構建函數模型 解決實際問題

文／吳智勇

函數是初中數學的核心內容，在實際生活中也有廣泛的應用。構建函數模型解決實際問題，既有利于體現數學的應用價值，也有利于考查數學抽象、數學建模和綜合應用等各方面的能力。

一、二次函數與鄉村振興戰略

例1 （2021·貴州遵義）為了實施鄉村振興戰略，幫助農民增加收入，某駐村干部指導農戶進行草莓種植和銷售。已知草莓的種植成本為8 元/千克，經市場調查發現，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數圖像如圖所示。

（1）根據圖像信息，求y與x的函數表達式；

（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤。

【解答】（1）當8≤x≤32 時，設y=kx+b（k≠0），

（2）設利潤為W，則當8≤x≤32時，

W=（x-8）y=（x-8）（-3x+216）=-3（x-40）2+3072。

因為開口向下，對稱軸為直線x=40，

所以當8≤x≤32 時，W隨x的增大而增大，所以當x=32時，W最大=2880。

當32＜x≤40 時，W=（x-8）y=120（x-8）=120x-960。

因為W隨x的增大而增大，所以x=40時，W最大=3840。

因為3840＞2880，所以最大利潤為3840元。

【點評】本題考查二次函數在實際生活中的應用、用待定系數法求一次函數的表達式、分段函數的表達式、二次函數的性質。我們需要熟知的常識是“利潤=（售價-成本）×銷售量”，由此列出利潤的表達式，再根據函數的性質求出最大利潤。我們在解題的時候要注意分段函數對應的自變量x的取值范圍和函數的增減性，要先確定函數的增減性，才能求得利潤的最大值。

二、二次函數與防疫

例2 （2021·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田）去年“抗疫”期間，某生產消毒液廠家響應政府號召，將成本價為6 元/件的簡裝消毒液低價銷售，為此當地政府決定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進行補貼。設某月銷售價為x元/件，a與x之間滿足關系式a=20%（10-x），下表是去年4 個月的銷售記錄，每月銷售量y（萬件）與該月銷售價x（元/件）之間成一次函數關系（6≤x＜9）。

月份…二月三月四月五月…銷售價x（元/件）…6 7 7.6 8.5…該月銷售量y（萬件）…30 20 14 5…

（1）求y與x的函數表達式；

（2）當銷售價為8 元/件時，政府該月應付給廠家補貼多少萬元？

（3）當銷售價x定為多少時，該月純收入最大？

（純收入=銷售總金額-成本+政府當月補貼）

【解答】（1）因為每月銷售量y與該月銷售價x之間成一次函數關系，

所以設y與x的函數表達式為y=kx+b，

所以y與x的函數表達式為y=-10x+90（6≤x＜9）。

（2）當x=8時，y=-10×8+90=10（萬件），

因為a與x之間滿足關系式a=20%（10-x），所以當銷售價為8 元/件時，政府該月應付給廠家補貼為10a=10×20%（10-8）=4（萬元）。

答：當銷售價為8 元/件時，政府該月應付給廠家補貼4萬元。

（3）設該月的純收入w萬元，

則w=y［（x-6）+0.2（10-x）］=（-10x+90）（0.8x-4）=-8x2+112x-360=-8（x-7）2+32。

因為-8＜0，6≤x＜9，所以當x=7 時，w最大，最大值為32萬元。

答：當銷售價定為7 元/件時，該月純收入最大。

【點評】本題考查二次函數的應用和待定系數法求函數表達式，解題關鍵是根據“純收入=銷售總金額-成本+政府當月補貼”列出函數表達式，再根據二次函數的性質求最值。

三、二次函數與體育

例3 （2021·廣西北部灣經濟區）

（1）當運動員運動到離A點水平距離為4 米時，離水平線的高度為8 米，求拋物線C2的函數表達式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當運動員運動到坡頂正上方且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍。

【點評】本題考查二次函數的基本性質及其應用，熟練掌握二次函數的基本性質，并能將實際問題與二次函數模型相結合是解決本題的關鍵。

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。在用函數解決銷售類實際問題的過程中，我們要先審題，明確總利潤、銷售量、單位利潤、進價（成本）、售價這些量之間的關系，有時還要先列出方程或方程組求出基本量，再列出函數表達式，最后用函數知識解決最值問題。