基于加權平方誤差損失函數的魯棒TOA源定位算法

弓艷榮，劉 鵬

(內蒙古電子信息職業技術學院，呼和浩特 010070)

0 引言

源定位技術是通過發射端發射信號，接收端通過測量信號的到達時間(time of arrival, TOA)[1]、接收信號強度(received signal strength, RSS)[2]以及到達角度等參數，估計發射端位置的技術。

目前，針對非視距(non-line-of-sight, NLOS)和視距(line-of-sight, LOS)的混合(LN-M)場景下的源定位算法[2-6]可分為基于優化的約束最小二乘法和基于穩健統計定位兩類。前者具有較高的定位精度，但它的復雜度高于基于穩健統計定位算法。因此，文中著重關注基于穩健統計定位算法。

多數的LN-M場景下的源定位算法采用中值概念，如最小中值平方(least median squares, LMEdS)[7]，M-估計[8-9]等。但測距信號的抽樣值在正態分布條件下，抽樣均值(sample mean, SMN)是一個有效估計策略，其性能優于抽樣中值(sample median, SMIN)策略。

然而，當出現異常抽樣值時，即抽樣值服從t分布、雙重指數分布等重尾分布時，抽樣均值的準確性迅速下降，劣于SMIN。因此，將基于抽樣均值的加權平方誤差(weighted square error, WSE)損失函數用于LOS場景。相反，在LN-M場景下就采用基于抽樣中值的WSE損失函數。因此，通過最小化這兩個場景下的WSE損失函數的和可實施源定位。為此，提出加權平方誤差損失函數的魯棒定位算法WSE-RS。

1 源定位的形式化表述及預備知識

假定網絡內有M個接收器(傳感節點)，一個發射器(源節點)。令[xiyi]T為第i個傳感節點的位置,[xy]T為源節點位置。

接收端通過測量源節點傳輸信號的到達時間TOA可估測與源節點的距離。在LOS/NLOS混合環境下，可建立式(1)所示的測量等式。第i個接收器所測量到源節點的距離為：

(1)

式中：di表示源節點(發射器)與第i個接收器間的真實距離；ni,j表示對噪聲變量的第j個抽樣值[10]。且i=1,2,…,M;j=1,2,…,P。ni,j服從LOS和NLOS的高斯混合分布，可表示為：

(2)

1.1 基于抽樣中值的最小二乘估計

用最小二乘法[11]求解式(1)。對式(1)兩邊平方，可得：

(3)

AX+qj=bj

(4)

ri,j中的異常值嚴重降低了算法性能。因此，用中值濾除異常值的影響。利用最小化平方誤差和實現LS定位估計：

(5)

式中：med(b1:P)=[med(b1,1:P),med(b2,1:P),…,med(bM,1:P)]T。med()表示計算中值的函數，即對P個抽樣值進行排序，取中間值。例如，med(b1,1:P)表示計算b1中P個抽樣值的中值。傳統的LS估計是計算所有抽樣值的平方誤差和，而式(5)是計算節點抽樣值中值的平方誤差和。

1.2 基于抽樣中值的高斯-牛頓估計法

采用高斯-牛頓估計法進行源定位。先建立最小化平方誤差的表達式：

(6)

再利用泰勒級數展開算法在參考點x0處對測距值進行線性處理：

d=f(X)≈f(x0)+G(X-x0)

(7)

(8)

利用基于抽樣中值的LS估計位置作為x0，可對X進行估計：

X(k+1)=X(k)+(G(k)TG(k))-1G(k)T[med(r1:P)-f(X(k))]

(9)

式中：X(k)表示第k次迭代的X估計；med(r1:P)=[med(r1,1:P),med(r2,1:P),…,med(rM,1:P)]T。

2 WSE-RS算法

將LOS/NLOS的混合場景劃分為LOS場景、LOS/NLOS場景。ε=0表示LOS場景；0<ε≤1表示LOS/NLOS場景。當傳感節點處于LOS/NLOS場景時，就利用抽樣中值構建損失函數；當傳感節點處于LOS場景，就利用基于抽樣均值構建損失函數。

2.1 LOS場景與LOS/NLOS場景的識別

(10)

2.2 基于抽樣均值的WSE損失函數

當節點處于LOS場景，WSE-RS算法就利用抽樣均值構建WSE損失函數：

(11)

將式(11)擴展到多個節點得：

(12)

式中：NLOS表示屬于LOS節點的下標集。

2.3 基于抽樣中值的WSE損失函數

當節點處于LOS/NLOS時，WSE損失函數為：

(13)

