試解“新高考”2021年數學全國Ⅱ卷第21題

汪繼波

(重慶市遠恒佳重慶公學高中部 401200)

“新高考”2021年數學全國Ⅱ卷(海南、遼寧、重慶)第21題：

一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(x=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p=1，當E(x)>1時，p<1;

(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

本題第(1)、第(3)問較易回答，此處不予討論，在此僅討論第(2)問：

求解想法此問關鍵在于找到這個關于x的三次方程的最小正實根，于是，可以考慮求出它的根(至多3個實數根)，進行比較，但縱觀全國高考題的特點，直接求出此方程的所有實數根，并非易事！這一來，解題者應有心理準備，討論方程根的特點，比較大小，找到最小正實根，可嘗試通過分解因式能否找到幾個根，余下根可根據限定條件，縮小其取值范圍，進而比較方程根的大小；也可以考慮構造三次函數，轉化為討論此函數的零點，求出值或比較幾個零點的大小，從而找到原方程的最小正實根.

解法一由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，p0=1-(p1+p2+p3)，

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

?(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

?x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

①當E(x)≤1，即p1+2p2+3p3≤1時，g(1)=p1+2p2+3p3-1≤0，如圖1，g(x)在(0,+∞)上單調遞增，在[1，+∞)也單調遞增，據零點存在性定理，知g(x)在(0,+∞)上存在唯一零點x0，顯然x0≥1，所以，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實根等于1，于是，p=1.

②當E(x)>1，即p1+2p2+3p3>1時，g(1)=p1+2p2+3p3-1>0，而g(0)<0，如圖2，g(x)在(0,+∞)上單調遞增，由零點存在性定理，在(0,+∞)上存在唯一零點x0，且0

綜上所述，當E(x)≤1時，p=1；當E(x)>1時，p<1.

解法二由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，從而p0=1-(p1+p2+p3)，

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

?(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

?x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

②當E(x)<1，即p1+2p2+3p3<1時，(x1-1)+(x2-1)<0，且(x1-1)(x2-1)<0，因x1≤x2，x1x2<0，故x1<0，x2>1，且|x1-1|>x2-1，此時，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實根為1，所以，p=1.

綜上所述，當E(x)≤1時，p=1；當E(x)>1時，p<1.

解法三由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x?p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0=0.

構造函數f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，顯然有f(1)=0，函數f(x)的導函數f′(x)=3p3x2+2p2x+p1-1，如圖3，由p3>0知拋物線f′(x)開口向上，f′(0)=p1-1，由p1<1，知f′(0)<0，于是，f′(x)有兩個零點x1、x2,不妨設x1

①若E(x)≤1，即p1+2p2+3p3≤1，則f'(1)=3p3+2p2+p1-1≤0，據此二次函數f′(x)的性質，知x1<0<1≤x2.

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f ′(x)+-+f(x)↗↘↗

所以，f(x)在(x2,+∞)上有且只有一個零點x0≥x2，因此，1是函數f(x)在(0,+∞)上的最小正實根，從而p=1.

②若E(x)>1，即p1+2p2+3p3>1，則f′(1)=3p3+2p2+p1-1>0，如圖4，據f′(x)的性質，知x1<0

因f(0)=p0>0，f(x2)

綜上所述，當E(x)≤1時，p=1；當E(x)>1時，p<1.

考題通過數學與生物學的融合，倡導了數學的廣泛應用性.在教學和學校管理中，應重視學科間的融合，可鼓勵學生關注以數學為基礎的交叉學科或邊緣科學，比如，生物數學、生物統計學、生態數學、數學地質學、數理統計學，等等，不要過早“文理分科”，現在不少地方或學校過早“選科”，從高一開始要求學生選定首選和再選科目，沒有選考的科目隨便安排幾節課或考前突擊式教學，以應付學業水平考試！如此過分功利化的學校教育恐難培養“健全的人”，也不利于國家的長遠發展！