均質圓盤熱傳導問題的新解法1)

李翔宇 袁江宏 沈火明 李映輝

(西南交通大學力學與工程學院，成都 610031)

熱傳導是航空航天、高速鐵路、電子器件等高新領域的關鍵科學技術問題。關于熱傳導過程中引起的熱應力是當前學術研究的熱點之一。從理工科核心課程數學物理方法教學的角度來看，熱傳導方程是典型的拋物線型二階偏微分方程[1]。若時間足夠長，均質材料/結構中的溫度最終會達到穩態。針對二維問題，在極坐標系(ρ，φ)中，穩態溫度場T(ρ，φ)需滿足拉普拉斯方程[1]

此時，偏微分方程為橢圓型方程。

本文針對均質圓盤中的熱傳導問題，提出一種新的求解方法。這種簡單而優雅的解法由復變函數中解析函數所滿足的柯西-黎曼方程并結合圓域中的泊松公式直接獲得。所得的積分形式解與文獻中提出的傅里葉級數解完全一致。這項工作建立了傅里葉級數解和積分形式解兩者之間的橋梁，豐富了數學物理方法的教學內容，并可為相關數學等式提供物理解釋。

1 均質圓盤熱傳導問題

如圖1 所示，考慮半徑為a的均質圓盤的熱傳導問題，即假設圓周ρ=a處的溫度為

其中f(φ) 為已知函數，求圓盤中(ρ≤a) 的穩態溫度分布。顯然，式(1) 和式(2) 構成了一個典型的邊值問題。

在數學物理的經典參考書[2]中，給出了該問題的傅里葉級數解答。此解答從如下定理出發：若T(ρ，φ) 是定義在圓形區域(ρ≤a) 內的調和函數，則T(ρ，φ) 可以表示成的傅里葉級數[2]為

即cna|n|為函數f(φ) 的傅里葉級數中的系數[2-3]。

將式(5) 代入式(3)，便得到了邊值問題(1)和(2) 的解，即用傅里葉級數(3) 和(5) 確定了圓盤中的穩態溫度分布。

2 積分形式解

這一節探討邊值問題的積分形式解。它可由復變函數中的泊松公式直接獲得。

現在推導泊松公式。假設復變函數g(ρ，φ) =u(ρ，φ) + iv(ρ，φ) 是定義在復平面上半徑為a的圓域|z| =ρ≤a內的解析函數，其中z=ρeiφ，|z| 為復數z的模，且u(ρ，φ) 和v(ρ，φ) 為二元實變函數。顯然，作為解析函數的實部和虛部，u(ρ，φ)和v(ρ，φ)需滿足柯西-黎曼方程，進而滿足二維拉普拉斯方程，即[1]

對于圓內任意一點z=ρeiφ(ρ ＜a)，由柯西積分公式有[1]

其中ζ=aeiθ(0 ≤θ ＜2π)。

另一方面，對于圓外一點z1=(a2/ρ)eiφ=ρ1eiφ(即ρ1=a2/ρ)，由柯西定理知[1]

式(7) 減去式(8)，可得圓域的泊松公式[1]

比較式(9) 兩邊的實部和虛部，可得

即復變函數的實部(或虛部) 在圓內任意一點處的值可由實部(或虛部) 在圓邊界上的值加權積分來表達。

由于圓盤的溫度場滿足拉普拉斯方程，故可認為T是某解析函數的實部或虛部。于是圓盤的溫度場可由邊界的溫度來表示

3 解的一致性

在這一節中，級數解(3) 和(5) 將化為積分解(11)。將式(5) 代入式(3) 并交換積分順序(因級數絕對收斂)，可得

將式(15) 代入式(12)，便得到式(11)。這說明級數解和積分解是一致和等價的。

4 討論

本節討論兩類特殊情況。

情形一：圓盤周邊在點(ρ，φ)=(a，φ0)處有一強度為T0的點熱源，其余地方溫度為0，即T(a，φ)=f(φ)=T0δ(φ-φ0)，其中δ(x) 為關于x的狄拉克δ函數。由式(11) 可得圓盤中的無量綱溫度分布為

其中λ(ρ，φ) 在數學物理方法中為泊松核，解釋為邊界影響函數。

情形二：圓盤周邊保持恒溫，即T(a，φ) =f(φ)=T0。此時，圓盤中每點的溫度必為T(ρ，φ)=T0。由式(12) 可得

根據參考文獻[4]，式(17) 中的結果是正確的。事實上，該積分可化為復平面上單位圓的圍道積分進行計算[1]，也可得到式(17) 的結果。這樣便為恒等式(17) 賦予了物理含義。

5 結論

本文利用復變函數中圓域的泊松公式獲得了均質圓盤的穩態熱傳導問題的積分解 (11)。該積分解與傅里葉級數解(3) 和(5) 是一致的。考慮積分解的兩種特殊情況，從而為泊松核函數和恒等式(17) 賦予了物理含義。該項工作為傅里葉級數解和泊松公式搭建了橋梁，豐富了數學物理方法的教學內容。