建模，讓數學學習走向深度

【摘要】數學建模指向于模型思想和建模能力培養的全過程，通過“基于實際問題→建立數學模型→求解數學模型→應用數學模型”，幫助學生逐步形成和提高數學核心素養。文章闡述了建模教學的意義，結合課例對展開建模教學的策略進行了論述，以喚醒教師的數學建模教學意識，培養學生的數學建模能力。

【關鍵詞】數學建模;數學模型;建模教學

【基金項目】本文為江蘇省重點資助課題“小學生數學建模能力培養的教學課例研究”（C-a/2020/02/01）的階段性成果。

作者簡介：楊曄（1986.10-），女，江蘇省常州市金壇區唐王小學，中小學高級教師。

模型思想是一種重要的數學思想，數學建模能力是一種重要的數學學習能力，對學生數學思維的培養有重要的作用，它們是理論與實踐的相互表達。在小學階段，建立模型思想是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，培養建模能力有助于改進學生的學習方式，使學生主動學習，學會學習。

一、建模教學的現狀分析

史寧中教授強調：“數學教育承載著落實立德樹人的根本任務，會用數學眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。”數學模型是數學語言的一種直觀表達，具有廣泛性。為了解本區域“數學建模”的研究情況，筆者進行了如下調查，形成了一些基本認識。

（一）問卷調查研究

借助問卷星調查小程序，筆者編撰了較為簡單的問題進行在線調查。問題呈現如下：

（1）你了解數學建模嗎？

□了解 □略知 □未懂

（2）課堂上你嘗試過從數學建模的角度進行詮釋嗎？

□經常 □偶爾 □從不

（3）你平時關注有關數學建模的文章嗎？

□經常關注? □偶爾關注? ? □從不關注

（4）你寫過數學建模的論文嗎？

□寫過? □從未寫過

（5）你能列舉些可以從建模角度來詮釋的課堂教學內容嗎？

該問卷是從淺層面了解本區域小學數學教師對“建模”的認識情況，共收到118位教師的調查數據。從反饋來看，了解的占76.3%，略知的占22.4%，未懂的占1.3%。這就說明大部分教師通過課標的學習和核心素養的落實，對建模并不陌生。但奇怪的是，從數學建模角度進行課堂詮釋的只占12.5%，偶爾的為35.8%，51.7%的教師從未如此處理。同樣，在（3）（4）兩個問題中也表現出教師對建模文章的冷淡性，經常關注和寫過的分別只有29.3%和8.4%，這是什么原因呢？既然大家對建模都了解，那為什么進行這方面思考的卻很少呢？從大家列舉的建模角度詮釋的課堂教學內容來看，大家抓住了課標中“建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”這句話，列舉的都是能夠形成公式的相關問題，如加減乘除的運算、周長面積的計算等，內容較為豐富。通過這份問卷我們可以看到，教師對建模的價值有一定的了解，但真正在課堂上如何凸顯建模的意義和基于建模的視角進行反思不強烈。

（二）個案研究分析

由于工作原因，筆者接觸到很多年輕教師的演講視頻，通過對78位教師關于“三角形的三邊關系”的演講視頻進行分析發現，在評價中提到“建模”的只有2位，更多的是從教師的能力、學生的學法、問題的解決以及實驗的方式等方面進行分析。數學建模在這節課中非常明顯，實驗的方法等都是建立模型、求解模型的方式，教師評價中不談及，主要原因在于模型思想還未植根于教師的教育教學理念中，建模的研究在本區域還處于低潮。

結合以上調查研究發現，目前建模教學存在如下問題。

1.認為建模指向于結果的運用。教師在培養建模能力的過程中，因為對其意義理解不充分，過于注重模型的運用，從而形成填鴨式訓練。這種形式多見于計算類、公式運用類教學，教師直接通過告知模型讓學生套用解決一類問題。這樣能在短時間內達到掌握的效果，但學生對于模型的理解有所欠缺，導致學習過于機械化，學生感受的是數學的精密美，卻丟失了自我探索的樂趣。數學課堂應該注重過程，幫助學生經歷再創造，才能有助于核心素養的落實和深度學習的發生。

