辨識橢圓的離心角與旋轉角

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

在一次調研考試中，發現學生對一道解析幾何題的兩種不同解法分辨不清，說明學生對相關概念模糊，認識不到位，從而產生錯誤，并且這種錯誤在學生中普遍存在，非常有代表性.筆者對此特意成文，供大家參考.

一、試題的呈現與解答

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓Γ交于A,C與B,D，求四邊形ABCD的面積的最小值.

當且僅當k=±1時取等號.

則四邊形ABCD的面積

評注問題(2)中的兩種解法，是學生解答中的普遍做法，太多數學生認為解法2比解法1更為簡單，容易求最值，同時認為解法1也正確，所以無法判斷那一種解法有誤.

一題兩個不同結果，孰對孰錯？實際上，解法2是錯誤的.原因在于應用橢圓的參數方程解題時，未能理解參數的幾何意義，沒有準確把握橢圓參數方程中離心角與旋轉角的區別與聯系，從而產生誤解，導致錯誤.

二、橢圓離心角與旋轉角的概念及其關系

1.橢圓參數方程的推導

如圖，以原點O為圓心，a,b(a>b>0)為半徑分別作兩個同心圓.設A為大圓上的任一點，連接OA，與小圓交于點B.過點A,B分別作x軸，y軸的垂線，兩垂線交于點M.求當半徑OA繞點O旋轉時，點M的軌跡的參數方程.

圖1 圖2

2.橢圓的離心角與旋轉角及其關系

由圖可以看出，參數α是點M所對應的圓的半徑OA(或OB)的旋轉角(稱為點M的離心角)，不是OM的旋轉角，θ才是OM的旋轉角.

當點A繞著點O轉動時，離心角α和旋轉角θ的大小都在發生變化：在第一象限時，α>θ；在第二象限時，α<θ；在第三象限時，α>θ；在第四象限時，α<θ；當點A在坐標軸上時，α=θ.

三、解法2的錯因分析與解法修正

1.錯因分析

原題目的條件AC⊥BD，實際上是指點A與點B的旋轉角相差90°，而解法2用的是點A與點B的離心角相差90°.兩者是否一致？

可見當旋轉角θ增加90°時，離心角α不一定增加90°，所以在應用橢圓的參數方程時，必須理解參數的幾何意義，分清離心角與旋轉角.

2.解法2 的修正

所以四邊形ABCD的面積

評注顯然，解法2修正后的結果與解法1的一致，對比之下，解法1較易理解，運算量也稍少.

四、其它解法

評注從上述三種解法可看出，解法3所用的極坐標法運算量少，最為簡單.