“三個和尚沒水喝” 問題的心結與新解

張 悅 樂永琪 周艷國

(武漢大學土木建筑工程學院，武漢 430072)

俗話說：“一個和尚挑水喝，兩個和尚抬水喝，三個和尚沒水喝”，這個問題雖然簡單但也很難解決，千百年來，為了達到三個和尚都滿意的公平，社會大眾提出了各種各樣的解決方案[1]，但大多都傾向于從管理以及合作的方面來解決問題。本文另辟蹊徑，利用結構力學理論[2-6]，從結構的角度來解析為什么會出現這樣的問題。一個和尚挑水，全部由一個人負擔，不存在公平性問題。兩個和尚抬水，大家一人負擔一半，公平性問題也很容易就解決了。但是在三個和尚抬水的問題中，原因就復雜了，例如三人之間的配合問題，負擔受力問題，和尚本身條件問題等。其中最重要的原因是，三個和尚的付出比較難以達到相同，用力學的語言描述即為，由于結構體系受力等原因，三個和尚所承受的載荷不均等，彼此都認為自己出了太多的力而不公平，使得合作無法繼續，因此會產生偷懶行為，從而更難滿足公平。本文就三個和尚抬水的力學模型問題進行簡化并討論，將三個和尚載荷相同視為公平的基本條件，對基本的結構力學模型進行了一些優化與改進，并設計分析了新的結構方案，以尋求達到公平所能采取的理論措施。為面對此類問題的解決者(老和尚或決策協調者)提供多種解決方案。

1 三個和尚抬水問題的簡化

從力學簡化模型上看，一個和尚挑水，獨自承受兩桶水的力P，此為有一個支撐的雙懸臂靜定梁結構，如圖1 所示。

圖1

兩個和尚抬水，可以簡化為一個兩端簡支的簡單靜定梁模型，如圖2 所示。

圖2

兩端支座載荷相同，因此也是公平的，只要兩個支座條件一致，即可保證公平。

但是在三個和尚抬水問題中，可簡化為有三個豎向支撐的超靜定連續梁結構，導致三個和尚承受的載荷不均等，因此出現公平性問題，使得合作無法繼續。

三個和尚抬水問題的結構計算簡圖，采用一整根扁擔時為超靜定模型，如圖3(a) 所示，采用兩根扁擔時為靜定模型，如圖3(b) 所示，其中，L為兩個和尚肩膀之間的間距。

圖3

將扁擔簡化成梁，即抗拉剛度EA遠大于抗彎剛度EI且無剪切變形的桿件，將人簡化為鏈桿支座。

對此基本的力學模型，超靜定結構用力法進行求解可得，兩側支座支反力為5P/16，中間支座支反力為11P/8，靜定結構兩側支座支反力為P/2，中間支座支反力為P，無論是哪個模型，對三個和尚來說都存在著明顯的載荷不均的現象，所以需要對結構進行優化設計，改變結構受力狀況，從而實現公平。而在結構力學理論中，結構分析模型的簡化由以下內容組成：結構體系、桿件、結點、支座、載荷、材料等，這為結構模型的選取和修改提供了設計分析思路。因此從以下六個方面進行模型的修改和分析：改變結構形式、改變結構尺寸、改變載荷形式、改變載荷位置、改變支座形式、改變支座位置。

2 均等載荷方案

2.1 改變載荷位置

根據結構力學理論，最簡單的辦法是改變載荷位置，可以直接使得結構的受力發生改變。這里同時討論了改變載荷位置對兩個模型(超靜定結構和靜定結構) 的影響。

2.1.1 超靜定結構載荷偏移

對于超靜定結構模型，載荷偏移模型結構計算簡圖如圖4 所示，其中，x為水桶重力P與端支座之間的距離。

圖4

對圖4 所示結構，利用對稱性簡化方法，取半結構，并采用力法進行計算，可求得兩側支座支反力F為

令F=2P/3，解得x ≈0.226L，此時三人載荷相等，達到公平。因此在實際中，可通過改變載荷的位置，使得三個和尚受力相同，達到公平。

2.1.2 靜定結構載荷偏移

對于兩跨的靜定結構模型，載荷偏移模型結構計算簡圖如圖5 所示。

圖5

按照靜定結構求解方法，對單跨靜定梁進行分析，當x=L/3 時，兩端支座載荷為2P/3，中間支座載荷為2P/3，能夠使得三人載荷相同，達成公平條件。此模型方案中，注意中間支座處，兩根桿件的連接形式為鉸結構造。

