種種邏輯聯系，故而筆者在日常教學中都會適時地滲透相關的物理知識。除上述三例外，學習初一的整式、分式計算，初二的整式方程、分式方程等內容時，會把物理中的常用字母P、F、S、ρ、g、h等物理量符號引入數學學習中。又比如物理電學中的歐姆定律三個物理量U、I、R之間的關系，可出現在初二正比例函數學習中;而物理中計算并聯電路的總電阻問題，可運用初一分式計算時有機滲透，，那么通過計算可以得到。

初二向量的平行四邊形法則，初三向量的線性運算中畫一個向量在兩個指定向量方向上的分向量，這些作圖知識，都應該讓學生多體驗、多思考，為在高中物理的力的合成與分解等矢量計算時作些鋪墊。

二、讓數學知識變得能用的實施要點

為了使掛在嘴上的理性“有用”，切實成為學生能感知、體驗的“能用”，作為數學教師的我們，似應關注若干實施要點。

（一）教師教學：意識、設計、適切

其一，需要教師對學生的學情有足夠的了解，對知識點在課程中的承前啟后作用充分把握，并對數學知識與其他學科特別是物理中相關知識的關聯和作用做到心中有數。其二，教師備課必須充分，除精備本學科外，還須增強跨學科意識，多與物理等學科的教師切磋交流，了解相互的教學進度及已學知識。在此基礎上，教師才有可能從容地設計教學，豐富數學知識結構，使數理等學科之間實現知識的自由轉換和有機遷移。在實施該跨學科教學時，應循序漸進、靈活滲透，適切把握。在適切上下功夫，切不可脫離學生實際、生搬硬套，或喧賓奪主、偏離主干。

（二）學生學習：興趣、方法、自主

“能用”的數學必然與實際問題的解決緊密關聯，或涉及相關學科的知識，屬于應用型數學的范疇，自然對學生的學習態度、學習能力、學習意志提出了較高的要求。出類拔萃的學生畢竟鳳毛麟角，我們的教學是面向所有的學生，這對我們數學教師提出了較高要求，開展數理相通的適切教學外，還應激發學生的探究興趣，使較多學生掌握一些數理結合、探究問題的基本方法，培養自主探究的基本能力，將數學思想、數學思維活用于以物理為主的相關學科學習中。

（三）習題編制：關聯、梯度、應用

教師在編制習題，布置課后作業時，應根據數學課程標準，既要夯實學生的基礎知識、基本技能，又要在培養學生數學思維品質（包括遷移運用能力）上統籌兼顧。這就要求教師在研析數學命題、編制數學習題時，注重知識的關聯性、梯度性、應用性。關聯性，和學生已學知識相關聯，和其他學科相關知識相關聯，和實際問題相關聯;梯度性，關注題目設計的層級和梯度，盡量符合不同能力水平的學生的需要，使學生在各自的“最近發展區”內累積遞進，發展學能。應用性，習題編制，除純數學的概念、演算外，盡量結合學生的生活實際，并與科技發展相結合，與理科中的物理等學科學習學習相結合，體現其學以致用的價值追求。

經驗證明，只有學生們認為所學的知識是“能用的”，他們學習數學的興趣和內驅力才會被真正激活，對于這門公認的“難科”才會真正產生迎難而上、主動探究的信心和毅力。

隨著中考改革，對學生綜合運用知識的能力和思維品質提出了更高的要求。筆者以數理相通為切入點，持續開展的初中生“能用的數學”的教學探究，也算作對當前教學改革的一種回應。筆者的觀點是：既要夯實學生的數學基礎，又要善于打通數學與物理、數學與生活間的認知障礙，這將是我們一線數學教師需要面對和突破的一個重要命題。