壓縮感知中測(cè)量矩陣篩選的等值線(xiàn)圖和優(yōu)化的適用性

吳小龍，程 濤，李德高，吳 艷

(廣西科技大學(xué) a.機(jī)械與交通工程學(xué)院; b.電氣與信息工程學(xué)院， 廣西 柳州 545006)

1 引言

對(duì)于稀疏信號(hào)，壓縮感知(compressive sensing,CS)可以在特定的條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集的同時(shí)對(duì)其壓縮，并以比奈奎斯特采樣定理低得多的采樣頻率進(jìn)行高質(zhì)量的信號(hào)重構(gòu)[1-4]。CS的數(shù)學(xué)模型如式(1)所示：

min ‖x‖0s.t.y=Φx

(1)

其中，y是測(cè)量數(shù)據(jù)，y∈RM；Φ是測(cè)量矩陣，Φ∈RM×N，M

CS的約束等距特性(restricted isometry property，RIP)如式(2)所示：

(1-σK)‖x‖2≤‖Φx‖2≤(1+σK)‖x‖2

(2)

其中σK∈[0,1)。

測(cè)量矩陣滿(mǎn)足RIP準(zhǔn)則是實(shí)現(xiàn)壓縮采樣信號(hào)有效重構(gòu)的關(guān)鍵，但是判斷測(cè)量矩陣是否滿(mǎn)足RIP很難。因而RIP缺乏實(shí)用性和可用性[7]。當(dāng)前判斷測(cè)量矩陣性能的主要判據(jù)是測(cè)量矩陣列間相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的最大值(μcmax)，如式(3)所示：

(3)

其中，Φi和Φj分別是測(cè)量矩陣的第i和j列。測(cè)量矩陣的μcmax越小，其性能越好。從而在重構(gòu)過(guò)程中可以獲得更好的重構(gòu)效果[8]。

壓縮感知中測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)、優(yōu)化和性能是關(guān)系信號(hào)重構(gòu)的關(guān)鍵因素。高斯矩陣、0-1隨機(jī)矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)為隨機(jī)矩陣)與0-1循環(huán)矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)為循環(huán)矩陣)是在壓縮感知研究和應(yīng)用中廣泛使用的3種測(cè)量矩陣[1,5,9]。高斯矩陣雖然具有好的RIP、信號(hào)重構(gòu)能力和普適性，但難以硬件實(shí)現(xiàn)。隨機(jī)矩陣和循環(huán)矩陣都易于通過(guò)數(shù)字微鏡(digital micromirror device，DMD)實(shí)現(xiàn)。循環(huán)矩陣在硬件實(shí)現(xiàn)和編程設(shè)計(jì)方面比隨機(jī)矩陣更有優(yōu)勢(shì)。盡管隨機(jī)矩陣和循環(huán)矩陣的列不相關(guān)性差，但通過(guò)測(cè)量矩陣的優(yōu)化算法可以極大改善和提高測(cè)量矩陣的列不相關(guān)性，從而獲得不弱于高斯矩陣的信號(hào)重構(gòu)效果[7-8]。

矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則主要是列間相關(guān)性最小化[10-12]。Elad和Duarte[11-12]以列間相關(guān)性最小化為目標(biāo)進(jìn)行矩陣優(yōu)化。盡管取得了較好的優(yōu)化效果，但存在方法復(fù)雜、操作不便的弊端，而且是非直接優(yōu)化。對(duì)測(cè)量矩陣Φ做各行正交規(guī)范化處理后，可得到優(yōu)化矩陣ΦO，優(yōu)化矩陣的性能好于測(cè)量矩陣。通過(guò)優(yōu)化矩陣可求得過(guò)渡矩陣T=ΦOΦT(ΦΦT)-1以及近似矩陣ΦT[7-8]。在重構(gòu)階段以測(cè)量階段的測(cè)量數(shù)據(jù)，通過(guò)式(4)可重構(gòu)得到更好的重構(gòu)效果[7-8]。

min‖x‖0s.t.yT=ΦTx

(4)

其中yT=Τy，ΦT=ΤΦ。

256是小壓縮比(測(cè)量矩陣的列數(shù)與行數(shù)之比)壓縮感知研究中常用的測(cè)量矩陣列數(shù)[7-8,13]；4 096是大壓縮比壓縮感知研究中常用的測(cè)量矩陣列數(shù)[14-17]。如何從優(yōu)化設(shè)計(jì)角度選擇合適大小的測(cè)量矩陣缺少相關(guān)研究。因此，本文基于列不相關(guān)性，研究了不同壓縮比的最大列數(shù)為256和 4 096的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣與高斯矩陣，為測(cè)量矩陣優(yōu)化提供指引和方向，避免壓縮感知中測(cè)量矩陣選擇的盲目性。

2 測(cè)量矩陣的等值線(xiàn)圖和理論分析

為構(gòu)建篩選測(cè)量矩陣的依據(jù)，分別研究最大列數(shù)為256和4 096的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣與高斯矩陣優(yōu)化前后的性能變化，并總結(jié)其分布規(guī)律。 隨機(jī)矩陣和循環(huán)矩陣中每行隨機(jī)分布k個(gè)1，k=N×13/36 (如k不為整數(shù)，則取小于該數(shù)的最大整數(shù))，除1外其它元素均為0。循環(huán)矩陣中各行向量都是前一行向量各元素依次右移2位的結(jié)果。k=N×13/36是經(jīng)過(guò)大量篩選實(shí)驗(yàn)獲得的經(jīng)驗(yàn)值。它能較好滿(mǎn)足同一矩陣中不出現(xiàn)相同行或列，而且1的數(shù)量盡量少的要求。

