基于二進小波的多閾值圖像去噪方法

劉美琪 吐爾洪江?阿不都克力木

摘要：在D.L.Donoho等人提出的閾值圖像去噪的基礎上，提出了一種基于二進小波的多閾值去噪算法。針對傳統軟硬閾值函數的缺陷，本文提出了一個新的閾值函數，并給出了通用閾值的一種改進形式，為分析此方法的去噪性能，對同一圖像疊加不同水平的高斯噪聲的情況進行了實驗。相比傳統的閾值去噪算法，改進的算法不僅改進了硬閾值函數在閾值處不連續的缺點，而且克服了軟閾值模型中原系數與經過閾值處理后的系數之間有恒定偏差的缺點。通過實驗仿真，在圖像去噪中具有更高的信噪比，取得了更好的視覺效果，具有更好的實用性。

關鍵詞：二進小波變換;小波系數;多閾值;峰值信噪比中圖分類號：TP311? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）29-0102-03

在圖像的生成和傳輸過程中經常會被各種噪聲干擾和影響，因而導致圖像的質量有所降低，在進行圖像邊緣檢測和圖像分割過程中，圖像由于存在噪聲造成圖像信噪比下降，這不僅對圖像的主觀質量造成影響，而且對后續的圖像處理也造成不便，因此為了更好地抑制噪聲和改善圖像質量，必須對圖像進行去噪處理[1-3]。

由于小波變換的多分辨率及其能量集中特性使之成為圖像去噪領域研究的一個熱點。目前常用的濾波方法有中值濾波、維納濾波、小波軟硬閾值濾波法等。在傳統的去噪方法中有著保護圖像特征和抑制噪聲之間的矛盾[4]。而隨著小波理論的發展，不同的小波閾值去噪方法被許多學者提出，文獻[5-6]對所有系數采用同一閾值，而沒有考慮不同尺度小波系數之間的關系，而且該方法中使用的正交小波變換缺乏平移不變性，會容易使去噪后的圖像出現Gibbs效應。文獻[7]針對硬閾值函數在閾值處不連續的缺點，提出一個新的閾值函數，但效果沒有很明顯，重構后圖像與原圖也不是很逼近。

本文引入具有平移不變性的二進小波變換，并對不同尺度的系數采用不同的閾值，這充分考慮了小波系數之間的相關性，而且提出新的閾值函數，不僅改進了硬閾值函數在閾值處不連續的缺點，而且克服了軟閾值模型中原系數與經過閾值處理后的系數之間有恒定偏差的缺點。實驗結果表明，該方法較好地實現了圖像的去噪。

1二進小波變換

二進小波變換是在連續小波變換的基礎上對尺度因子進行二進制離散而保持平移因子連續變化得到的一種半離散小波變換[8-9]。二進小波變換沒有進行采樣操作，因此其具有平移不變性。在圖像去噪等眾多領域中平移不變性十分重要，它很好地保證了圖像原來重要細節信息的位置在二進小波變換域中不會發生較大偏移，非常有效地避免了非線性變換造成的視覺形變[10]。在實際應用中，幾乎都是在圖像取離散的形式下進行圖像處理的，因此引進二進小波變換的離散算法很有必要，Mallat在二進完全重構條件下構造了一類可實現快速二進小波變換的àtrous算法，它與Mallat算法具有相同的算法結構。將一種改進形式的一維àtrous算法[9]推廣得到如下二維àtrous算法[11]，用于圖像的分解與重構。

定理1：二進小波分解與重構。

二進小波分解公式：

2二進小波濾波器

為了應用àtrous算法對圖像進行分解和重構，需要構造滿足二進小波重構條件的二進小波濾波器來達到較好的圖像處

理效果。下面給出二進小波濾波器的定義：

定理2：若分解濾波器（h，g）和重構濾波器（，）的Fourier變換滿足二進小波重構條件?（ω）（ω）+ ?（ω）（ω）= 1，則稱{h，g，，}為二進小波濾波器。

本文采用T.Abdukirim構造的B-樣條二進小波濾波器[1]：

低通濾波器：

高通濾波器：（ω）= （-1）τ e-i 2 ω （sin（ω ））r，

其中τ ={?????? r =2n?? r =2n +1

3閾值函數去噪

在閾值去噪的過程中，閾值函數是對系數進行不同處理的策略。硬閾值函數較好地保留了圖像邊緣等特征，但會伴隨振鈴效應等視覺失真現象，而軟閾值函數處理得相對平滑，但會造成邊緣模糊現象[5]。

