基于多項式擬合法的位場分離研究

李小娜

(成都理工大學 地球物理學院，成都 610059)

0 引言

重力異常是地下地質體不均勻的密度分布的綜合反映。在需要解決所存在的地質問題時，人們總是希望能夠得到目標地質體的重力異常，從而進行反演解釋，計算出地質信息的目標密度，這種從已知的重力異常中獲取目標地質體重力異常的過程通常稱為重力異常分離(即位場分離)。在礦產資源勘查中，重力勘探是不可缺少的重要方法，人們在生產實踐中已經證明，數據處理是重力勘探中重要的環節之一，重力異常位場分離技術是重力異常數據處理中的一項重要工作。地下不同深度、不同形態、不同規模以及不同物性大小的地質體引起的重力異常的“疊加”就是空間分布的重力異常，是一種體積效應，其中包含了很多很寶貴的信息，若能從觀測數據中將目標地質體從重力異常中分離出來，就可以更進一步地研究其地質含義，較好地進行重力異常解釋和反演。

目前重力異常的處理方法已由手動轉變發展為自動，且方法眾多。此處我們主要討論不改變剛量的分離方法(波數域[1]和空間域)—空間域法。被廣泛應用的空間域方法包括平均場值法[2]、圓周法[3]、趨勢分析法[4]、插值法[5]等。平均場法是在一定剖面上或一定面積內的重力異?？煽醋鍪蔷€性變化的，其平均重力異常值可以看做是這一剖面或者平面中心點的區域異常值，這時對于局部異常來說，它的范圍應該小于或者等于所求的平均異常時所選用的范圍[6]。需要指出的是平均場法在應用中會帶來“虛假異?！钡膯栴}，人工用圖解法勾繪區域異常時，就可以避免這一問題。最小二乘法是在一定長度內(剖面上)或一定面積內(平面上)的重力異常圖中，一般將區域場看作是按照線性關系發生變化的，這時根據偏差平方和最小求出待定系數，就可得到區域場異常[7]。最小二乘法在運行中速度快、簡單易實現，但是對于數據點多、復雜的多變量高次曲線，此方法使用的很少。插值法實質是用受局部場干擾很小或完全不受局部場干擾的測點(稱為插值節點)上的場值來構造一個插值函數，然后用這個插值函數來計算受到干擾地段的區域場值[8]。最后實測值與所求得的區域場值的差，即為局部場值。目前插值函數種類繁多，近年來所提出的切割插值法具有劃分精度高、畸變小和處理速度快的優點[9-10],但是在具體應用時需要對局部場進行定量，且具體深度會產生一定的誤差[11]。多項式擬合法(趨勢分析法)是目前重力資料數據處理中常用的方法，當參數選擇恰當時可以獲得比較理想的位場分離效果。多項式擬合是利用全區所有測點上的數據，趨勢分析法的坐標原點是固定的而不是滑動的，所以需要將所有待定系數都求出來，才可以獲得各測點上的趨勢值[12]。Agocs[13]提出多項式擬合法，至今已被很多研究者證實。自21世紀開始，熊光楚[14]指出運用自調節趨勢分析法實現位場的分離，該方法的優勢在于能消除局部場對擬合區域場的多項式系數的影響；羊春華[11]用篩選-趨勢分析法進行位場分離，認為該方法在分離效果上較常規方法更準確、更完全；周錫明等[15]提出變階滑動迭代趨勢分析法，在應用于某油田重力數據后表明其能有效地提取微重力異常，且反映出的地質效果良好。另外，李春芳[16]、楊培勝[17]、 英高海[18]等都對多項式擬合法進行了不同的研究。劉金釗，朱呂濤等[19]利用雙線性鞍狀函數進行多項式擬合位場分離處理，并將其應用在川滇地區的實測重力數據上，證明了該算法的實用性。