總之，天然林的生態(tài)功能和經(jīng)濟(jì)效益是現(xiàn)在人工林所不能替代的。天然更新的能力巨大，更新的面積和株數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同期人工更新的面積和株數(shù)。對(duì)此，可以實(shí)行人工更新與天然更新相結(jié)合的方法，即又節(jié)約人財(cái)物力，節(jié)約時(shí)間，又能保證更新成活率，同時(shí)又可培育優(yōu)良的“人天”混合林。

圖1 最大列數(shù)為256的隨機(jī)矩陣優(yōu)化前后及其差值的等值線(xiàn)圖Fig.1 Contour map of and its difference before and after optimization of a random matrix with a maximum number of 256 columns

圖2 最大列數(shù)為4 096的隨機(jī)矩陣優(yōu)化前后及其差值的等值線(xiàn)圖Fig.2 Contour map of and its difference before and after optimization of a random matrix with a maximum number of 4 096

圖3 最大列數(shù)為256的循環(huán)矩陣優(yōu)化前后及其差值的等值線(xiàn)圖Fig.3 Contour map of and its difference before and after optimization of the circulant matrix with the maximum number of columns of 256

圖4 最大列數(shù)為4 096的循環(huán)矩陣優(yōu)化前后及其差值的等值線(xiàn)圖Fig.4 Contour map of and its difference before and after optimization of the circulant matrix with the maximum number of columns of 4 096

圖5 最大列數(shù)為256的高斯矩陣優(yōu)化前后及其差值的等值線(xiàn)圖Fig.5 The contour map of and its difference before and after optimization of the Gaussian matrix with the maximum number of columns of 256

圖6 最大列數(shù)為4 096的高斯矩陣優(yōu)化前后及其差值的等值線(xiàn)圖Fig.6 The contour map of and its difference before and after optimization of the Gaussian matrix with the maximum number of columns of 4 096

當(dāng)高斯矩陣列數(shù)很大時(shí)，如果行數(shù)很大，各列包含的元素很多，各列之間已經(jīng)近似正交。即使對(duì)高斯矩陣優(yōu)化，可優(yōu)化的空間和潛力都非常有限。如果行數(shù)較少，各列包含的元素不多，樣本容量不夠。而列數(shù)很大，導(dǎo)致大概率出現(xiàn)列相關(guān)性較大的列。因此，圖6(a)中行數(shù)小于256的高斯矩陣的等值線(xiàn)迅速趨近于1。這時(shí)對(duì)高斯矩陣優(yōu)化，可優(yōu)化的空間和潛力也非常有限。因此，測(cè)量矩陣優(yōu)化適用于隨機(jī)矩陣和循環(huán)矩陣和最大列數(shù)較少的高斯矩陣，不適用于最大列數(shù)很大的高斯矩陣。

3 信號(hào)重構(gòu)結(jié)果對(duì)比和驗(yàn)證

128×256是各種壓縮感知研究中經(jīng)常采量矩陣用的測(cè)大小[7,13]。當(dāng)測(cè)量矩陣列數(shù)采用4 096時(shí)，多采用超大壓縮比[16]。圖7和圖8采用正交匹配追蹤( orthogonal matching pursuit，OMP)算法[13]給出了128×256和32×4 096的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和高斯矩陣優(yōu)化前后對(duì)相同信號(hào)的重構(gòu)結(jié)果。信號(hào)采用高斯稀疏信號(hào)，對(duì)每個(gè)稀疏度都重復(fù)試驗(yàn)50次，然后計(jì)算信號(hào)的精確重構(gòu)概率，仿真軟件采用Matlab R2015b。

由圖7可見(jiàn)，128×256的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和高斯矩陣優(yōu)化后的曲線(xiàn)位于優(yōu)化前的上方，重構(gòu)質(zhì)量和效果獲得很大改善。由圖8可見(jiàn)，32×4 096的隨機(jī)矩陣和循環(huán)矩陣優(yōu)化后的曲線(xiàn)位于優(yōu)化前的上方，重構(gòu)質(zhì)量和效果獲得較大改善。但是高斯矩陣優(yōu)化前后的曲線(xiàn)幾乎重合在一起，重構(gòu)效果沒(méi)有改善。

圖7 128×256的3類(lèi)矩陣優(yōu)化前后重構(gòu)概率與信號(hào)稀疏度的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.7 The relationship curve between reconstruction probability and signal sparsity before and after optimization of 128×256 three types of matrices

圖8 32×4 096的3類(lèi)矩陣優(yōu)化前后重構(gòu)概率與信號(hào)稀疏度的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.8 The relationship curve between reconstruction probability and signal sparsity before and after optimization of 3 types of 32×4 096 matrices

表1為128×256和32×4 096的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和高斯矩陣優(yōu)化前后的μcmax及其差值。由表1可見(jiàn)，128×256的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和高斯矩陣優(yōu)化前后的μcmax分別提高0.333、0.310和0.099。由表1可見(jiàn)，32×4 096的隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和高斯矩陣優(yōu)化前后的μcmax分別提高0.018、0.024和0.003。對(duì)圖7、圖8和表1綜合考慮，測(cè)量矩陣優(yōu)化后的μcmax提高約0.01，就能獲得明顯的重構(gòu)效果改善。32×4 096的高斯矩陣優(yōu)化后的μcmax僅提高約0.003，因此導(dǎo)致重構(gòu)效果無(wú)改善。

表1 3類(lèi)矩陣優(yōu)化前后μcmax及其差值

4 結(jié)論