用固定變量,分步遞進法解決一類雙變量函數問題

陜西省漢中市龍崗學校 (723103) 唐宜鐘

近年來,一類雙變量函數問題在高考、模擬題中頻頻出現.這類問題可大致表述為:已知雙變量函數y=f(s,t),其中s,t∈(m,n),證明:A

例1 已知函數f(x)=ex,A(m,em),B(n,em)(m

評注：本題可做如下理解.固定m,即點A固定.如圖1,B離A越遠,kAB越大.當B→A時,kAB越來越小,直至A,B重合時,kmin=f′(m).同理,固定n,即點B固定.當A→B時,kAB越來越大,直至A,B重合時,kmax=f′(n).

圖1

對于函數g(m,n),mh(m,m).

圖2

圖3

評注：本題的背景是“琴生”不等式.在固定x1后,函數的單調性依舊無法得出,需借助二階導,有一定的思維度.但當寫出f′(λ1x1+λ2x2)-f′(x2),求二階導就水到渠成.

例5 已知函數f(x)=exln(1+x)．證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

評注：通過前面例證不難發現,對于大多數雙變量函數y=f(s,t),其最值取等條件為s=t,而f(s,s)=0.但對本題而言,g(s,s)的值并不確定,還需計算φ(s)=g(s,s)的最小值.其轉化路徑為(s,t)→(s,s)→(0,0).

通過以上例證,不難感受到采用固定變量,分步遞進的方式處理一類雙變量函數問題流程固定,思維順暢,計算簡潔,幾乎用不到任何變形技巧.但這類問題要求雙變量在給定范圍類可以自由取值,雙變量之間沒有等量代換關系.在實際做題過程中,需仔細辨別,不可盲目套用.