2.2 改變支座

2.2.1 改變支座位置

將中間支座給定下沉位移(以此模擬中間和尚的允許位移或偷懶行為)，示意圖如圖6 所示，其中Δ為支座位移。

圖6

對其求水桶重力P在結構上產生的彎矩MP和支座位移Δ在結構上產生的彎矩MΔ，彎矩圖如圖7 所示，計算可知，兩端支座支反力為若三人載荷相同，即滿足公平條件時，有F1=F2。此時解得Δ=17L3P/(144EI)

圖7

以上分析表明，在此方案模型中，可以發生中間支撐有Δ的下沉，也就是說可允許處于中間位置的和尚有一定的“偷懶行為”，也可保證三個和尚出力相同，從而保證公平。

2.2.2 改變支座形式

將三個支座全部改為彈簧支座，結構計算簡圖如圖8 所示，其中，ki為彈簧支座剛度系數(i=1，2，3)。

圖8

計算可得，支反力關系為

當滿足三支座支反力相同，達成公平條件時，有X1=X2=X3，代入式(4) 和式(5) 可以解出k1，k2，k3之間的關系式為

根據式(6) 可知，當k1或k3增大時，X1=X3增大，X2減小。當k2增大時，X2增大，X1=X3減小。取其中兩種特殊情況進行證明，當k1=k3=∞，k2= 96EI/(17L3) 或k1=k3= 48EI/L3，k2=96EI/(19L3)時，能夠達成公平條件，即X1=X2=X3= 2P/3。當然，在符合式(6) 的條件下，還可以取得無限多組可以滿足公平條件的k1，k2，k3的解。

2.3 改變結構形式

2.3.1 三人四桶結構

為了采用更加靈活的手段(多個可調參數)處理問題，可采用不同的結構形式，以及載荷大小與形式，采用三人四桶結構形式，計算簡圖如圖9 所示，其中，x為兩端水桶重力P2與兩側支座之間的距離。

圖9

將內側的兩個水桶重量設為P1，兩端兩個水桶重量設為P2。解一次超靜定結構，利用力法方程的變形協調條件可算得中間支座支反力為

即P1，P2，x，L滿足式(9) 時，將使得三人載荷相等，達到公平。簡單地，當x=L/4，P1= 2P2時，達到公平。此方案中，提供了三個參數，根據實際情況，依據式(9) 通過調整P1，P2，x的值，達到公平性的要求。

2.3.2 兩端為鉸支座的變截面結構

將兩端長為x的兩段桿變為抗彎剛度為kEI的等截面桿。結構計算簡圖如圖10 所示。

圖10

為方便計算，利用結構的對稱性，取其半結構進行分析，如圖11 所示，EI為桿的抗彎剛度，k為比例系數，x為抗彎剛度為kEI的等截面桿的長度。

圖11

一次超靜定結構，圖乘法可得力法方程中的系數項δ11=x3/(3kEI) + (L3-x3)/(3EI)，Δ1P=-[k(L-x)2(2L+x)P]/(6EI)，利用力法變形協調條件算得端支座支反力

式中，δ11為端支座在X1作用下產生的位移的比例系數，Δ1P為端支座處在水桶重力P作用下產生的位移。

為達成公平條件，即三人載荷相同，可知X1=2P/3，代入式(10) 可得

由此可知，當x與k的關系滿足式(11) 時，能夠達成公平條件，使三個支座的載荷相同。取其中兩種特殊情況進行證明，當k= 3.210，x= 0.23 或k= 0.451，x= 0.22 時，求得X1= 0.666 7P，滿足公平條件。同理，在符合式(11) 的前提下還可以解出無限多組滿足公平條件的k和x的解。

2.3.3 兩端為固定端支座的變截面結構

由結構力學原理可知，若兩端支座由鉸支座更換為固定端支座，則兩端支座支反力將會增大，以此為先決條件，對變截面模型進行進一步優化，如圖12 所示。

圖12

為方便計算，利用結構的對稱性，取其半結構進行分析，如圖13 所示。

圖13

一次超靜定結構，忽略桿件軸向變形，不考慮X3，圖乘法可得力法方程中的系數項

為達成公平條件，即三人載荷相同，可知X1=2P/3，代入式(12) 進行求解可得

由此可知，當x與k的關系滿足式(13) 時，能夠達成公平條件，使三個支座的載荷相同。取其中兩種特殊情況進行證明，當k= 7.28，x= 0.5 或k=28.11，x=0.6 時，求得X1=0.666 7P，滿足公平條件。同理，在符合式(13) 的前提下還可以解出無限多組滿足公平條件的k和x的解。

