巧借圖，智破雙拋物線問題

文／季承潔

以雙拋物線為立意的綜合性壓軸題，集函數知識、代數推理于一體，重在考查綜合應用數學知識解決問題的創新能力。本文現以2021年湖北省宜昌市中考壓軸題為例進行展示。

在平面直角坐標系中，拋物線y1=-（x+4）·（x-n）與x軸交于點A和點B（n，0）（n≥-4），頂點坐標記為（h1，k1）。拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的頂點坐標記為（h2，k2）。

（1）寫出A點坐標；

（2）求k1，k2的值（用含n的代數式表示）；

（3）當-4≤n≤4 時，探究k1與k2的大小關系；

（4）經過點M（2n+9，-5n2）和點N（2n，9-5n2）的直線與拋物線y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9 的公共點恰好為3 個不同點時，求n的值。

【解析】（1）求拋物線y1=-（x+4）（x-n）與x軸交點坐標，基本方法是令y1=0，

得-（x+4）（x-n）=0，解之x1=-4，x2=n，結合條件有A（-4，0）。

（2）k1，k2是兩拋物線頂點的縱坐標，對拋物線表達式進行配方或直接運用二次函數頂點坐標公式可得頂點的縱坐標。

拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9 就是頂點式，可以直接寫出k2=-n2+2n+9，

綜上所述：當-4≤n＜-2 或2＜n≤4 時，k1＞k2；當-2＜n＜2 時，k1＜k2；當n=2 或n=-2時，k1=k2。

（4）拋物線y1、y2和直線MN都含有參數n，隨著n的變化，三線的位置也在變化。借助幾何畫板觀察：從n=-4，三線有4個公共點開始，隨著n的增大，三線的位置在逐漸變化，公共點的個數也隨之變化。在運動變化的過程中，我們截取不同的瞬間，圖1 到圖11，直觀感知，三線的公共點的個數變化為4—3—4—3—2—1—2—3—4—3—4。其中，有三個公共點的情況：一是三線經過同一點，如圖2和圖10；二是直線MN、拋物線y1有1 個公共點，如圖4和圖8。

圖1 三線有4個公共點

圖2 三線有3個公共點

圖3 三線有4個公共點

圖4 三線有3個公共點

圖5 三線有2個公共點

圖6 三線有1個公共點

圖7 三線有2個公共點

圖8 三線有3個公共點

圖9 三線有4個公共點

圖10 三線有3個公共點

圖11 三線有4個公共點

在三線運動變化的過程中，我們通過觀察、思考，發現“直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點”，運用代數推理很容易驗證我們的猜想。

兩點確定一條直線的表達式，設經過點M（2n+9，-5n2）和點N（2n，9-5n2）的直線MN的表達式為y=kx+b，得

直線MN的表達式為y=-x-5n2+2n+9，交y軸于點（0，-5n2+2n+9）。

對拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，當x=0時，y2=-5n2+2n+9，交y軸于點（0，-5n2+2n+9）。

所以直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點。

先算情況一：如圖2和圖10，三線經過同

【評注】本題是以雙拋物線為背景考查二次函數綜合應用的壓軸題，雖然難度不小，但難度是逐漸提升的。具體來講，第（1）問是熱身送分題；第（2）問求二次函數的頂點是必備的基本知識，會配方是不難解決的；第（3）問用求差法比較兩數的大小是基本方法，對不等式的要求高了一點；第（4）問是試題的高階要求，難度較大。學習函數的經驗告訴我們，可以運用“觀察函數圖像—發現其性質—巧用代數方法解決函數問題”的思維過程，雖然題目沒有給出圖像，但我們必須利用函數圖像觀察、研究，發現性質。數形結合、分類討論、方程和函數的數學思想在本題中得到了充分體現。