基于GPI的三自由度直升機系統姿態控制研究

王玲玲，毋飛龍

(1.海軍航空大學 岸防兵學院，山東 煙臺 264000; 2.海軍91213部隊， 山東 煙臺 264000)

1 引言

直升機是一種利用旋翼提供升力和推進力的飛行器，與固定翼飛機相比，它可以實現低空、低速飛行，并能垂直起降和空中懸停，因此直升機在軍用和民用方面有了很大的發揮空間[1]。而且由于直升機是一種多輸入多輸出的非常復雜的被控對象，其對控制理論的研究和應用有著重要的工程意義，因此直升機也同樣成為控制理論研究中的一種廣泛研究對象。本文所研究的對象是三自由度直升機實驗平臺，它是一種由2個水平旋翼提供升力，與另一側的平衡塊構成的一種飛行器實驗裝置，可以圍繞立柱模擬飛行器俯仰、偏轉姿態，同時通過2個水平旋翼提供的升力差模擬飛行器的傾斜姿態，如圖1所示。

圖1 三自由度直升機系統示意圖Fig1.Diagram of 3-DOF helicopter system

目前，對該對象的研究多用來解決對飛行姿態的控制，采用的算法多為PID控制算法，如文獻[2-3]；或是對PID算法的改進[4]，如模糊PID[5-8]、神經網絡PID等[9-10]。理想條件下PID的相關控制算法已經能夠達到較好的控制效果。而當參數變化時或者受到外界不確定性干擾時，為了保證較好的控制效果，國內外研究學者也做了若干研究，如U.Pérez-Ventura[11]研究的當執行機構的電壓變化時，采用連續螺旋算法確?？刂频聂敯粜?；YANG Qiwei[12]則是通過對系統控制輸入輸出解耦，對各自解耦的部分采用非奇異終端滑?？刂苼肀ＷC魯棒性；Hicham Chaoui[13]則是針對結構性和非結構性不確定性分別設計自適應控制和參考模型，來應對不確定性對系統的影響。本文研究在跟蹤頻率變化信號或者惡劣噪聲環境下，如何改善傳統PID算法中的微分項對控制效果帶來的不利影響。本文以積分重構的思想，用控制量的積分代替被控量的誤差微分估計，即采用廣義比例積分控制算法(GPI)來實現飛行器的角度控制[14-15]，對姿態控制抗外界干擾的研究具有一定的參考價值。

2 數學模型

對圖1系統中的俯仰軸、橫側軸、旋轉軸分別進行力矩分析，忽略重力矩和干擾力矩，建立三軸模型為：

(1)

式(1)中：ε、p分別為俯仰軸、橫側軸角度；γ為旋轉軸角速度；Je、Jp、Jt分別為俯仰軸、橫側軸、旋轉軸轉動慣量；Kc為螺旋槳電機的升力常數；l1為螺旋槳到俯仰軸支點的距離；lp為螺旋槳到橫側軸支點的距離；Us為2個電機電壓之和；Ud為2個電機電壓之差；G3為2個螺旋槳的等效重力。參數建模示意如圖2所示。

圖2 參數建模示意圖Fig.2 Diagram of modeling

由式(1)可知，俯仰軸、橫側軸、旋轉軸的被控對象傳遞函數依次為：

(2)

(3)

(4)

式(2)～(4)中，各常變量參數的含義及取值如表1所示。

表1 三自由度直升機系統參數

3 基于GPI的飛行器姿態控制

設計GPI控制器來完成姿態控制，指標要求如表2所示。

表2 各通道姿態控制的指標要求

3.1 俯仰通道GPI算法設計

由前文俯仰通道的模型可知，俯仰角ε與控制輸入電壓Us之間的關系式為：

(5)

式(5)中，d為常值干擾信號。

(6)

由式(5)～式(6)可得：

(7)

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)有：

(10)

