“多法并用”，解答排列組合中的“至少型”問題

排列組合問題的命題方式有很多種，其中“至少型”問題是一類常見的題目.“至少型”問題是指最少有多少種符合要求的情況的排列組合問題.“至少型”問題一般具有較強的綜合性，需靈活運用分類計數原理、分步計數原理來解題.下面重點探討排列組合中“至少型”問題的三種解法.

一、分類法

分類法是指根據事物之間的某些相同點或者相似的特征將事物歸屬于一個集合中的方法.在運用分類法解題時，第一步，要讀懂題意，明確各個元素、事件之間的相同點或相類似的點；第二步，根據相同點或相類似的點進行合理的分類；第三步，明確“至少”所包含的事件的類型以及個數；第四步，運用分類計數原理進行求解.

例1.某一個公司有7個部門，每個部門的人數都大于4人，現在要在這7個部門中選出10個人去海南出差，要求每個部門至少去1個人，那么不同的安排方式一共有多少種？

解析：本題中屬于“至少型”問題.“每個部門至少去1個人”表示每個部門可以派1，2，3，4，…人，可以先從每個部門選1個人，那么剩下的3人可分為3類：3個人都來自同1個部門、3個人來自2個不同的部門、3個人來自3個不同的部門.

二、分步法

分步法是指將一件事情分成幾步去完成的方法.在運用分步法解答“至少”型問題時，首先要明確完成事情需要幾個步驟或環節，然后分步排列每一步中元素的順序或者位置，最后運用分步計數原理求得問題的答案.在讀題的過程中，要把握“至少”所指的涵義.