2.3.4 正三角架結構

將結構改造為空間受力體系，如圖14 所示，結構桿件為布置在水平平面中的三角支架，而載荷位于面外，豎直方向。其中，Mi為支反力Xi在水桶重力P處產生的彎矩(i=1，2，3)。

圖14

正三角支架中部設置一個通過三角支架中心的橫梁，在中心處設置承重滾珠以保證水桶重力的作用線始終通過結構中心。

3 實際應用探究

3.1 各個方案的比較

各個方案中，方案一改變載荷位置為最簡單的情況，簡單改變載荷的作用位置，即可達到公平。

方案二改變支座稍顯復雜，2.2.1 中間支座下沉方案中，需要對扁擔材質進行解析，進而求出公平條件達成時，中間支座的下沉高度，而在實際應用中可能會出現挑水的三人兩強一弱或兩弱一強的情況，這時就可以適當地調整中間支座的下沉高度以適應實際情況。2.2.2 三彈簧支座方案比較簡單，可以依據實際應用中挑水三人的身體狀況選擇不同彈性系數的彈簧支座，使得在絕大多數情況下都能夠保證公平條件的達成。

方案三改變結構形式相對復雜，其中2.3.1 三人四桶結構有多個可變參量，與方案一相比相對靈活，而且能夠在一個來回中運輸更多的水桶，只需各參量之間的關系滿足式(9)，就能夠達到公平。2.3.2 和2.3.3 的變截面結構相對繁瑣，但也不失為一種較好的解決方案，傳統的兩人三桶模型使得2.3.2 和2.3.3變截面模型較2.3.1 三人四桶結構和2.3.4 三角架結構更加靈活，適用于路面狀況相對復雜的地段。對于2.3.4 三角架結構，要比其他結構更為笨重，但適宜在路面寬闊的地帶三人合力運輸一個大型水桶或其他物件，而且僅靠結構本身就能夠實現公平。

3.2 各個方案中的實際保證措施

3.2.1 靜定結構中間鉸的實際應用模型

靜定結構中，中部需要將兩個扁擔鉸接，在實際應用中可以在兩個扁擔的兩端開小孔，使用肩帶(繩網) 連接再通過肩帶作用在人的肩上。

3.2.2 水桶位置固定的問題

對于扁而平的扁擔，可以在對應位置開小孔嵌入掛鉤，使木桶掛在掛鉤上防止滑移。對于高而窄的梁式結構，可以在對應位置打磨一段不影響結構受力特性的槽口，使水桶可以直接掛在指定位置。

3.2.3 支座沉降以及彈性支座的實際應用模型

對于實際應用中的支座沉降，可使扁擔在該點處截面與下部支座間事先預留出所需空間，待在水桶載荷作用下使截面產生豎直位移后，再作用于該支座上，起到支座沉降的效果。

關于實際應用中的彈性支座，可以通過采用與扁擔聯結成為一個整體的彈性墊塊或剛度不同的彈性撐桿實現，將和尚與地面視為一個整體的剛性支座，即可簡化為2.2.2 中的三彈簧模型。

3.2.4 實際應用中的支反力檢測方法

在實際應用中，由于超靜定結構的特性，在X1=X2=X3以外的情況依舊能夠保持穩定，但不滿足三個和尚載荷相同的公平條件。對于這種情況，參照新型鋼結構建筑的應力監測系統[7]，可以考慮在三個支點處加裝壓力傳感器，用以實時監測壓力狀況，將抖動等因素產生的壓力變化計算在內，設定正常壓力區間，在超出閾值時使用蜂鳴器進行報警提醒，可以在一定程度上保證公平。

4 結論

對于三個和尚挑水的力學模型問題，無論如何改變結構，都可以總結為以下六點：改變結構形式、改變結構尺寸、改變載荷形式、改變載荷位置、改變支座形式、改變支座位置。

根據結構力學理論，改變這六點中任意一點，或者同時改變其中幾點，都有可能求解出在理論上能夠達成目標的結構，但方法是否有效還需要聯系實際，如結構的尺寸，材料的性質等加以檢驗。同時，對于不同的實際情況，各種結構會有不一樣的實現難度，在這種條件下就需要權衡利弊，采用最適用于當前狀況的結構。