針對二者的缺點，提出一種新的閾值函數：

觀察該閾值函數模型可以發現當α 等于π 時，該模型的作用與軟閾值模型相當;當閾值λ 很小時，該模型的作用與軟閾值模型相當。可見改進的閾值函數是介于軟硬閾值函數之間的一個靈活選擇。改進后的算法不僅解決了硬閾值函數在閾值處不連續的缺點，而且當時是高階可導的，便于進行各種數學處理。且隨著的增大，逐漸接近，克服了軟閾值模型中與之間有恒定偏差的缺點。

新閾值函數的連續性、可導性、漸近性分析如下（這里f（x）代替新閾值函數中的，x代替新閾值函數中的）。

①連續性分析：

lim f（x）= limsgn（x） =0，

lim f（x）= 0，

即lim f（x）= lim f（x） ，f （x）在x =λ 連續。

②可導性分析：

?f?? =1 （λ+ λcosα）- ，?f?? =0，

當α= π時，?? =??? 新的閾值函數滿足可導性。

③漸近性分析：

同樣x <0時，有f（x）→ 1（x →-∞）。

同時，

f（x）- x = sgn（x）[（x +λcosα）（x -λ）]12- x →0（x →∞） ，

所以改進的閾值模型以y = x為漸近線。

大量研究表明，通用閾值具有對小波系數“過扼殺”的傾向，將小于閾值的系數全部置為0可能會丟失部分表示圖像信息的系數[11]。

通用閾值[12]：λ= σ ，通用閾值的一種改進形式：

其中，σ為噪聲方差，N為圖像大小。隨著尺度j 的增大，λj的值逐漸減小，使其與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致。其中σ可取σ2= median| d，k |/0.6754。

二進小波變換的閾值去噪算法如下：

①圖像的二進小波分解：對含噪圖像 f（m，n）（m，n =1，2，...，N），選擇合適的小波濾波器用二進小波分解公式進行J層分解，得到一個低頻系數aJ，m，n和一組高頻系數d，m，n （i =1，2，3）;

②高頻系數的閾值處理：將高頻系數 ，取閾值函數對其處理，得到估計系數d?ji，m，n （i =1，2，3）;

③圖像的二進小波重構：將估計系數聯合低頻系數aJ，m，n用二進小波重構公式進行重構得到去噪后的圖像.

4實驗仿真與分析

實驗采用大小為240×320的圖像belmont2作為測試對象，對其疊加不同水平的 Gaussian 噪聲，采用T.Abdukirim構造的

B-樣條二進小波濾波器[1]：

對圖像進行分解，對分解后的高頻系數分別采用傳統的軟、硬閾值以及本文提出的多閾值去噪方法進行閾值化。采用峰值信噪比（PSNR）作為去噪效果的客觀評價標準，計算公式

圖1為噪聲水平為20的圖像情況，其中（a）為原圖像，（b）為含噪圖像，（c）為硬閾值去噪圖像，（d）為軟閾值去噪圖像，（e）為本文方法去噪后圖像。

從圖1可以對比發現，改進的閾值函數去噪效果要比軟硬閾值函數去噪效果要好，且用二進小波變換處理圖像比用正交小波變換處理圖像更有效地解決了圖像的Gibbs效應，且從數據對比可以看出，改進的閾值函數的信噪比PSNR都大于軟硬閾值的PSNR。另外去噪的處理效果和計算結果都與閾值函數中的閾值設置有關，且從圖中可以看出對不同尺度使用不同閾值的處理效果要比在不同尺度使用同一閾值效果要好，如果閾值設置適中，其去噪性能也會有不同程度的提高。

5結束語

該文針對圖像去噪中的多閾值去噪方法進行研究，分析了傳統閾值去噪的缺陷，并在已研究的基礎上提出一種新的基于二進小波變換的多閾值去噪方法，實驗結果表明，該方法比傳統的閾值去噪方法有更好的效果。如何根據小波分解后三個高通部分的特點為其設置不同的閾值函數進行圖像去噪，這將有待進一步的研究。

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【通聯編輯：李雅琪】