仍然延續PID控制律的設計思路，此時，可以令控制輸入的誤差eUs為[14-17]：

(11)

即控制輸入仍然是通過被控量誤差的比例積分微分控制。

將式(11)代入式(7)，此時可以求出控制律下的特征多項式方程，即：

(12)

(13)

(14)

易得復數域下的特征方程為：

s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

(15)

繼續對式(9)求導，得：

(16)

(17)

同時對式(12)求二階導，并將式(16)和式(17)代入后有：

(18)

對式(18)進行拉氏變換，得：

(19)

由此便得到控制輸入和俯仰角偏差之間的傳遞關系為：

(20)

3.2 橫側通道的GPI算法設計

由前文橫側通道的模型可知，簡化后的橫側角p與控制輸入電壓Ud之間的關系式，和俯仰角ε與控制輸入電壓Us的關系式類似，都是二階關系，因此，與上述過程同理設計可得橫側通道的GPI控制律，有：

(21)

以及GPI控制下的特征方程為：

s4+β3s3+β2s2+β1s+β0=0

(22)

同理，亦可得到控制輸入eUd和橫側角偏差ep之間的傳遞關系為：

(23)

3.3 旋轉通道的GPI算法設計

(24)

(25)

由式(24)～式(25)可得：

(26)

對式(26)積分可得：

(27)

令

(28)

此時，設計GPI控制律，有：

(29)

將式(29)代入式(26)，有：

(30)

對式(30)求二次導，有：

(31)

對式(26)和式(28)分別求導，可得：

(32)

將式(32)代入式(30)可得：

(33)

對式(33)進行拉普拉斯變換，得：

(1+τ3)s3+τ2s2+τ1s+τ0=0

(34)

則式(34)就是旋轉通道GPI控制下的特征方程，通過配置τi(i=0，1，2，3)使系統穩定且達到指標要求。

繼續對式(28)求導，有：

(35)

對式(29)求二階導，并將式(35)代入后，有：

(36)

對式(36)進行拉氏變換得：

(37)

(38)

3.4 參數設計

根據指標要求可以繪制出3個通道期望的閉環零極點范圍。由于俯仰通道和橫側通道的期望一致，因此可以繪制這2個通道的閉環零極點范圍，如圖3所示。同時根據主導極點的概念，可以設置一對遠離虛軸的負實極點，對旋轉通道來說，由于是三階系統，可以設置一個遠離虛軸的負實極點，則3個通道的系統響應完全可以由各自的一對復數極點來決定。

圖3 極點配置示意圖Fig.3 Diagram of poles distribution

由此，式(15)、式(22)所表征的四階系統，式(34)所表征的三階系統，都降階為二階系統進行討論。

對于俯仰通道來說，假設復數極點為s1，2，負實數極點為s3，4，則有：

(s-s1)(s-s2)(s-s3)(s-s4)=

s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

由此可確定控制律參數λi(i=1，2，…，4)，同理可確定橫側通道控制律參數βi(i=1，2，…，4)以及旋轉通道控制律參數τi(i=0，1，2，3)。

3.5 仿真分析

3.5.1俯仰通道仿真分析

根據式(20)可以得到俯仰通道GPI控制系統結構圖，如圖4。

圖4 俯仰通道結構圖Fig.4 Block diagram of pitching channel

而λi已由極點配置決定，接下來就是調整λi去滿足指標要求。

在階躍輸入下，根據極點配置，調整一組GPI控制參數至最佳響應，當λ0=153，λ1=730.2，λ2=948.17，λ3=60.8時，同時根據相近的極點配置，設置PID參數分別為Kp=4.154 2，Kd=5.293 7，Ki=0.876 6，得到PID的響應曲線如圖5所示。

圖5 相近極點配置下俯仰軸的階躍響應曲線Fig.5 Step response of pitch axis with similar poles assignment

