錯因剖析見本質 掌握策略促提高
——二次函數錯因剖析

文／劉 燕

中學數學教材中，二次函數占有重要的地位，不管是在代數里還是在幾何中，用到二次函數的次數特別多。現將平時作業與練習中經常出現的易錯題進行剖析，并給出一些解決策略，希望能幫助同學們建立學好二次函數的信心。

一、對二次函數概念掌握模糊

例1 若y=（2-m）xm2-2是二次函數，則m的值為________。

【錯解】根據二次函數的概念得m2-2=2，解得m=±2。

故答案為m=2或m=-2。

【錯因剖析】根據二次函數的概念，題中m應滿足兩個條件：m2-2=2，二次項系數2-m≠0。錯解中疏忽了二次函數概念中“二次項系數a不等于零”這個條件。

【正解】根據題意，得m2-2=2 且2-m≠0，解得m=-2。

故答案為m=-2。

二、未掌握二次函數最值的計算方法

例2 求函數y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值和最小值。

【錯解】當x=-1時，y=2；當x=2時，y=5。

所以函數y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值為5，最小值為2。

【錯因剖析】二次函數的最值有多種類型。假設自變量的取值范圍是某個閉區間，那么其最值可能在端點處，也有可能在頂點處。因此，我們要得出此函數的最值，應通過二次函數的增減性來分析，也可以借助數形結合的思想方法來完成。

【正解】∵y=x2+1，∴對稱軸是直線x=0，頂點坐標為（0，1），畫出大致圖像如圖1，圖中拋物線位于-1≤x≤2 的一段，顯然圖像中最低點不是點A，而是頂點，最高點是點B。

所以當x=0時，y有最小值為1；

當x=2時，y有最大值為5。

圖1

三、對圖像平移順序了解不清

例3 把拋物線y=ax2+bx+c先向右平移2個單位，再向下平移5個單位，得到拋物線y=x2-2x-2，求a、b、c的值。

【錯解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵圖像向右平移2個單位，向下平移5個單位，∴原拋物線的解析式為y=（x-1-2）2-3-5=x2-6x+1，∴a=1，b=-6，c=1。

【錯因剖析】二次函數圖像平移問題往往包括多種類型，在解決已知原圖像的表達式以及平移路徑，求平移后圖像表達式時，可以直接用“左加右減，上加下減”來解決。但此題已知的是平移后圖像表達式以及平移路徑，求原圖像的表達式，因此，我們要看清題目實質，千萬不可直接套用口訣解題。

【正解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵原圖像向右平移2 個單位，向下平移5個單位得到新拋物線，

∴新圖像向左平移2個單位，向上平移5個單位得到原拋物線，

∴原拋物線的表達式為y=（x-1+2）2-3+5=x2+2x+3，∴a=1，b=2，c=3。

四、沒有進行分類討論

例4 若m為實數，則函數y=（m-2）x2+mx+1的圖像與x軸的交點個數為______。

【錯解】根據題意，得b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，

所以函數y=（m-2）x2+mx+1 的圖像與x軸的交點個數為2個。

【錯因剖析】此題題干部分說的是“函數”，而不是“二次函數”，所以此題還有另一種情形，即一次函數的情形，需要分類討論。

當函數為二次函數，即m-2≠0，m≠2時，

∵b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8

=（m-2）2+4＞0，

∴函數y=（m-2）x2+mx+1 的圖像與x軸的交點個數為2個。

綜上所述，函數圖像與x軸的交點個數為1或2個。

五、忽視題目中的隱藏條件

【錯因剖析】此題將y2用關于x的代數式表示，代入y2-x2得到關于x的二次函數，就將本題轉化成求二次函數的最值問題。但忽略了y2≥0，x有取值范圍這一隱藏條件。

【正解】∵x-y2=1，∴y2=x-1。

從上述幾個問題可以看出，各種數學思想如函數的思想、數形結合的思想、分類討論的思想等都可以利用二次函數作為載體。因此，同學們在解答二次函數的問題時，除了理解概念、公式外，還要認真審題，靈活運用，挖掘題目中的隱藏條件。