每種重力異常分離方法都有其相應的條件，因此，選擇合適的位場分離方法，合理、正確地進行位場分離，獲得與研究對象有關的異常，是解釋和反演重力數據的關鍵步驟。近年來，我國進行了廣泛地面重力測量，獲得了大量的高精度重力數據，充分利用這些資料進行局部構造和區域構造的研究，對進行直接或間接勘探具有重要的意義。因此，筆者研究的多項式擬合位場分離方法具有重要的理論意義和現實意義。

1 算法原理

利用全區測點上的數據，根據測區內某一小范圍內的已知重力異常值的變化趨勢，建立一個擬合多項式，以一定階次的數學曲面來代表測區內異常變化的趨勢，并且用這個趨勢作為區域異常來看待，然后從同一點的布格異常值中減掉這一區域異常即可獲得測區內的局部異常，再用局部異常繪制局部異常平面圖或剖面圖。

在求區域異常時，必須求出擬合多項式的所有系數，以便利用它以及測點的坐標求出各測點的趨勢值，亦即區域異常值(當擬合多項式的階次不同時，多項式系數的數目也不同)。

按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，并采取二階多項式方程為擬合曲線的方法，稱為最小二乘法。以二次曲面擬合說明方法的基本原理[20]。設趨勢面為：

(1)

其中:aj(j=0,1,2，…，5)為待定系數。如果在測區中按一定的網格選取了n個點，其坐標為(xi+yi)相應點上的布格異常值為gi(i=1,2,3，…，n)。則要是二次多項式所代表的曲面(趨勢面)能與重力異常的變化在最小二乘方的意義下得到最佳擬合，系數ai應滿足：

min

(2)

根據多元函數求極值得的法則, 式(1)成立的條件是:

(3)

于是，可以得到一個包含有多項式待定系數aj(j=0,1,2，…，5)的線性方程組(4)。它的矩陣形式為：

ATAX=ATg

(4)

其中:AT為A的轉置矩陣。式(4)中的列矢量矩陣分別是：

(5)

利用相應的方法解出待定系數aj，然后利用式(1)，便可根據每個網格點的坐標(xi,yi)。最后繪出趨勢異常(區域異常)圖和剩余異常圖。

2 模型搭建及分析

研究不同形狀的地質體在地面產生的重力異常及其特征，是對實測異常進行解釋的基礎。一般通過建立正演模型，并對其進行處理和解釋來驗證數據分析、地質解釋和重力反演的理論方法是否正確。因此，研究正演是反演的基礎，位場正演計算，長期以來一直都為地球物理工作者們所關注。根據正演理論，我們可以搭建不同的合成模型。趨勢分析法在建立正演合成模型時需要對用到的盆地基底進行擴邊處理，筆者對斷點數據進行了外擴，外擴的范圍相對局部場很大，因此可以忽略邊界效應。

根據最小二乘法，可用每個坐標點的坐標x計算出該點的重力異常值g。然后求出局部異常，繪出趨勢異常(區域異常)和局部異常圖。

(6)

2.1 模型搭建

筆者建立了兩個不同的地質模型來客觀評價多項式擬合位場分離方法的效果，如圖1所示。圖1(a)為模型一，其參數為：直立板狀體密度為0.3 g/cm3，直立板狀體在Z方向的頂底深度分別為1 km和4 km;水平方向視厚度為10 km;頂界面中心橫坐標為95 km;板狀體向下延伸的方向與X軸正方向所成角度為45°。盆地基地在X坐標范圍為(0 km～200 km)上，每間隔5 km取一個點，共取41個點。

圖1(b)為模型二，其參數為：直立板狀體從1-3的密度依次為0.3 g/cm3、0.5 g/cm3、0.3 g/cm3，在Z方向的頂底深度依次分別為1 km和3.1 km、1.5 km和4.7 km、2 km和4.1 km，水平方向視厚度依次為12 km、9 km、12 km,頂界面中心橫坐標依次為160 km、30 km、100 km，板狀體向下延伸的方向與X軸正方向所成角度依次為90°、45°、90°。

