類(lèi)比一次函數(shù) 生長(zhǎng)二次函數(shù)

文／曹曉榮

我們知道，形如y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）的函數(shù)叫作一次函數(shù)，它右邊是一次式，稱(chēng)為一次函數(shù)是“名副其實(shí)”的。由此我們聯(lián)想到將右邊換為二次式，得到另一個(gè)“名副其實(shí)”的函數(shù)新成員——二次函數(shù)，即形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）的函數(shù)叫作二次函數(shù)。掌握函數(shù)表達(dá)式與代數(shù)式之間的這種聯(lián)系，有助于我們理解二次函數(shù)的概念。

與學(xué)習(xí)一次函數(shù)的路徑一樣，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)的路徑便是這樣的。

一、引入概念

從熟悉的、簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系引入二次函數(shù)的概念，感受二次函數(shù)與生活實(shí)際的密切聯(lián)系，既揭示生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，又體現(xiàn)教材前后呼應(yīng)的整體性。

學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念的時(shí)候我們?cè)?jiàn)過(guò)“水滴激起的波紋”這幅圖片。二次函數(shù)概念的引入也用了這幅圖片，只不過(guò)我們關(guān)注的焦點(diǎn)由“不斷向外擴(kuò)展的圓的周長(zhǎng)是該圓半徑的函數(shù)”，轉(zhuǎn)為“圓的面積是該圓半徑的函數(shù)”，即C=2πr和S=2πr2。我們通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)表達(dá)式的差異引出二次函數(shù)的概念，然后再通過(guò)問(wèn)題來(lái)進(jìn)一步理解二次函數(shù)的概念。

問(wèn)題1 下列一定是二次函數(shù)的是（）。

A.y=2x2B.y=2x-1

問(wèn)題2 已知二次函數(shù)y=x2-5x+3，則二次項(xiàng)是______，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。

問(wèn)題3 已知函數(shù)y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+2。當(dāng)m滿(mǎn)足______時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)m滿(mǎn)足______時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)。

通過(guò)問(wèn)題進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二次函數(shù)表達(dá)式的特征：

（1）函數(shù)表達(dá)式是二次整式；

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不能為0；

（3）自變量的最高次數(shù)為2次。

二、研究圖像與性質(zhì)

研究一次函數(shù)是從列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)開(kāi)始，觀察、發(fā)現(xiàn)圖像和性質(zhì)，那么研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)我們分三步走：從1開(kāi)始→從1 到一切→一切從a開(kāi)始。由特殊到一般，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想探索二次函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)。

從1開(kāi)始——y=x2

通過(guò)描點(diǎn)法用平滑的曲線(xiàn)（類(lèi)比反比例函數(shù)圖像畫(huà)法）畫(huà)出y=x2的圖像。

觀察圖像，初步得出圖像的特征：

形狀：U型；

對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

圖像趨勢(shì)：先下降后上升；

最值：最低點(diǎn)為（0，0），當(dāng)x=0 時(shí)，y的最小值為0。

由此了解拋物線(xiàn)及拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸等。

從1到一切——y=ax2（a≠0）

一切從a開(kāi)始——y=ax2+bx+c（a≠0）

二次函數(shù)圖像平移小口訣：上下平移在末梢，左右平移在括號(hào)；上加下減，左加右減。

三、類(lèi)比學(xué)習(xí)

從函數(shù)的視角出發(fā)，審視一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，借助圖像的直觀性，探索使函數(shù)值y為0 時(shí)自變量x的值，進(jìn)而得到用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程近似解的方法，領(lǐng)悟無(wú)限逼近的重要思想方法。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況可由對(duì)應(yīng)方程的根的判別式b2-4ac與0 的關(guān)系來(lái)判斷。用二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根時(shí)，一元二次方程的根就是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

b2-4ac與0的關(guān)系b2-4ac＞0拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的_____________交點(diǎn)的個(gè)數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac=0 b2-4ac＜0______一個(gè)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)________一元二次方程ax2+bx+c=0實(shí)數(shù)根的情況____有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根_____有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根______沒(méi)有實(shí)數(shù)根___

拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與直線(xiàn)y=kx+m相交于點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），當(dāng)a＞0 時(shí)，不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜x1或x＞x2，不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是x1＜x＜x2；當(dāng)a＜0 時(shí)，不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x1＜x＜x2，不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集是x＜x1或x＞x2。

進(jìn)一步思考，由二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y＞0（或y＜0），即可得到一元二次不等式ax2+bx+c＞0（或ax2+bx+c＜0），此時(shí)確定不等式的解集就轉(zhuǎn)化為求拋物線(xiàn)位于x軸上方（或下方）時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。如拋物線(xiàn)y=x2+4x-5 位于x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是x＜-5 或x＞1，則不等式x2+4x-5＞0的解集是x＜-5或x＞1。

問(wèn)題 若二次函數(shù)y=x2-4x+n的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則n________。

【解析】與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b2-4ac=0，可得n=4。

變式1 若二次函數(shù)y=x2-4x+n的圖像與坐標(biāo)軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則n________。

【解析】由題意知圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則b2-4ac＜0，可得n＞4。

變式2 若二次函數(shù)y=x2-4x+n的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則n________。

【解析】由題意知圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b2-4ac=0，可得n=4；當(dāng)n=0 時(shí)，圖像過(guò)原點(diǎn)，則其與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以n為0或4。

變式3 若函數(shù)y=nx2-4x+1 的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則n________。

【解析】當(dāng)n≠0時(shí)，圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b2-4ac=0，可得n=4；當(dāng)n=0 時(shí)，一次函數(shù)y=-4x+1與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以n=0或4。

變式4 若二次函數(shù)y=x2-4x+n的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，則n________。

【解析】圖像開(kāi)口向上且與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則圖像一定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，由Δ＞0且n≠0可得n＜4且n≠0。

變式5 若函數(shù)y=nx2-4x+1 的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，則n________。

【解析】當(dāng)n=0 時(shí)，一次函數(shù)y=-4x+1 與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符題意，所以當(dāng)n≠0 時(shí)，圖像一定要與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由Δ＞0且n≠0可得n＜4且n≠0。

我們通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)，可以了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，找到學(xué)習(xí)函數(shù)的通法，不僅能在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過(guò)程中理順?biāo)悸罚魑P(guān)系，深化理解，還能為以后的函數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。