2.模型結構的邏輯理解不強烈。數學是邏輯性較強的學科，很多知識的模型隨著學生能力的提高會不斷地完善和豐富。教師在教學時應該關注知識的邏輯體系，適時地滲透，幫助學生對模型的形成有更為豐富的認識。如在教學四年級數學“確定位置”時，教師應該考慮到低年級的行、列確定位置過渡和將來的三維空間確定位置的延伸，幫助學生形成初步的“線→面→體”的模型建構過程。部分教師在教學中忽略了這一點，沒有意識到模型結構的重要性。

二、建模教學的實施策略

基于以上的研究，筆者開啟了數學建模的研究之路，通過對教材的解讀、對內容的理解以及對課堂的詮釋，提出了如下實施策略。

（一）立足教材，把握知識生長邏輯，有準備地步入課堂

教起于研，在對教材沒有理解到位的基礎上展開教學，猶如置身迷霧之中，無法辨別方向。對教學內容的研讀，必須從兩個維度出發：一個是從內容體系中，立足知識本位，索前與探后，了解內容在整個知識體系中的邏輯地位;另一個是基于教材進行思考，對例題深度把握，確定詮釋方法。對于小學中模型思想和建模能力培養突出的內容，需要立足這兩點進行思考，才可能把握好模型知識的生長邏輯，有準備地步入課堂。

如在蘇教版三年級下冊“長方形和正方形的面積”教學中，學生通過度量操作逐步抽象建立面積計算模型，在運用中深化和掌握。教師在備課時可以從以下幾方面進行研讀。

從內容體系來看，學生在之前已經學習過長度單位，并掌握了度量線段長度的方法。對線段長度的度量就是從一個維度進行單位的累加，這與面積計算的本質是一致的。面積計算是從兩個維度累積單位，以此類推，六年級學習長方體和正方體的體積時，就是從三個維度進行單位累加的計算。了解這部分內容所處的位置，教師在教學中就會從“喚醒經驗”的角度幫助學生主動進行探究，也會在課尾進行適當的滲透，站在知識的上位進行教學，助推學生模型思想的逐步形成。

從教材安排來看，本課時教材共安排了三道例題，這三道例題是讓學生從具體操作逐步到抽象概括的過程。教師在研讀時要清晰每道例題的價值，不可缺位，更不可越位。學生通過擺1平方厘米的小正方形，初步感受長方形的面積與小正方形的個數有關;再通過對小正方形的度量來進行驗證;最后通過心中的擺，在三個維度的深化中形成長方形的面積公式，即建立模型。正方形面積的推導既是長方形面積計算模型的應用，又是深度理解模型的過程。看似簡單的面積計算公式，要讓學生真正地理解和掌握，不可定于“教”，而應助于“學”。

數學建模能將學生的思維過程用直觀的語言進行歸納總結，外化于行。同時，學生對數學模型的理解、把握與構建的能力，在很大程度上反映了他們的數學思維能力、數學觀念及意識。教師在理解建模培養的典型素材時，必須站在更高的高度來理解，才能精確地掌控課堂，引導學生向深度學習邁進。

（二）基于學生，關注建模的全過程，有結構地組織教學

數學作為一個解決問題的工具，已成為時代文化的一個重要組成部分，一些數學概念、語言已滲透到日常生活中，一些數學原理已成為人們必備的知識。為體現數學模型的價值，我們應該把從生活中抽象的數學問題，通過數學課堂的建構和求解再運用到生活中去，讓學生經歷完整的建模過程。

1.立足問題，指明教學方向

沒有問題指向就沒有課堂的教學研究，學生的數學學習是在不斷的問題解決中掌握知識，形成技能，升華思想，豐富經驗。好的問題能夠激發學生的探索欲望，促進學習的深入，利于學生對數學本質的理解。

例如五年級下冊“圓的面積”，教學的核心問題就是“怎樣計算圓的面積？”。因為這個核心問題，才有下面的問題探究，學生在一系列的探究和推理中形成圓面積的計算模型。

弗賴登塔爾認為：“數學化的對象就是學生熟悉的現實，而不是成人熟悉的現實。”在小學階段，低年級的數學問題趨向于情境化，利用形象的圖片讓學生發現數學問題，抽象出數學模型，激發學生學習的欲望;到了中高年級，更加趨向于具體的生活問題和科學的解決訴求，與學生的心智發展切合，因而很好地為建立數學模型做鋪墊。在教學中，教師要善于捕捉教材情境中蘊含的數學信息，同時盡可能抓住生活中可利用的素材作原型，生成問題進行教學。這樣不僅可以拉近數學與生活之間的距離，而且可以為應用數學模型、體現數學價值做支撐。

