基于運動學的靜定結構平衡問題的虛位移原理分析1)

舒開鷗 郭子濤 楊 忠 陳 彬 郭 釗

*(九江學院建筑工程與規劃學院，江西九江 332005)

?(中國礦業大學力學與土木工程學院，江蘇徐州 221116)

靜定結構的受力分析是力學課程的基礎內容和核心內容，求解靜定結構未知力的一般方法是列、解靜力平衡方程，但平衡方程法往往有以下缺點：首先，對于簡單結構(滿足兩剛片規則或三剛片規則)可以做到列一個方程求解一個未知力[1]，但對于復雜結構則需聯立方程求解方程組，計算量大；其次，即使可以做到列一個方程求解一個未知力，也不能直接求解目標未知力，而需先求解支座反力等其他未知力，計算過程繁瑣。

虛位移原理是求解靜定結構未知力的重要方法，該方法能做到僅用一個虛功原理方程就可直接求出任何目標未知力(支座反力和內力)，與平衡方程法相比，既能減少計算量又能簡化計算過程。虛位移原理在求解靜定結構未知力時也有難點，即與各力對應的虛位移往往很難直接利用幾何關系得出。本文將探討運用運動學理論簡化虛位移計算，進而簡化平面靜定結構的受力分析。

1 虛位移的運動學理論

1.1 位移中心和位移投影定理

位移中心即為速度瞬心。由于剛片內各點虛位移之比等于速度之比[2]，因此在虛位移狀態下，做平面運動剛體上(或其擴展部分上) 速度為0 的點(速度瞬心)，虛位移也為0，把該點叫做剛片的位移中心。

位移投影定理即是速度投影定理。剛片內任意兩點的速度在沿這兩點連線方向上的投影相等(速度投影定理)，結合剛片內各點虛位移之比等于速度之比，可知剛片內任意兩點的虛位移在沿這兩點連線方向上的投影相等，此即位移投影定理。

依此類推，速度與角速度的關系、求解速度的速度瞬心法和基點法等有關速度的運動學基本理論中，均可將速度和角速度改述為虛位移和虛角位移，從而得到虛位移的運動學基本理論。

1.2 虛鉸和無窮遠虛鉸的運動學特征

文獻[3] 提出了關于虛鉸和無窮遠虛鉸的兩個運動學特征定理，結合剛片內各點虛位移之比等于速度之比，將這兩個定理分別改述如下，并做簡要證明。

定理一 兩剛片(或其擴展部分) 在虛鉸處虛位移相等。

如圖1(a)，剛片I 和剛片II 由兩根鏈桿AC和BD連接，由于兩鏈桿不平行，故可看成剛片I 和剛片II 在兩鏈桿交點O點處的虛鉸連接。設剛片I 和剛片II 在O點(兩剛片上或剛片的擴展部分上與虛鉸位置重合的點) 的虛位移分別為δr1O和δr2O，則有δr1O=δr2O。證明如下。

圖1 虛鉸的運動學特征

設δr1O和δr2O沿AC方向投影分別為δr1OA和δr2OA，A點和C點虛位移沿AC方向投影分別為δrAC和δrCA，由位移投影定理可得：δrAC=δrCA。在剛片I (或其擴展部分) 上的O點和A點用位移投影定理可知δr1OA=δrAC，在剛片II (或其擴展部分)上的O點和C點用位移投影定理可知δr2O=δrCA，于是有：δr1OA=δr2OA，即δr1O和δr2O在AC方向上的投影相等，同理：δr1O和δr2O在BD方向上的投影也相等，據此可得：δr1O=δr2O。顯然，若AC和BD兩相交線段上的鏈桿分別不只一根時，該定理仍成立(如圖1(b))。

定理二無窮遠虛鉸(兩根平行鏈桿) 連接的兩剛片，虛角位移相等。

如圖2(a)，剛片I 和剛片II 由AC和BD兩根平行鏈桿(無窮遠虛鉸)連接，設剛片I 和剛片II 的虛角位移分別為δθ1和δθ2，則有δθ1=δθ2。證明如下。

設兩鏈桿間距離為d，與鏈桿平行的方向為x方向，A，B，C和D四點虛位移沿鏈桿方向投影分別為δrAx，δrBx，δrCx和δrDx，由位移投影定理可知δrAx=δrCx、δrBx=δrDx，再分別以A點和C點為基點可得δrBx=δrAx+δθ1·d=δrDx=δrCx+δθ2·d，故有δθ1=δθ2。顯然，若AC和BD兩平行線段上的鏈桿分別不只一根時，該定理仍成立(如圖2(b))。

圖2 無窮遠虛鉸的運動學特征

2 虛功的換算技巧

求結構中力F在虛位移狀態下對應虛位移δr上所做虛功時，難點是虛位移δr的計算，尤其是虛位移δr所在剛片做一般平面運動時，計算往往更為困難。可采用下面的方法巧妙地解決這一難題。

設力F所在剛片在虛位移狀態下的虛角位移為δθ，O點為剛片位移中心，如圖3。則F在δr上所做虛功等于F對O點之矩MO(F) 在δθ上做的虛功。即

圖3 虛功的換算

力F在δr上所做虛功W=F · δr，由于δr=d·δθ，得W=F ·δr=Fd·δθ，注意到力F對O點之矩MO(F)=Fd，故有F ·δr=MO(F)·δθ。

通過將力作虛功轉化為力矩作虛功，可避免逐一計算同一剛片上各力所對應的虛線位移，但需先確定剛片的位移中心和虛角位移，然而要求出各虛線位移，也需先確定剛片的位移中心和虛角位移，因此虛功換算技巧常能簡化虛功的計算。