2.4 基于高斯-牛頓的LN-M場景下的位置估計

分別計算出在LOS、LOS/NLOS場景下的WSE損失函數，并通過最小化這兩個損失函數之和，實現對源節點定位：

(14)

通過求解式(15)可得源節點X的估計：

(15)

圖1給出WSE-RS算法估計源節點位置的簡要過程。先識別場景，再分別計算兩個場景下的損失函數，最后依據式(15)估計源節點位置。

圖1 WSE-RS算法框架

3 性能仿真

在Windows 7操作系統、8 GB內存、core i7 CPU的PC上進行實驗仿真。利用MATLAB軟件建立仿真平臺。在20 m×20 m區域內部署7個傳感節點，一個節點位于區域中心，另6個傳感節點分別分布于區域的邊界上，如圖2所示。10個源節點隨機分布于區域內。節點的通信半徑為10 m。

圖2 7個傳感節點和10個源節點的部署

選擇基于抽樣中值的最小二乘估計(LS-SM)和基于抽樣中值的高斯-牛頓估計(GN-SM)作為參照，并分析它們的均方根誤差RMSE的平均值，其表達式為：

(16)

3.1 LOS噪聲的標準方差對ARMSE的影響

首先，分析LOS噪聲的標準方差σ1對ARMSE的影響。σ1變化范圍為0.5～4，ε=0.3，σ2=10，μ2=5。仿真結果如圖3所示。

圖3 LOS噪聲的標準方差σ1對ARMSE的影響

從圖3可知，方差σ1的增加，增加了MSE的均值。原因在于：方差σ1測距誤差越大，降低了定位精度。相比于LS-SM算法、GN-SM算法，提出的WSE-RS算法降低了定位誤差。這是由于WSE-RS算法通過損失函數識別LOS場景和LOS/NLOS場景，并利用最小化兩個場景下的損失函數之和，估計節點的位置。

3.2 NLOS噪聲的標準方差σ2對ARMSE的影響

分析σ2對ARMSE均值的影響，其中σ2從2至10變化，如圖4所示。

圖4 NLOS噪聲的標準方差σ2對ARMSE的影響

從圖4可知，提出的WSE-RS算法的定位精度仍優于LS-SM算法和GN-SM算法。LS-SM算法的定位精度最差，原因在于：LS-SM算法只通過最小二乘估計源節點位置，并沒有考慮到LOS場景與LOS/NLOS場景的區別；而GN-SM算法是在LS-SM算法的基礎上進行迭代，定位精度得到提高。此外，對比圖4(a)和圖4(b)不難發現，圖4(b)的定位精度劣于圖4(a),有兩個原因：1)ε越大，意味著發生LOS/NLOS場景的概率越大，測距精度越低；2)σ1的增加，加大了測距誤差。

3.3 抽樣數q對ARMSE的影響

分析抽樣數q對ARMSE的影響，其中ε=0.3,σ1=0.25,σ2=0.10,μ2=5。

圖5為RMSE均值隨抽樣數q的變化曲線，其中抽樣數q從10至40變化。從圖5可知，抽樣數q的增加提高了定位精度，原因在于：抽樣數q越大，獲取的網絡環境以及測距信息越多，這有利于定位精度的提高。此外，相比于LS-SM算法和GN-SM算法，提出的WSE-RS算法在定位精度方面存在優勢。

圖5 抽樣數q對ARMSE的影響

3.4 算法的復雜度性能

最后，分析算法的復雜度。用算法的運算時間表征算法的復雜度性能。運算時間越長，表明算法的復雜度越高。

表1給出了LS-SM算法、GN-SM算法和WSE-RS算法的運算時間。從表中可知，LS-SM算法的運算時間最短，只有0.7 ms。而WSE-RS算法的運算時間達到2.1 ms。這說明，WSE-RS算法是以高的復雜度換取高的定位精度。

表1 算法的復雜度

4 總結

針對LOS/NLOS混合場景降低了TOA測距精度，提出基于加權平方誤差損失函數的魯棒定位算法(WSE-RS)。WSE-RS算法充分考慮到LOS場景與LOS/NLOS場景的特性，分別采用抽樣均值與抽樣中值構建WSE的損失函數。并通過高斯-牛頓法估計源節點位置。

仿真結果表明，相比于基于LS和高斯-牛頓算法，WSE-RS算法提高了定位精度，但是WSE-RS算法的復雜度較高。后期，將進一步分析優化算法，降低算法的復雜度。