圖1 模型Fig.1 Model(a)模型一;(b)模型二

2.2 模型分析

圖2(a)、圖3(a)分別為模型一與模型二的疊加異常，理論區域異常和理論局部異常，依次作為對照來分析經過多項式擬合之后所得到的區域異常和局部異常的可靠性和有效性。由圖2(b)，圖3(b)可看出，當測區范圍較小，基底起伏相對簡單時，經多項式擬合法得到的區域異常與理論異常相同，得到的圖1(c)局部異常與理論局部異常形態幾乎相同。

圖2 模型一重力異常Fig.2 Gravity anomaly in model 1(a)重力異常理論值;(b)理論區域異常與多項式擬合法得到的區域異常;(c)理論局部異常與多項式擬合法得到的局部異常

圖3 模型二重力異常Fig.3 Gravity anomaly in model 2(a)重力異常理論值;(b)理論區域異常與多項式擬合法得到的區域異常;(c) 理論局部異常與多項式擬合法得到的局部異常

圖4 模型一選擇低階多項式(2次)得到的重力異常Fig.4 Gravity anomalies obtained by selecting lower order polynomials of the model 1(a)理論區域異常與經多項式擬合得到的區域異常;(b)理論局部異常與多項式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項式擬合得到的疊加異常

圖5 模型一選擇高階多項式(9次)得到的重力異常Fig.5 Gravity anomalies obtained by selecting higher order polynomials of the model 1(a)理論區域異常與經多項式擬合得到的區域異常;(b)理論局部異常與多項式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項式擬合得到的疊加異常

圖6 模型二選擇低階多項式(5次)得到的重力異常Fig.6 Gravity anomalies obtained by selecting lower order polynomials of the model 2(a)理論區域異常與經多項式擬合得到的區域異常;(b)理論局部異常與多項式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項式擬合得到的疊加異常

圖7 模型二選擇高階多項式(12次)得到后的重力異常Fig.7 Gravity anomalies obtained by selecting higher order polynomials of the model 2(a)理論區域異常與經多項式擬合得到的區域異常;(b)理論局部異常與多項式擬合得到的局部異常;(c)理論疊加異常與多項式擬合得到的疊加異常

圖8 模型一選擇不同階次多項式得到的重力異常Fig.8 Gravity anomalies obtained by selecting polynomials of different order in Model 1(a)區域異常;(b)局部異常

當測區范圍較大，基底起伏又復雜時需要的多項式階次就越高，其得到的局部場異常并不是越好，經多項式擬合法得到的區域異常與理論異常在小波長附近的吻合度較小，得到的圖3(a)局部異常與理論局部異常在長波段形態相似。

圖4～圖7可看出，將相同直立板狀體(局部場)放在相同盆地基底(區域場)的不同位置，盆地基底(區域場)本身的多項式擬合階次沒有變化，但是直立板狀體(局部場)和疊加異常多項式階次發生很放大變化。不同直立板狀體(局部場)放在相同、不同的盆地的相同位置其盆地基底(區域場)本身的多項式階次沒有很大變化，但是直立板狀體(局部場)和疊加異常度多項式階次仍然會發生很放大變化。當盆地基底本身的起伏很大很復雜時，其自身的多項式階次就會很大。當擬合的多項式的階次特別高時，擬合曲線會產生震蕩，扭曲區域場的形狀，獲得的局部異常分布會不精準。

由8圖可以看出，模型1的盆地基地擬合曲線經過7次后幾乎與原盆地基地曲線重合，直立板狀體擬合曲線經過8次后與原直立板狀體曲線很相近,在第9次擬合時出現了反向虛假異常。

由圖9可以看出，模型2的盆地基地擬合曲線經過10次后幾乎與原盆地基地曲線重合，直立板狀體擬合曲線經過12次后才與原直立板狀體曲線很相近。

圖9 模型二選擇不同階次多項式得到的重力異常Fig.9 Gravity anomalies obtained by selecting polynomials of different order in Model 2(a)區域異常;(b)局部異常