3 應用舉例

例1 求圖4 靜定桁架中BE桿的軸力FBE[4-5]。

圖4 例1 的簡圖(力狀態)

解：去掉BE桿，建立虛位移狀態如圖5，由A點虛位移沿水平方向，BI桿繞B點轉動，故I點虛位移垂直于直線BI，可確定剛片ADJI的位移中心O點。給定剛片ADJI虛角位移δθ，進而可確定J點虛位移δrJ，由于C點虛位移沿水平方向，結合δrJ，可知剛片CGJE的位移中心在C點，注意到OJ=CJ，故可得剛片CGJE的虛角位移大小等于δθ，方向與δθ相反。利用上述結論并結合式(1)，即可列出虛功原理方程

圖5 虛位移狀態

此例中，兩豎向外力F作用在剛片ADJI上，水平外力F和FBE作用在剛片CGJE上，因此，只需分別確定這兩剛片的位移中心和虛角位移，然后利用虛功的換算技巧，即可方便地求出各力的虛功，避免了逐一計算各外力對應的虛位移，使計算簡化、清晰。

例2 求圖6 靜定桁架中AK桿的軸力FAK[6]

圖6 例2 的簡圖(力狀態)

解：去掉AK桿，建立虛位移狀態如圖7，顯然A，E兩點固定，AB桿繞A點轉動，則B點虛位移沿水平方向，可知剛片BJK位移中心在直線AB上。剛片EHGI繞E點轉動，給定其虛角位移δθ，則I點虛位移δrI=dδθ，在桿KHI上利用位移投影定理，可確定K點水平虛位移δrKx=δrI=dδθ，注意到剛片BJK與剛片EHGI由兩平行鏈桿連結，由定理二可知其虛角位移也為δθ，至此，可求出剛片BJK虛位移中心到直線KI的距離為

圖7 虛位移狀態

由式(2) 可看出剛片BJK位移中心即是B點，結合剛片BJK和剛片EHGI虛角位移均為δθ，可列出虛功原理方程

此例與上例類似，利用虛功的換算技巧–– 通過計算力所在剛片的虛角位移代替計算力的作用點的虛位移，簡化了虛位移的計算。此例的關鍵是應用定理二和位移投影定理確定剛片BJK的位移中心和虛角位移，體現了運動學理論在簡化虛位移計算中的作用。

例3 求圖8 靜定復雜桁架中BE桿的軸力FBE。

圖8 例3 的簡圖(力狀態)

解：去掉BE桿，建立虛位移狀態如圖9，剛片ADE繞A點轉動，給定其虛角位移δθ，可得E點虛位移δrE=aδθ。剛片ADE、桿GH和桿BI用平行鏈桿連結，由定理二可知桿BI虛角位移δθBI=δθ。

圖9 虛位移狀態

B和C兩點虛位移均沿水平方向，故桿BI和桿BJ位移中心均在直線BH上，則I點豎向虛位移δrIy= 2aδθBI= 2aδθ；剛片CIK位移中心在直線CK上，則剛片CIK(擴展部分)上與I點關于直線CK對稱的X點豎向虛位移δrXy=δrIy=2aδθ，方向與δrIy相反；注意到連結桿BJ和剛片CIK的虛鉸在X點處，由定理一，并注意到桿HI和桿BJ用平行鏈桿連結，結合定理二可得桿HI和桿BJ虛角位移

以I點為基點，結合δrIy=2aδθ和式(3)，在桿HI上用基點法可得H點豎向虛位移

以E點為基點，結合式(4)，在桿EH上用基點法可得該桿虛角位移和H點水平虛位移，再在桿HJ上利用位移投影定理，進而可得J點水平虛位移

以J點為基點，結合式(3) 和式(5)，在桿BJ上用基點法可得B點虛位移

由式(4)～式(6) 及δrE=aδθ可知與各力對應虛位移均已求出，列虛功原理方程

解此方程，得FBE=2F。

在計算力的作用點的虛位移時，只需求出該點虛位移沿力方向的投影，如此可使計算簡化，尤其對于剛片位移中心不易確定而不能應用虛功換算技巧的情形，簡化計算效果顯著。若已知剛片虛角位移和其上某點虛位移沿某方向的投影，可以該點為基點，利用基點法方便地求出其他點虛位移在同一方向的投影，而無需確定剛片的位移中心，如此例中δrHy，δrHx及δrB的計算。此例在計算虛位移的過程中，多次運用虛鉸及無窮遠虛鉸的兩個運動學特征定理，因此，熟練掌握并能靈活應用這兩個定理，將是分析求解的關鍵。

4 結論

靜定結構的平衡問題是結構力學乃至整個力學學科的核心基礎，其重要性不言而喻。用虛位移原理求解靜定結構的平衡問題時，可僅用一個虛功原理方程直接求出目標未知力，避免了解平衡方程組和需先計算支座反力等非目標未知力的麻煩，使求解過程大為簡化。

虛位移原理的難點是虛位移的計算。基于理論力學中“剛片內各點虛位移之比等于速度之比” 的結論，提出了位移中心、位移投影定理和基點法等運動學基本理論，證明了虛鉸及無窮遠虛鉸的運動學特征定理，并提出了虛功的計算技巧。通過三個算例的分析計算實踐表明，將運動學理論及虛功的換算技巧應用于虛位移原理分析靜定結構的平衡問題，可方便虛位移的計算，簡化靜定結構尤其是復雜靜定結構平衡問題的求解，進而能在教學中增加復雜靜定結構平衡問題分析這一教學內容，使得課程教學內容更加完善。