整數值時間序列的擬似然推斷

張慶春，張 黎，范曉東

(1.吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022；2.鞍山師范學院 數學與信息科學學院，遼寧 鞍山 114007)

對整數值時間序列模型進行參數估計[5-7]也是統計學者研究的熱點問題.擬似然(Quasi Likelihood,QL)方法是由Wedderburn (1974)[8]提出的一種非參數估計方法,可以看作是最小二乘估計法的一種推廣.擬似然方法最大的優勢在于：不需要借助分布信息,只需要在二階矩存在的條件下,就可以對參數進行類似于 “似然” 的推斷,并且擬似然估計比極大似然估計具有穩健性.正因如此,擬似然方法一經提出便受到廣泛關注,先后被學者們應用于包括整數值時間序列模型在內的很多模型中.本文基于推廣的負二項稀疏算子利用預設新息過程分布法構造一元 INAR(1) 模型并用擬似然方法估計該模型的未知參數，具有一定的創新性和實際應用價值.

1模型及其性質

1.1 ENBINAR(1)模型

把滿足迭代方程(1)的過程稱為基于推廣的負二項稀疏算子的INAR(1)過程,記作ENBINAR(1)過程.

Xt=α*Xt-1+εt,t∈Z，

(1)

其中“*”表示推廣的負二項稀疏算子，其定義如下：

(2)

1.2 ENBINAR(1)模型性質

設{Xt)是由(1)式定義的一個ENBINAR(1)過程，其條件矩和矩分別為：

E(Xt|Xt-1)=α(Xt-1+1)+λ,

(3)

Var(Xt|Xt-1)=(1+α)α(Xt-1+1)+Vλ,

(4)

(5)

(6)

2 參數估計

2.1 擬似然估計(MQL)

設θ=(α(1+α),Vλ)T，模型的未知參數是β=(α,λ)T，記(4)式的一步條件方差為Wθ=(1+α)α(Xt-1+1)+Vλ.根據擬似然方法(Wedderbrun，1974)可以建立下面的標準估計方程：

(7)

首先設θ值已知，若θ值未知則利用其他方法估計出θ的值，帶入上面的方程組得到修正的擬似然估計方程組，若該方程組的解存在則可以解得未知數β的擬似然估計值為：

(8)

2.2 條件最小二乘估計(CLS)

利用條件最小二乘估計法可以得到未知參數β的估計值為:

(9)

2.3 條件極大似然估計(CML)

先給出模型的條件概率密度如下:

(10)

(11)

3 數值模擬

表1 Geo-ENBINAR(1)模型的CLS、MQL和MLE估計結果

從表1可以看出，隨著樣本量的增大，3種估計法的經驗誤差和標準誤差都在減小，說明3種估計量都具有一致性，都可以得到可靠的估計結果；MQL估計的經驗誤差和標準誤差比最小二乘估計的小，但沒有極大似然估計法的經驗誤差和標準誤差小，說明在非參數估計中，擬似然估計優于最小二乘估計，但稍遜于極大似然估計.

4 實例分析

為闡明模型的應用，我們選用匹斯堡警察署所統計的每月毒品犯罪案件數量的數據集，時間為1990年1月至2011年12月，共計264個月度觀測值.下面判斷該序列的平穩性并建立模型.利用R軟件畫出該序列的時序圖，ACF圖和PACF，見圖1.

從圖1中的時序圖可以看到該序列大致是平穩的，并且從ACF圖和PACF圖可以看出，ACF呈拖尾狀，PACF為一階截尾，一階偏自相關系數為0.45.初步判斷模型為INAR(1)類型.

number(a)時序圖

下面考慮新息過程分別為泊松分布和幾何分布的ENBINAR(1)模型，分別記為P-ENBINAR(1)模型和Geo-ENBINAR(1)模型，并與基于二項稀疏算子，新息過程分別為泊松分布和幾何分布的兩個BINAR(1)模型，分別記為P-BINAR(1)模型和Geo-BINAR(1)模型，相比較得出最優模型.利用MQL和MLE兩種方法來對4種模型中的參數進行估計，結果見表2.

表2 毒品犯罪數據的模型及估計結果

通過對比，4個模型中AIC值最小的是Geo-ENBINAR(1)模型，即基于推廣的負二項稀疏算子的幾何新息過程的INAR(1)模型是更適合該毒品犯罪數據的模型.

5 結 論

基于推廣的負二項稀疏算子建立整數值一階自回歸(INAR(1))模型，推導出了模型概率性質，對模型的未知參數進行擬似然推斷，得到了未知參數的修正的擬似然估計量，同時也針對模型中的未知參數給出了最小二乘和極大似然估計方法，通過數值模擬對模型的估計方法的有效性進行了評估.模擬結果表明，隨著樣本量的增大，3種估計法的估計誤差都在減小，說明3種估計量都可靠，修正的擬似然估計的誤差比最小二乘估計的小，但沒有極大似然估計法的誤差小，說明在非參數估計中，擬似然估計具有很大優勢，但稍微劣于參數估計法的極大似然估計.通過給出實際數據展示了模型的實用性，通過對比4個模型的AIC值，得出更適合數據的模型是基于推廣的負二項稀疏算子的幾何新息過程的INAR(1)模型.