一題引路 深思而變
——對一道教材例題的思考與拓展

文／李 燕

數學教材中的例題都是經過精心挑選的，具有典型性和示范性。若同學們能在學習的過程中認真理清例題的解題方法和所用知識點，并加以拓展，將是實現減負增效的有效途徑。下面以蘇科版數學九年級下冊第25 頁的例題為例，談談例題的學習與拓展。

【原題呈現】不畫圖像，判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點。

【分析】例題是根據二次函數與一元二次方程的關系，將函數轉化為一元二次方程，再利用一元二次方程根的判別式，得到方程實數根的個數就是函數圖像與x軸交點的個數。即對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當b2-4ac＞0 時，二次函數的圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0 時，二次函數的圖像與x軸有唯一的公共點（即頂點）；當b2-4ac＜0 時，二次函數的圖像與x軸沒有交點。

解：因為一元二次方程-x2+5x-8=0 的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）=-7＜0，

所以方程-x2+5x-8=0沒有實數根，

所以二次函數y=-x2+5x-8 的圖像與x軸沒有公共點。

【點評】將函數圖像問題代數化，化繁為簡，巧妙地體現出二次函數圖像與一元二次方程是“形”與“數”的有機結合。

思考一、根據二次函數確定函數中參數的取值范圍

【點評】根據拋物線與x軸的交點個數可以確定字母系數的取值范圍，其方法是根據拋物線與x軸的交點個數，推出b2-4ac值的性質，即列出關于字母系數的方程（或不等式），通過方程（或不等式）求解。

延伸1 已知二次函數y=x2+x+m，當x取任意實數時，都有y＞0，則m的取值范圍是________。

思考二、根據二次函數求一元二次方程中的解及參數

【點評】題面中沒有涉及函數圖像與x軸的交點個數，但條件y＞0 巧妙地把“數與形”結合在一起，增強了知識聯系及延伸，增加了題目深度。

延伸2 已知函數y=（k-3）x2+2x+1 的圖像與x軸有交點，則k的取值范圍是________。

【解析】當k-3=0，即k=3 時，函數為y=2x+1，此一次函數與x軸有一個交點；

當k-3≠0 時，此函數為二次函數，當b2-4ac=4-4（k-3）≥0，即k≤4且k≠3時，函數圖像與x軸有交點。

綜上所述，當k≤4 時，函數圖像與x軸有交點。

【點評】由于題中沒有明確函數是一次函數還是二次函數，因此要分k-3=0 和k-3≠0兩種情況進行討論。

變式2 二次函數y=x2+x-m的部分圖像如圖1 所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解。

圖1

【解析】由圖知x2+x-m=0 的一個根為1，所以12+1-m=0，即m=2，故一元二次方程為x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2，所以一元二次方程x2+x-m=0的解為x1=1，x2=-2。

延伸1 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點（-1，5），且無論m為何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，求一元二次方程ax2+bx+c=5的解。

【解析】因為不等式a+b≥am2+bm恒成立，所以a+b+c≥am2+bm+c恒成立，所以點（1，a+b+c）是拋物線的頂點，點（-1，5）關于直線x=1的對稱點為（3，5）。

當y=5 時，x=-1 或3，所以一元二次方程ax2+bx+c=5的解為x1=-1，x2=3。

故答案為x1=-1，x2=3。

【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點及拋物線對稱性，找到拋物線的頂點坐標是解題的關鍵。

延伸2 二次函數y=x2+bx的對稱軸為直線x=1，若關于x的方程x2+bx-t=0（t為實數）在-1＜x＜4 的范圍內有實數解，則t的取值范圍是________。

當x=-1時，y=4；當x=4時，y=8。

t的取值范圍為頂點至y=8 之間的區域，即-1≤t＜8。

【點評】把二次函數與不等式轉化為兩個函數圖像的交點問題求解，是解題的突破口，如果能作出圖形會顯得更為直觀。

思考三、根據二次函數確定不等式中的參數取值范圍

變式3 拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像如圖2 所示，則關于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是。

圖2

【解析】圖像與x軸兩交點的橫坐標分別為x=-1 與x=2，由圖像又知當-1＜x＜2時，圖像在x軸下方，所以ax2+bx+c＜0 的解集為-1＜x＜2。

【點評】利用函數圖像解不等式。當函數值y＞0時，圖像上的點在x軸的上方；當函數值y＜0時，圖像上的點在x軸的下方。充分利用數形結合思想，能直觀地解決類似問題。

延伸1 拋物線y=a（x-h）2+k（a＞0）經過（-1，2），（5，2）兩點，則關于x的不等式a（x-h-1）2+k≤2的解集為________。

【解析】因為拋物線y=a（x-h）2+k（a＞0）經過（-1，2），（5，2）兩點，所以大致圖像如圖3所示：

圖3

所以y=a（x-h-1）2+k（a＞0）經過（0，2），（6，2）兩點，

所以關于x的不等式a（x-h-1）2+k≤2的解集為0≤x≤6。

故答案為0≤x≤6。

【點評】此題考查二次函數與不等式的知識。正確理解數形結合，合理分析是解題的關鍵。

延伸2 一元二次方程ax2-2ax+c=0有一個根為x=3，且y=ax2-2ax+c過點（2，-3），則不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解為______。

【解析】把點（2，-3）代入y=ax2-2ax+c，得4a-4a+c=-3，即c=-3。

把x=3 代入ax2-2ax+c=0，得9a-6a+c=0，則3a-3=0，解得a=1，所以拋物線為y=x2-2x-3。

解方程x2-2x-3=-x-1，得x1=-1，x2=2，所以拋物線y=x2-2x-3與直線y=-x-1的交點的橫坐標分別為-1 和2，即不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解集為-1≤x≤2。

故答案為-1≤x≤2。

【點評】本題是利用兩個函數的圖像在坐標系中的位置關系，求自變量的取值范圍，可作圖利用交點求解，也可把兩個函數列成不等式求解。