關于三角行數和正方形數的注記及算法構造

趙美利 唐靜

摘要：三角形數是否能化為正方形數是一個有趣的數學問題，沒有形成一定的結論，該文結合數列性質和佩爾方程，討論三角形數可化為正方形數，為研究三角形數和正方形數提供一定的參考價值，并利用了Java語言的大整數特征結合 Eclipse集成開發環境，驗證了其結論的正確性。

關鍵詞：三角形數;正方形數;佩爾方程;大整數

中圖分類號：TP393? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）29-0171-03

Note and Algorithm Construction of Triangular Row Number and Square Number

ZHAO Mei-li， TANG Jing

（Chuzhou City Vocational College， Chuzhou 239000， China）

Abstract： Triangle number whether can into the square number is an interesting mathematical problems， not form a certain conclu?sion， based on the sequence of the nature and pell equation， The necessary and sufficient conditions for the triangle number to be transformed into a square number are discussed， Let the positive integer ofan the nrow of the triangle number be，thean from smallto large， constitute ana series sequence is infinite， has a recurrence formulaan +2 =6an +1 - an +2，a1= 1，a2= 8 The general formula isan =? [（3+ 2）n +（3- 2）n]- ; The number of triangles can be changed into the number of squares， which pro?

vides some reference value for the study of the number of triangles and the number of squares. The correctness of the conclusion is verified by using the feature of large integer ofJAVA language and Eclipse integrated development environment.

Key words： triangle number; square number; pell equation; large integer

眾所周知， 三角形數和正方形數是數學中一類有趣的問題，我們熟悉的古希臘數學家畢達哥斯拉提到過三角形數和正方形數[1]，他們把數看作點集或點狀物體，把數字和圖形聯系在一起，將正整數和正方形、正五邊形、三角形等聯系起來，將數字劃分為正方形數、五邊形數、三角形數等，使得數字更加形象生動，研究規律很方便。之后很多人對此問題進行了討論和研究，得出了一些特殊的三角形數和正方形數，所有大于3的三角形數都是合數，所有三角形數的倒數之和是2，任何一個完全平方數都可以表示成相鄰的兩個三角形數之和[2]。鄭玉美[3]利用余弦定理從1200三角形數方面得出了兩個性質，張愛靜[4]從三角形數和數三角形角度討論了三角形的一些規律，得出了數與規則圖形的一些結論。黃祎[5]利用初等方法和解析方法，首次提出了三角形數和數列的關系，研究Smarandache三角形數的下部及上部數列的幾何平均值的極限問題。智婕[6]在佩爾方程x2-py2=1的求解技巧一文中把佩爾方程和三角形數建立了聯系，利用佩爾方程的解的規律得到了滿足一定條件的特殊的三角形數。余熙國[7]得出關于三角形數和正方形數的一個結論，一個正整數既是三角形數也是正方形數有無限多個，可以用通式表示：

通式給出了三角形數和正方形數的關系，但是沒有給出兩者相互轉化的結論。近年來很多中學都注重培養學生思維能力和創新能力，在數學學科競賽題中經常出現三角形數的考題，吳家華[8]將一個數列的各項重新排列，構造三角形數陣，妙解一類數列問題，提出了三角形數的應用問題，開辟了新的領域。綜上所述，對于這個有趣數學問題有了一定的研究和探討，形成了一定的結論，但是對于三角形數和正方形數的轉化問題沒有涉及，為了更進一步探討兩者的本質聯系，本文對滿足一定條件的三角形數如何轉化成正方形數進行了研究，形成了一定的結論。

1預備知識

三角形數：將物品以三角形形式等距離排列，可以形成等邊三角形，這樣得到的物品的數，比如1，3，6，10，15，21，...，這樣的數稱為三角形數。

正方形數：正方形數也稱平方數，將一定數量的點或圓等距離排列成正方形，這樣得到一組數，比如1，4，9，16，...，這樣的數稱為正方形數。

佩爾方程：形如x2- dy2= 1（x，y∈ Z+; d不是平方數）方程稱為佩爾方程，其滿足方程的正整數解是初等數論經典問題之一。

2相關結論

自從三角形數作為一類特殊的數，有一定的規律之后，人們開始一系列探討和研究，比如三角形數的第n個數是，所有的三角形數的倒數之和等于2，任何兩個相鄰的三角形數之和都是一個正方形數等等。三角形數是否化為正方形數，是一古老有趣的數學問題，也是初等數論的經典問題之一，在不少書刊和中學生數學競賽中出現，但未見一個的結論。筆者經研究發現，若三角形數可化為正方形數，其滿足一定條件即可，從而完美解決了這一古老有趣的數學問題，下面我們給出一定的結論。

引理1：設 an 為三角形數的第 n 行的正整數，構成新的數列為{an}，

綜上所述引理1得證。

我們經過數列的性質進一步推導后就會發現，對引理1 的數列各項進行求和，會有更一般的結論，下面給出這個結論，并給出證明。

由（3）式容易得到：

綜上所述引理2成立。

由以上兩個引理我們得到三角形數轉化成正方形數的充要條件，下面我們給出結論，并利用佩爾方程簡單證明這個結論是正確的，從而解決了三角形數和正方形數互相轉化的這一初等數論的經典問題。

