數圖結合 殊途同歸

朱傳華

摘 要：圖像法是一種分析處理數據、研究物理問題的重要方法，圖像能夠直觀、形象地描繪物理規律。在解決初中物理習題時，準確掌握圖像中各個物理量的意義，充分利用圖像中所傳遞的信息，理解函數圖像中的物理意義，將函數圖像、圖形和物理知識結合，通過主動構建圖像或延長原圖像，可以讓問題得到比較巧妙地解決。

關鍵詞：一次函數;數圖結合;圖像法;相似三角形

圖像法是一種分析處理數據、研究物理問題的重要方法，圖像能夠直觀、形象地描繪物理規律。充分利用圖像中所傳遞的信息，理解函數圖像中關鍵點的物理意義，將函數圖像、幾何圖形和物理知識結合，可以幫我們巧妙地解決一些物理問題，達到化繁為簡的目的。初中階段學生在數學課程中學習了一次函數和二次函數，這些函數在我們初中物理的學習中都有應用，下面以一次函數為例談談函數圖像在初中物理解題中的應用。

一、深入理解題意，主動創造圖像

例1：為測定黃河水的含沙量，某校課外活動小組取了10dm3的黃河水，稱得其質量是10.18 kg。已知沙子的密度ρ沙=2.5×103kg/m3，求黃河水的含沙量（每立方米黃河水中含沙多少千克）。

本題是密度練習中的常見題，常規的解析方法是由10dm3黃河水的質量是10.18 kg，可知1m3黃河水的質量是1018 kg，根據題意可列出方程組：

圖像法：將黃河水看成水和沙的混合物，與同體積的水對比，對照已知條件可知1m3黃河水和1m3水的質量差異在于與黃河水中沙子的質量比體積相同的水的質量大，其余水的部分質量、體積都相同。

根據m= ρV可以得出，水和沙子體積相同時，m與ρ成正比，比值為V，作出m-ρ圖像，由正比例函數圖像的性質可知，圖像斜率，由此可以計算m沙= ρ沙V沙=2.5×103kg/m3×0.012m3=30 kg。

本題對初二學生來說是一道中等難度的題，用常規的列方程或方程組的方法就能解決，但在理解題意的基礎上，用畫示意圖和正比函數圖像結合的方法能夠更快地解決問題。

二、反比變為正比，靈活運用圖像

例2.（2014年烏魯木齊中考）阿基米德采用排水法解決了王冠摻假問題，現有一個金和銀做成的王冠，用排水法測量出其體積為56.9cm3，若與王冠質量相同的純金塊和純銀塊的體積分別為52.5cm3 和96.5cm3，則王冠中銀的質量和金的質量之比為（? ? ）？

A.1：8? ? B.1：9? ? ? C.1：10? ? ? D.1：11

有老師認為本題需用到金和銀的密度作為已知條件，才能用常規方法解題。[1]但其實題目已知條件中并未給出金和銀的密度，仍然可以用常規方法解決，解題思路如下：設王冠中金的質量為m金，銀的質量為m銀，則m王冠=m金+m銀，根據條件給出的三個體積可以列出：

這樣本題無須金和銀的密度作為已知條件就可以求出王冠中銀的質量和金的質量之比。

圖像法：本題中三種王冠質量相同，因為組成不同即密度不同而使得體積不同，分析可知，合金王冠比質量相同的純金王冠體積大的部分是王冠中銀的體積（設為V1）比質量相同的金的體積（設為V3）大的部分，合金王冠比質量相同的純銀王冠體積小的部分是金（設為V2）比質量相同的銀的體積（設為V4）小的部分，V1與V3、V4與V2的體積差異是質量相同而金、銀密度不同造成的，根據可知，質量相同時，V與ρ成反比，即V與成正比，比例系數即為m。由此可以根據分析分別作出王冠中銀的質量m銀和金的質量m金的V—的圖像。

在本題中，常規解法思路較為復雜，找出三種王冠的體積差異，再將原本V與ρ成反比的關系轉變成V與成正比，分別找出m銀、m金與的關系，借助一次函數圖像解出m銀與m金的比值也是一種不錯的方法。

三、巧用一次函數，構造相似圖形

例3.（2016年蘇州中考）如圖1（a）甲所示，電源電壓保持不變，閉合開關S，滑動變器的滑片P從b點滑到a點的過程中，兩電壓表示數隨電流表示數變化的圖線如圖1（a）乙所示，下列敘述正確的是（ ）？

A.電源電壓為14V。

B.圖乙中dc是表示電壓表V2的示數隨電流表示數變化的圖線。

C.滑片從b點滑到a點的過程中，電路消耗的總功率最大值為45W。

D.滑片在a點時，10s內電阻R消耗的電能為10J。

本題常規解法是利用圖像中的C、D、E三個關鍵點的數據列方程組解出電源電壓U和定值電阻R的阻值，然后計算出其他相應的結果，解題過程本文不再贅述。本題也可以充分利用圖像信息，結合圖形來解題。如圖1（b）所示，分析電路圖可知CE是R2的電壓U2-I圖像，是正比函數，可知R2=2Ω;CD是R1的電壓-電流（U1-I）圖像，可以寫出U1關于I的表達式U1=U-I（R+R2），將此圖像延長至縱軸，得到交點坐標為（0A，U0），根據函數表達式可知，當I=0A時，U1=U即為電源電壓。同樣可以將函數圖像延長至橫軸，得到交點坐標為（I0，0V），根據函數表達式可知，當U1=0V時，I=;對照電路圖分析，當R1接入電路的阻值為0Ω時，U1=0V，電路中只有R和R2，電流表的示數就等于。如何快速利用圖像求出這兩個點的坐標呢？筆者在教學時采用數形結合的方法，將線段CD分別向兩邊延長至與坐標軸相交，與縱軸交點為J，橫軸交點為G，即可得到兩組相似三角形，其一為?CDF∽?DJK，根據相似三角形的特點可知JK/DF=KD/FC，代入數據可快速求出JK=3V，U0=12V+3V=15V，即電源電壓為15V;其二為?CDF∽?GCH，可知HG/FC=CH/DF，代入數據可求出HG=2A，I0=3A+2A=5A，R+R2=U0/I0=15V/5A=3Ω，因為R2=2Ω，所以可得R=1Ω。

本題在理解圖像物理意義的基礎上，在函數圖像中運用相似三角形的幾何知識能夠幫學生快速計算出結果，學生對此方法甚為驚訝，感嘆原來物理習題還可以這樣解決。

歷史上物理和數學有著十分深刻的聯系。每一次物理學的重大革命，其標志都是有新的數學被引入到物理學中來。但我們的初中生在學習過程中往往將物理與數學看成彼此獨立的，不能主動發現其中的聯系;教師在教學過程中也會逐漸形成學科本位，而忽視了物理與其他學科知識之間的關聯。因此我們在教學過程中要引導學生善于利于各種數學方法，靈活運用所學的知識方便、快捷地解決各種物理問題。

參考文獻：

[1]李康.巧用圖像法 妙解物理題[J].物理教師，2018（9）：26-29.