淺析二級倒立擺系統最優控制器設計

劉大偉，湯玉東，滕福林

（南京工程學院自動化學院，江蘇 南京 211167）

倒立擺控制系統具有以下特性：復雜性、不穩定性、非線性強、強耦合性，因此它是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。控制理論中的許多經典性問題都能在倒立擺控制實驗中表現出來：如穩定性問題、魯棒性問題、非線性問題、隨動問題以及跟蹤問題等。同時倒立擺的研究也具有重要的工程應用背景，行走機器人的關節控制、火箭發射中的垂直度控制、海上鉆井平臺的穩定性控制、飛機安全著陸和衛星飛行中的姿態控制等均涉及到倒置對象的穩定控制問題。因此，倒立擺控制策略的研究具有重要的理論和實踐意義，成為控制理論中經久不衰的研究課題，大量的研究成果表明利用經典控制理論、現代控制理論以及智能控制方法可實現對倒立擺系統的控制穩定。本文針對固高直線二級倒立擺系統，采用Langrange方程建立了二級倒立擺系統的數學模型，并分析了倒立擺系統不穩定平衡點能控問題，設計了二級倒立擺系統最優控制器，實現了二級倒立擺系統的有效控制。

1 二級倒立擺數學模型的建立與穩定性分析

1.1 數學模型的建立

二級倒立擺的模型如圖1所示，各物理參數取值如表1所示。

圖1 二級倒立擺模型

表1 二級倒立擺參數

系統做如下假設：小車、一級擺桿和二級擺桿都是剛體；皮帶輪與同步帶之間無相對滑動，且同步帶不會拉伸變長；小車與導軌之間的摩擦力與小車速度成正比；各級擺桿與轉軸間的轉動摩擦力矩與擺桿的角速度成正比。本文采用分析力學中的Lagrange方程建模。

并且取小車加速度為輸入變量，即：u=x

在平衡位置（上下桿垂直向上）附近進行泰勒級數展開，并線性化可得到二級倒立擺系統的狀態空間表達式：

1.2 穩定性分析

二級倒立擺在平衡點的數學模型如式（1）所示，下面分析該平衡點的穩定性、能控性以及能觀性。

根據現代控制理論[6]相關知識可知系統（1）：

對二級倒立擺狀態方程(1)的系統矩陣進行奇異值分解，得到系統矩陣的奇異值陣S。

二級倒立擺的相對可控度：δ=1/102.7083 = 0.0097，相對可控度較小，二級倒立擺控制難度高。

2 二級倒立擺最優控制器設計

2.1 線性二次型最優控制

線性二次型最優控制設計是基于狀態空間技術來設計一個優化的動態控制器。系統模型是用狀態空間形式給出的線性系統，其目標函數是狀態和控制輸入的二次型函數。二次型問題就是在線性系統約束條件下選擇控制輸入使二次型目標函數達到最小。

對于連續時間系統：

要尋求控制向量 u*(t) 使得二次型目標函數為最小。

式中，u不受限制，Q為半正定是對稱常數矩陣，R為正定實對稱常數矩陣，Q、R分別是對狀態變量和輸入量的加權矩陣。

式中，K為最優反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（Riccati）代數方程，因此，系統設計歸結于求解黎卡提（Riccati）方程的問題，并求出反饋增益矩陣K。

2.2 二級倒立擺系統最優控制器設計

假設全狀態反饋可以實現（六個狀態量都可測），找出確定反饋控制規律的向量K。用Matlab中的LQR函數，可以得到最優控制器對應的K。lqr函數允許選擇兩個參數——R和Q，這兩個參數用來平衡輸入量和狀態量的權重。由于Q與R的不確定性，所以只能采取湊試法進行確定。輸入向量R一般為[1]，通過改變Q矩陣中的非零元素來調節控制器以得到期望的響應。

其中，Q11代表小車位置的權重，Q22是擺桿1角度的權重，Q33是擺桿2角度的權重。

湊試的流程大致如圖2所示。

圖2 確定Q流程圖

通過計算選取Q11=500，Q22=100，Q33=100。

此時最優控制率K的值為：[22.3607，100.5965，-184.0515，20.6280，2.1536，-30.2569]。

2.3 二級倒立擺系統最優控制器仿真與實物調試

（1）最優控制器仿真。仿真結構圖如圖3所示。

圖3 二級倒立擺最優控制仿真結構

初始小車位移設為0.1，上下擺均為0時，該系統的波形如圖4所示。從上到下依次為小車位移變化、下擺角角度變化、上擺角角度變化。

圖4 仿真結果

改變初始的條件，令小車位移上擺角均為0，下擺角角度為0.05，得到二級倒立擺最優控制系統波形如圖5 。

圖5 仿真結果

仿真結果表明，本文設計的最優控制器能控制上、下桿保持在不穩定平衡點，且使得小車的位移為零，實現較好的控制效果。

（2）最優控制器實物調試。二級倒立擺系統實物控制的結構圖，如圖6所示，實物控制效果如圖7所示。

圖6 二級倒立擺實物控制結構圖

圖7 二級倒立擺模糊控制效果圖

通過實物控制驗證，可以成功的把二級倒立擺穩定在不穩定平衡點。證明了所設計的最優控制器是非常有效的。

3 結語

本文對二級倒立擺的最優控制進行了研究。借助于Lagrange方程，在平衡點進行線性化建立了二級倒立擺系統的數學模型，并分析了其不穩定平衡點的能控性，采用試湊方法設計了最優控制器，實現了對二級倒立擺系統的有效控制。Q、R矩陣選取對控制性能的影響機理尚需進一步的研究。