由圖1～圖9可看出，相同直立板狀體(局部場)放在相同、不相同的盆地基地(區域場)的不同位置，盆地基地(區域場)本身的曲線擬合次數幾乎沒有的變化，但是直立板狀體(局部場)曲線擬合次數發生很放大變化。不同直立板狀體(局部場)放在相同、不同的盆地的相同位置其盆地基地(區域場)本身的曲線擬合次數沒有很大變化，但是直立板狀體(局部場)曲線擬合次數仍然會發生很放大變化。當盆地基地本身的起伏很大很復雜時，自身的擬合次數就會很大。

3 實測數據應用

這里實測重力剖面數據來自于遼寧省葫蘆島市楊家杖子鎮經濟技術開發區黑魚溝某礦洞。該區域上構造活動強烈,主要為斷裂構造,燕山期的巖漿活動也很強烈,區域礦產資源豐富.由于構造及虹螺山巖體巖漿熱液作用,區內蝕變,礦化程度較強,具有較好的成礦條件.礦體主要賦存于巖漿巖及地層的接觸帶(矽卡巖帶)內,區內礦床類型主要為矽卡巖型.蝕變破碎帶,矽卡巖化等是主要的找礦標志。礦洞位于黑魚溝西山寒武系下方，是鉛鋅礦開采礦洞。礦洞斷面為馬蹄形，水平延伸近50 m，可近似為一個無限長的水平圓柱體。礦洞中心埋深為5 m，高和寬均約2 m(圖10)。在地面采集重力數據，重力觀測剖面垂直于礦洞走向。

圖10 礦洞位置及剖面形態Fig.10 Location and section shape of ore hole

觀測布格重力異常如圖11(a)中的實線。用多項式擬合法對該數據進行擬合得到區域(背景場)場(圖11(a)中虛線)；去掉區域場(背景場)后得到的局部重力異常如圖11(b)所示。對比圖12[21]應用非線性濾波分離法得到的局部重力異常，本文方法得到的位場分離效果與實際情況基本一致，可以應用本文得到的位場分離效果確定場源、斷裂位置及密度界面。

圖11 實測重力數據異常分離Fig.11 Anomaly separation of measured gravity data(a)實測重力布格異常和經多項式擬合得到的區域重力異常;(b)分離后得到的局部異常

圖12 石甲強Fig.12 Shi Jiaqiang(a)實測布格重力異常和分離的區域(背景)場;(b) 局部重力異常(實線)及去噪后的局部重力異常(虛線)；(c)基于向下延拓Milne法的重力歸一化總梯度剖面

4 結論及建議

場分離結果的好壞直接影響著最終解釋結果。筆者依據正演模型，對多項式擬合法在位場分離中的應用進行分析，得出以下幾點認識：

1)在利用趨勢分析法劃分區域異常和局部異常的效果，主要取決于所建立的數學模型與實際區域重力異常分布的近似程度，但測區的范圍比較大，地質條件又比較復雜時，它的區域異常就不一定能用某個固定的多項式來表示，所以應用本方法時必須結合區域地質條件，對測區的區域異常進行分析。

2)多項式擬合法在建立正演模型時要進行擴邊處理，并要將邊界效應降低到可忽略不計。

3)在對同一組模型采用多項式擬合算法，并不是擬合次數越多，相對誤差越小，效果越好。相反，當擬合次數很大時，擬合得到的曲線會產生震蕩。多項式階次的選擇，原則上應視區域場的復雜程度來定。階次太高，會出現趨勢值受局部場的影響較大的現象，因而會削弱局部異常的劃分，同時也使趨勢面畸變。因為階次增加時，方程組解的誤差會急劇增加。

4)雖然在這里的模型試驗中利用多項式擬合法進行位場分離的效果較好，但是由于位場分離涉及到的實際地質情況較為復雜，多項式擬合法對于短波長的異?？坍嬋源嬖趩栴}，下一步將融合其他方法進行進一步研究。

致謝

感謝吉林大學地球探測科學與技術學院肖鋒副教授和石甲強同學向本文作者提供實測重力數據！感謝成都理工大學圖書館為我們提供討論場所和文獻資源！