同樣，在階躍輸入下，βi不變，在恰好滿足指標需求的條件下，取一組PID參數，得到響應曲線如圖6，此時PID參數分別為Ki=0.001，Kp=2，Kd=0.8。

圖6 調整PID參數至最佳時俯仰軸的階躍響應曲線Fig.6 Step response of pitch axis when PID parameters are adjusted to the best

圖7 相近極點配置下俯仰軸的正弦響應曲線Fig.7 Sine response of pitch axis with similar poles assignment

圖8 調整PID參數至最佳時俯仰軸的正弦響應曲線Fig.8 Sine response of pitch axis when PID parameters are adjusted to the best

通過以上仿真曲線可以看出，PID在相近極點配置下，并沒有滿足性能指標要求，而在能夠滿足指標要求的參數搭配下，由于其提高了快速性，降低了超調量，而喪失了一定的對頻率快速變化信號的跟蹤能力，如果系統中一旦出現高頻干擾，其跟蹤性能將會進一步喪失，這一點從PID算法的抗干擾分析中也可以看出。而且我們從GPI和PID這2個控制器附加的開環零極點也能看出，GPI比PID多增加了一個位于左半平面遠離虛軸的極點，相應地，其快速性指標要優于PID控制，跟蹤不同信號下的適應性更好。

在橫側通道和旋轉通道中，應用GPI和PID控制也有類似的結論，因此后續只討論GPI作用下的姿態控制和角速度控制，不再對GPI控制與PID控制做分析比較。

3.5.2橫側通道仿真分析

根據式(23)可以得到橫側通道GPI控制系統結構圖，如圖9。

圖9 橫側通道結構圖Fig.9 Block diagram of transverse channel

圖10 橫側軸的階躍響應曲線Fig.10 Step response of transverse axis

圖11 橫側軸的正弦響應曲線Fig.11 Sine response of transverse axis

3.5.3旋轉通道仿真分析

根據式(38)可以得到旋轉通道GPI控制系統結構圖，如圖12。

圖12 旋轉通道GPI控制結構圖Fig.12 Block diagram of GPI control for roll channel

圖13 旋轉角速度的階躍響應曲線Fig.13 Step response of rotational angular velocity

圖14 旋轉角速度的正弦響應曲線Fig.14 Sine response of rotational angular velocity

3.5.4橫側通道和旋轉通道的串級GPI控制

由式(1)知，改變直升機橫側軸的傾斜角大小可以控制直升機的旋轉速度。如此根據橫側軸及旋轉軸之間的相關性，可以將其設計為串級控制，其中，旋轉通道的橫側角輸出作為橫側通道橫側角的期望值，橫側與旋轉的串級控制如圖15所示。

階躍下的旋轉角速度響應曲線如圖16，階躍下的橫側軸橫側角響應曲線如圖17。

圖16 串級控制旋轉軸角速度響應曲線Fig.16 Angular velocity response of cascade control in roll channel

圖17 串級控制下的橫側角響應曲線Fig.17 Transverse angle response with cascade control

通過以上3個通道的仿真實驗，不難看出，在相同極點配置下，PID并沒有滿足性能指標要求。雖然其有自身的一套參數可以滿足，但由于其提高了快速性，降低了超調量，而喪失了一定的對頻率快速變化信號的跟蹤能力，因此相對于PID來說，本文設計的GPI控制具有更好的跟蹤適應性。

4 結論

本文以三自由度直升機為研究對象，在姿態控制中，當跟蹤頻率變換較快的信號或系統當中充滿高頻信號時，常規的PID算法中的微分項對此類信號較為敏感，造成算法的參數適應性較差，不易滿足指標要求等問題，本文在積分重構思想基礎上，以控制量的積分代替被控量的誤差微分估計，并通過高階求導，使被控量的誤差微分估計等于其實際值，從而使控制算法可以實際可操作。如此設計的廣義比例積分算法可以使被控對象在惡劣噪聲環境下實現姿態控制，滿足指標要求，且具有較高的適應性。