從圖像獲取信息 用性質(zhì)推理判斷

文／陳梅珍

我們知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識時，常常會出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關系，學會看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力。

看拋物線與y軸的位置：由x=0時y=c，可知拋物線與y軸交于（0，c）。當拋物線與y軸的交點在x軸上方時，c＞0；當拋物線與y軸的交點在x軸下方時，c＜0；當拋物線經(jīng)過原點時，c=0。

看拋物線與x軸有無公共點：拋物線與x軸有兩個交點，則b2-4ac＞0；拋物線與x軸有一個公共點，則b2-4ac=0；拋物線與x軸沒有公共點，則b2-4ac＜0。

還可以看看拋物線的對稱性、拋物線的增減性、某些特殊點的位置等，以此進一步推理判斷。

圖1

【解析】看拋物線，開口向上，所以a＞0。

看拋物線的趨勢，拋物線與y軸相交于負半軸，所以c＜0。

由此分析出abc＜0，故①錯誤。

因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于（-3，0），頂點是（-1，m），

根據(jù)拋物線的對稱性，可知拋物線與x軸的另一個交點為（1，0）。

因為拋物線開口向上，所以橫坐標為2的點在x軸上方，所以當x=2 時，y=4a+2b+c＞0，故②正確。

綜合上述，正確的是②③。

例2 如圖2，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，n）。結合圖像分析下列結論：①8a+c＜0；②關于x的一元二次方程ax2+bx+c=n-1 有兩個不相等實數(shù)根；③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；④m（am+b）≤a+b（m為實數(shù)）。正確的是（填序號）。

圖2

因為點A（-1，0）關于直線x=1 的對稱點為（3，0），所以9a+3b+c=0。

將b=-2a代入9a+3b+c=0，得3a+c=0，所以8a+c=5a＜0，故①正確。

因為頂點坐標為（1，n），所以拋物線ax2+bx+c=n有唯一解。

當y=n-1 時，與拋物線有兩個交點，故②正確。

拋物線關于x=1 對稱，x＜1 時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而減小，

所以y1＞y2，故③正確。

因為拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，n），所以x=1時，函數(shù)值y取最大值。

因為x=1 時，函數(shù)值y=a+b+c；x=m時，函數(shù)值y=am2+bm+c，

所以am2+bm+c≤a+b+c，所以am2+bm≤a+b，即m（am+b）≤a+b（m為實數(shù)）成立，故④正確。

綜合上述，正確的是①②③④。

利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像解決問題，我們需要仔細觀察題目所給出的圖像，認真解讀圖像所反映出來的重要信息，然后根據(jù)解讀出來的圖像信息，結合圖像與性質(zhì)，逐條分析并推理判斷各個結論的正確性。