用待定系數法確定二次函數表達式

文／韓衛華

我們在學習時要不斷小結，在小結中繼續前行。學習了二次函數的圖像和性質后，我們不妨停下來回頭看看，是如何確定二次函數的表達式的，或者說是如何根據題目的條件特征，更方便地確定二次函數表達式的。我們先看下面這個對比表，再通過例題解讀。

常見形式一般式頂點式交點式適用條件已知拋物線上任意三點的坐標。已知拋物線的頂點的坐標（或拋物線的對稱軸、最值）和另一條件。已知拋物線與x 軸的兩個交點坐標和另一條件。對稱式主要內容_______________________________________________y=ax2+bx+c（a、b、c 為常數，且a≠0），關系式的右邊是二次三__________項式。y=a（x-h）2+k（a、h、k 為常數，且a≠0），由表達式知拋物線的頂點坐標為（h，k）。y=a（x-x1）（x-x2）（a、x1、x2為常數，且a≠0），其中x1、x2為拋物線與__________x軸的兩個交點的橫坐標。y=a（x-x1）（x-x2）+m（a、x1、x2、m 為常數，且a≠0），其中x1、x2為對稱點的橫坐標（即兩點的縱坐標相________________________________________________________________________________________________同，為m）。已知拋物線上兩個點的縱坐標相同，為m。具體方法________設出一般式后，將三點的坐標代入，解這個三元一次方程組。_______________設出頂點式后，再借助另一條件得到關于a 的一元一次方程。_______________設出交點式后，再借助另一條件得到關于a 的一元一次方程。_______________設出對稱式后，再借助另一條件得到關于a 的一元一次方程。

例1 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點A（1，5），B（-1，9），C（0，8）。求這個二次函數的表達式、開口方向、對稱軸和頂點坐標。

【解析】設二次函數表達式為y=ax2+bx+c，

所以二次函數表達式為y=-x2-2x+8，

因為y=-x2-2x+8=-（x+1）2+9，

所以拋物線開口向下，對稱軸為x=-1，頂點坐標為（-1，9）。

【點評】題目給出的點不是頂點，也不是與x軸的交點，而是任意三點的坐標，因此，我們設一般式，將三個點的坐標代入，解這個三元一次方程組得出結果。待定系數法是求二次函數表達式最基本的方法，需熟練掌握。

例2 已知拋物線的對稱軸是直線x=1，函數的最小值是-1，且圖像經過點（3，1），求此拋物線的函數表達式。

【解析】根據題意知函數圖像的頂點坐標為（1，-1），所以設此函數表達式為y=a（x-1）2-1。

又因為圖像經過點（3，1），

【點評】在已知拋物線的頂點坐標（或對稱軸、最值）和另一條件的情況下，通常選擇設頂點式，再借助另一條件得到關于a的一元一次方程。

例3 已知一個二次函數圖像上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：

x____y……___-3 0___-2-3__-1-4__0-3___1 0___……_

求這個二次函數的表達式。

【解析】觀察表格中的數據，知道二次函數的圖像與x軸交于（-3，0）、（1，0）兩點，所以設y=a（x+3）（x-1），將（0，-3）代入，得-3=a×3×（-1），解得a=1，所以這個二次函數的表達式為y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3。

【點評】在已知二次函數圖像與x軸的兩個交點坐標和另一條件時，通常選擇設交點式，再借助另一條件得到關于a的一元一次方程。

例4 已知一個二次函數的圖像經過點A（-1，0）、B（0，3）、C（2，3）。求這個二次函數的表達式。

【解析】觀察給出的三點，發現B（0，3）、C（2，3）兩點的縱坐標相同，它們關于直線x=1 對稱，所以設y=ax（x-2）+3，將（-1，0）代入，得0=a×（-1）×（-3）+3，解得a=-1，所以這個二次函數的表達式為y=-x（x-2）+3，即y=-x2+2x+3。

【點評】當已知二次函數圖像上兩點的縱坐標相同，為m時，通常選擇設對稱式，再借助另一條件得到關于a的一元一次方程。

【總評】二次函數是中考必考內容，壓軸題中常常有它的身影，求二次函數表達式通常是壓軸題的解題起點，直接影響后續的解題，因此，掌握求二次函數的表達式的方法有著非常重要的意義。教材5.3用待定系數法確定二次函數表達式，是通過確定二次函數中待定系數的值，進而確定二次函數表達式的一種方法。對此我們要善于根據題目條件選擇恰當的表達式，其選擇原則是：盡可能使表達式中待定系數的個數最少，方便易求。

（作者單位：江蘇省江南大學附屬實驗中學）

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有一條拋物線，三名學生分別說出了它的一些性質。甲說：對稱軸是直線x=2；乙說：與x軸的兩個交點距離為6；丙說：頂點與x軸的交點圍成的三角形面積等于9。請你寫出滿足上述全部條件的一條拋物線的表達式________。