2.抽象概況，搭建模型結構

從具體問題抽象為數學模型，是數學建模的重要環節。當剝去無關因素，只留下問題本質，數學課堂的研究之旅就開啟了。徐利治教授認為，數學模型乃是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括或近似地表述出來的一種數學結構。在幫助學生建立數學模型的過程中，教師應該循序漸進，不斷完善，從而獲得模型的整體結構。

如六年級下冊“圓錐的體積”的教學，學生通過實驗單對圓錐的體積進行研究，分享時呈現兩類資源。

資源1：學生使用的實驗工具是水、等底等高的圓柱和圓錐;實驗的過程是把圓錐裝滿水，然后倒入圓柱中，一共倒了3次;得出結論：圓柱的體積是這個等底等高圓錐體積的3倍。

資源2：學生選擇的實驗工具是水、等底等高的圓柱和圓錐;實驗的過程是把圓柱裝滿水，然后倒入圓錐中，同樣倒了3次;結論是：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3。

學生介紹自己的實驗操作過程，在清晰的表達中獲得圓錐體積的計算模型。

對于同一知識，學生所形成的模型結構并不是單一的。教師要善于引導學生從不同的角度建構屬于自己的數學理解，通過問題情境和學習素材，放手讓學生聯系自己已有的學習經驗，嘗試建立不同的數學模型，在討論和對比中不斷地優化，讓方法多樣化和方法優化成為學生模型建構的智慧橋梁。

3.提煉固化，探索模型之解

對于所建立的數學模型，我們需要通過嚴謹的態度去進行求證，確定結果及其結果的意義。數學是一門精確的學科，其美就在于它的科學性和確定性。在教學中，教師要給學生提供探究的空間，讓學生經歷模型求解的過程。這不僅是數學教育的孜孜追求，更是對數學學科的一種尊重。面對數學問題中的數量關系和變化規律，適當地放手有助于學生形成模型思想，增強其學習數學的興趣和應用意識。

例如蘇教版教材六下“圓柱的體積”教學，學生通過長方體和正方體的體積計算已經獲得對等底等高圓柱體積計算的猜想，接著通過轉化，在演繹推理中建立了圓柱和轉化后的長方體的對應關系，從而得出圓柱體積的計算公式。

這樣的求解過程是對知識的提煉和固化，更是對原有知識經驗的提煉和升華。學生在圓的面積計算中已經獲得求解這類模型的經驗，再次運用，不僅是經歷，更是喚醒，除了在建模能力上獲得提升外，在經驗的積累上也更加豐富。在教學中，很多規律探究的問題重點就是模型的驗證，學生在建立模型的猜想后通過推理、實驗、舉例等方法求解模型，達成對知識的理解和掌握。

4.應用理解，提高建模能力

吳仲和博士指出，學數學必須懂數學。在教學中，我們可以從知曉、解釋和應用三個方面促進對知識的理解。建立數學模型可以達成對數學知識的解釋，而模型的應用是對數學知識的一種認可和延伸。在這一過程中，學生不僅達成對知識的鞏固和消化，而且懂得數學建模的意義和價值所在。

如在教學蘇教版四年級下冊畫示意圖解決問題時，當學生通過圖形建立了長增加求原來面積的模型時，教師就可以啟發學生：還可以怎樣變化，使得面積也發生變化？這時候學生通過長增加想到寬增加，再到長和寬都增加使得面積增加，而面積增加對應的則為面積減少，長、寬不僅可以同時增加和減少，甚至還能一個增加一個減少……在這樣的變化中，學生不斷地調整認知，挑戰自我思維，充分提高了數學能力。

正如開普勒所言：“數學就是研究千變萬化中不變的東西。”數學問題千變萬化，但數學模型始終如一，以不變應萬變，這就是數學的魅力所在。部分數學知識和數學規律，通過問題抽象和推理出數學模型后，它的應用就如神秘的海洋，吸引你不斷深入。

總之，基于模型思想的研究是數學教育的一種應然追求，幫助學生提高建模能力，體會數學的生活性、應用性、科學性和工具性，站在核心素養培育的高度，以深度表達促進深度學習，為客觀世界與數學科學之間搭建智慧的橋梁，創造數學理性之美。

【參考文獻】

王凌.自主建構 促進理解[J].小學數學教育，2019（24）：43-44.

史寧中.數學思想概論[M].長春：東北師范大學出版社，2015.