類比一次函數 生長二次函數

文／曹曉榮

我們知道，形如y=kx+b（k≠0，k、b為常數）的函數叫作一次函數，它右邊是一次式，稱為一次函數是“名副其實”的。由此我們聯想到將右邊換為二次式，得到另一個“名副其實”的函數新成員——二次函數，即形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數）的函數叫作二次函數。掌握函數表達式與代數式之間的這種聯系，有助于我們理解二次函數的概念。

與學習一次函數的路徑一樣，我們學習二次函數的路徑便是這樣的。

一、引入概念

從熟悉的、簡單的實際問題出發，通過問題中的數量關系引入二次函數的概念，感受二次函數與生活實際的密切聯系，既揭示生活與數學的聯系，又體現教材前后呼應的整體性。

學習一次函數概念的時候我們曾見過“水滴激起的波紋”這幅圖片。二次函數概念的引入也用了這幅圖片，只不過我們關注的焦點由“不斷向外擴展的圓的周長是該圓半徑的函數”，轉為“圓的面積是該圓半徑的函數”，即C=2πr和S=2πr2。我們通過研究兩個函數表達式的差異引出二次函數的概念，然后再通過問題來進一步理解二次函數的概念。

問題1 下列一定是二次函數的是（）。

A.y=2x2B.y=2x-1

問題2 已知二次函數y=x2-5x+3，則二次項是______，一次項系數是______，常數項是______。

問題3 已知函數y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+2。當m滿足______時，這個函數是一次函數；當m滿足______時，這個函數是二次函數。

通過問題進一步認識二次函數表達式的特征：

（1）函數表達式是二次整式；

（2）二次項系數不能為0；

（3）自變量的最高次數為2次。

二、研究圖像與性質

研究一次函數是從列表、描點、連線開始，觀察、發現圖像和性質，那么研究二次函數的圖像和性質我們分三步走：從1開始→從1 到一切→一切從a開始。由特殊到一般，運用數形結合的思想探索二次函數的圖像和基本性質。

從1開始——y=x2

通過描點法用平滑的曲線（類比反比例函數圖像畫法）畫出y=x2的圖像。

觀察圖像，初步得出圖像的特征：

形狀：U型；

對稱性：關于y軸對稱；

圖像趨勢：先下降后上升；

最值：最低點為（0，0），當x=0 時，y的最小值為0。

由此了解拋物線及拋物線的頂點、對稱軸等。

從1到一切——y=ax2（a≠0）

一切從a開始——y=ax2+bx+c（a≠0）

二次函數圖像平移小口訣：上下平移在末梢，左右平移在括號；上加下減，左加右減。

三、類比學習

從函數的視角出發，審視一元二次方程與二次函數的關系，借助圖像的直觀性，探索使函數值y為0 時自變量x的值，進而得到用二次函數的圖像求一元二次方程近似解的方法，領悟無限逼近的重要思想方法。

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實數根，函數圖像與x軸的交點情況可由對應方程的根的判別式b2-4ac與0 的關系來判斷。用二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像估計一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根時，一元二次方程的根就是二次函數圖像與x軸的交點的橫坐標的值。

b2-4ac與0的關系b2-4ac＞0拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的_____________交點的個數兩個交點b2-4ac=0 b2-4ac＜0______一個交點無交點________一元二次方程ax2+bx+c=0實數根的情況____有兩個不相等的實數根_____有兩個相等的實數根______沒有實數根___

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=kx+m相交于點M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），當a＞0 時，不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是x1＜x＜x2；當a＜0 時，不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x1＜x＜x2，不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是x＜x1或x＞x2。

進一步思考，由二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的函數值y＞0（或y＜0），即可得到一元二次不等式ax2+bx+c＞0（或ax2+bx+c＜0），此時確定不等式的解集就轉化為求拋物線位于x軸上方（或下方）時對應點的橫坐標的取值范圍。如拋物線y=x2+4x-5 位于x軸上方時對應點的橫坐標的取值范圍是x＜-5 或x＞1，則不等式x2+4x-5＞0的解集是x＜-5或x＞1。

問題 若二次函數y=x2-4x+n的圖像與x軸只有一個公共點，則n________。

【解析】與x軸只有一個公共點，則b2-4ac=0，可得n=4。

變式1 若二次函數y=x2-4x+n的圖像與坐標軸只有一個公共點，則n________。

【解析】由題意知圖像與x軸沒有公共點，則b2-4ac＜0，可得n＞4。

變式2 若二次函數y=x2-4x+n的圖像與坐標軸有兩個公共點，則n________。

【解析】由題意知圖像與x軸只有一個公共點，則b2-4ac=0，可得n=4；當n=0 時，圖像過原點，則其與坐標軸有兩個交點，所以n為0或4。

變式3 若函數y=nx2-4x+1 的圖像與坐標軸有兩個公共點，則n________。

【解析】當n≠0時，圖像與x軸只有一個公共點，則b2-4ac=0，可得n=4；當n=0 時，一次函數y=-4x+1與坐標軸有兩個公共點，所以n=0或4。

變式4 若二次函數y=x2-4x+n的圖像與坐標軸有三個公共點，則n________。

【解析】圖像開口向上且與坐標軸有三個交點，則圖像一定與x軸有兩個交點且不過坐標原點，由Δ＞0且n≠0可得n＜4且n≠0。

變式5 若函數y=nx2-4x+1 的圖像與坐標軸有三個公共點，則n________。

【解析】當n=0 時，一次函數y=-4x+1 與坐標軸只有兩個公共點，不符題意，所以當n≠0 時，圖像一定要與x軸有兩個交點，由Δ＞0且n≠0可得n＜4且n≠0。

我們通過類比學習，可以了解知識的發生、發展過程，找到學習函數的通法，不僅能在學習二次函數的過程中理順思路，明晰關系，深化理解，還能為以后的函數學習奠定基礎。