例析解答函數零點問題的路徑

函數零點問題的命題方式有很多種，如求函數零點的個數、判斷函數的零點的存在性、求零點的取值范圍、根據已知的零點或者零點的個數求參數的取值范圍等.函數零點問題側重于考查函數的圖象、性質、不等式的性質、方程的求根公式等.因此在解題時，需建立函數與不等式、方程之間的聯系，靈活運用數形結合思想、轉化思想、方程思路來輔助解題.接下來，主要談一談解答函數零點問題的兩種路徑.

一、借助圖象求解

函數的零點是指函數f（x）為0時自變量的取值，即為f（x）=0的根，也為函數圖象與x軸交點的橫坐標.因此在解答函數零點問題時，我們可根據函數的解析式畫出函數的圖象，通過分析函數圖象上交點的個數、取值的范圍等，求得問題的答案.

同理，當a=0時，顯然b=g（x）無解或有2個解，不符合題意.

綜上，a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）.

該函數為分段函數，如果直接根據函數的解析式討論零點的個數，較為復雜，需將函數式變形，構造出方程，將問題轉化為求方程的根的問題，并借助函數的圖象來討論方程的根的個數，才能使問題快速獲解.

例2.求函數y=|x2-2x-3|-a的零點的個數.

分析：由于函數的形狀、位置受參數a影響，所以我們很難快速求得函數零點的個數.要解題需構造出兩函數y=||x2-2x-3和y=a，并在同一個坐標系中畫出兩個函數的圖象，根據圖象來討論兩個函數交點的個數.

解：設y=||x2-2x-3和y=a，

同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖3所示.

由圖3可知，當a<0時，兩個函數的圖象沒有交點；……