定理：如三角形數可化為正方形數，三角形數第n行的正整數為an，則an +2 =6an +1 - an +2，a1= 1，a2= 8。

證明：∵三角形數可化為正方形數，第n行的正整數為an，由引理2知：

∴存在相對應的正整數m n，使得：

由佩爾方程的概念易知（4）式符合佩爾方程形式。

由佩爾方程的通解知（4）式的通解為：

定理得證。

由引理1和引理2知定理結論是正確的。

此定理給出了三角形數和正方形數轉化的充要條件，徹底解決了兩者之間的聯系問題，以前只是片面的討論三角形數和正方形數的規律問題，形成了一定的結果。所以研究此問題很有必要，有一定的理論指導意義。此定理是對原來三角形數判定定理的延拓，更具有一般性和使用的廣泛性。為進一步證明其結果的準確性，利用java 中大整數的特點設計相應的算法。

3算法實現

程序設計語言基本數據類型中long類型所能表示的整數范圍是最大的，但還是有限的。當數據值超出范圍會有異常出現，而Java 中專門提供了用來進行不限制大小的整數計算的類——java.math.BigInteger。支持任意精度的整數，可以準確地表示任何大小的整數值，而不會丟失任何信息[9]。在該類中封裝了大整數相加add（）;相減subtract（）;相乘multiply（）;相除取整di? vide（）;取余remainder（）;求冪pow（）; a.pow（b）=a^b;最大公約數gcd （）;絕對值abs（）;是否相等boolean equals（）;通過使用這些大整數運算，可以求解許多高精度運算問題。在本算法中需要驗證通過公式所得數列中的每個數是否完全平方數（正方

形數）和對完全平方數取得其平方根，在java.math.BigInteger類沒有這兩種方法，需要自己設計。以下兩種算法就是完全平方數和取得其放平方根的設計。

（1）//public static BigIntegermyBigNumSqrt（BigInteger xx）{}方法是對大整數求平方根

public static BigIntegermyBigNumSqrt（BigInteger xx）{

BigDecimal x=new BigDecimal（xx）;

BigDecimal n1=BigDecimal.ONE;

BigDecimalans=BigDecimal.ZERO;

while（（n1. multiply（n1）. subtract（x））. abs（）. compareTo（BigDeci?mal.valueOf（0.001））==1）

{

BigDecimal? s1=x.? divide（n1，? 2000，? BigDecimal. ROUND_HALF_UP）;

BigDecimal s2=n1.add（s1）;

n1=s2. divide（BigDecimal. valueOf（2）， 2000， BigDecimal. ROUND_HALF_UP）;

}

ans=n1;

BigInteger rt =new BigInteger（ans.toString（）.split（"＼＼."）[0]）; return rt;

}

（2）//public static BigIntegeris_square（BigInteger F7）{}方法是判斷大整數是否完全平方數

public static booleanis_square（BigInteger F7）{

//牛頓法求解平方根， 求解a 的平方根 x為a 的平方根，x 的初始值為1，//按x =（x+a/x）/2迭代，誤差為error

BigDecimal x = BigDecimal.ONE;

BigDecimal m = new BigDecimal（F7.toString（））; BigDecimal eps = new BigDecimal（"1"）;

final BigDecimal error = new BigDecimal（"1E-10"）; int scale =100;

while（eps.compareTo（error）==1）{// eps > error

x? =? x.? add（m.? divide（x，? scale，? BigDecimal. ROUND_HALF_UP））. divide（new BigDecimal（"2.0"）， scale， Big?Decimal.ROUND_HALF_UP）;

eps = x.multiply（x）.subtract（m）.abs（）;

}

BigInteger sqrt = x.toBigInteger（）;//求平方根的整數部分 if（sqrt.pow（2）.compareTo（F7）==0）

return true;

else

return false;

}}

（3）該算法中要進一步驗證數列數列的個數與

該數列中完全平方數的個數是否相等，如相等就證明上述的充分必要條件，在主方法中通過for循環和方法條用的到相應的結果該算法利用數組長度為102最終實現的結果如下求數列an 的值：

在Eclipse開發環境下該程序運行的結果界面如下：

三角形數和正方形數的判定問題是初等數論討論的經典問題之一，本文章討論了三角形數和正方形數的轉化的重要條件，對于他們的求解問題一直是近年來競賽題的首選問題，對培養學生的創新思維能力有一定積極意義，在此基礎上用Java 語言中大整數的特點和大數據分析方法對三角形數和正方形數以及正多邊形數進行分析和編寫語言程序，對于這種算法的實現也是永無止境的課題。當然三角形數和正方形數的判定條件還可以進一步優化，需要感興趣的我們一起去研究和發現，相信會有更好的結果。

參考文獻：

[1]華羅庚.數論導引[M].北京：科學出版社，1957.

[2]張文鵬，李海龍. 初等數論[M].西安：陜西師范大學出版社，2013.

[3] 鄭玉美.120°三角形數的兩個性質[J].中學數學，1992（2）：31-32.

[4] 張愛靜 . 數三角形與三角形數[J]. 數學學習與研究，2010（3）：104.

[5] 黃煒.關于Smarandache三角形數的下部及上部數列[J].寶雞文理學院學報（自然科學版），2011，31（1）：23-25.

[6] 智婕.佩爾方程x2-py21的求解技巧[J].佳木斯大學學報（自然科學版），2011，29（1）：110-111.

[7] 余熙國.關于三角形數和正方形數的一個結論[J].數學通報，2012，51（4）：55.

[8] 吳家華.構造三角形數陣妙解一類數列問題[J].高中數學教與學，2020（1）：18-19.

[9] 申時全.基于Java BigInteger類的大整數運算應用[J].價值工程，2014，33（24）：229-231.

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