淺談圣維南原理的啟發式教學和課程思政方法

陳玉驥 魯志雄 陳舟

摘 ? ?要：圣維南原理是“彈性力學”課程的一個十分重要的內容，在處理次要邊界條件時具有重要的作用。文章根據作者多年的“彈性力學”教學體會，從圣維南原理的提出方法、圣維南原理概念中要注意的問題、圣維南原理的案例解析等三個方面探討了圣維南原理的教學方法，同時對該知識點的課程思政進行了教學總結，以期對指導青年教師教學起到一定的幫助作用。

關鍵詞：“彈性力學”;圣維南原理;啟發式教學;課程思政

中圖分類號：G642 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1002-4107（2021）12-0023-02

圣維南原理是“彈性力學”課程教學中的一個重點和難點[1]，該原理在彈性力學計算中應用較廣。但其概念較為抽象，青年教師在教學中一般難以講透，學生在學習中也感覺理解較為困難。作者從事了多年的“彈性力學”課程教學，下面主要從三個方面談一下作者在該原理教學中的體會，并探討了其課程思政的教學實踐[2]，以供同行參考。

一、圣維南原理的提出方法

為了使學生對圣維南原理有一定的感性認識和加深學生對圣維南原理的理解，教師在教學中首先講兩個彈性體的應力狀態對比分析的示例，由此提出圣維南原理。圖1所示兩個彈性體的幾何形狀和尺寸完全相同，僅面力不同（圖1中，q=σx=P/A，A為桿件的截面積），但兩者面力的合力相等，通過有限元計算得到靠端部h/4、h/2和h三個截面的正應力分布。由該圖可見，兩者的應力分布僅兩端附近不同，在中間大部分范圍，兩者的應力狀態完全相同。通過這一例子，可給出圣維南原理的第一種提法：“若將作用于彈性體一小部分邊界上的一組面力用另外一組靜力等效的面力代替時，則在該等效變換面力附近的應力狀態將發生顯著改變，而其他地方的應力狀態基本保持不變。”然后，在圣維南原理第一種提法的基礎上，通過分析比較圖2所示三個彈性體的應力狀態，可給出圣維南原理的第二種提法：“若作用于彈性體一小部分邊界上的一組面力是平衡力系，則平衡力系附近的應力不為0，而其他地方的應力則基本為0。”

二、圣維南原理概念提出中要注意的問題

圣維南原理的兩種提法中均要求滿足兩個條件。

（1）小部分邊界即荷載（面力）作用邊界范圍在整個彈性體邊界中占比很小。

（2）荷載（面力）必須為等效變換（第一種提法）或為平衡力系（第二種提法）。

這兩個條件是應用圣維南原理的必要條件，兩者缺一不可。如圖3所示的兩個彈性體滿足上述兩個條件，故可應用圣維南原理進行分析。但對于圖3（b）所示彈性體，因為荷載作用的水平邊界為大邊界，故有些學生通常無法判斷是否可應用圣維南原理。為此，在教學上要特別強調雖然該彈性體上的平衡力系是作用在大邊界上，但該平衡力系所作用的邊界范圍在整個邊界上仍然只占很小一部分，故仍然符合上述的第一個條件，因而也可應用圣維南原理。

三、圣維南原理的案例解析

彈性力學理論大都比較抽象、難懂，故在其知識點的講授中，結合一些生活案例或結構案例予以應用分析，往往可以加深學生的理解和認識，也可提高學生學習的積極性，激發學生的學習熱情。為此，作者在圣維南原理的教學中，采用了以下辦法。

1.講完圣維南原理的概念后，在課堂上叫一名學生起來，讓他用一只手的兩個手指頭掐另外一只手的任一手指，然后問：“何處有痛感？頭痛嗎？腳痛嗎？背痛嗎？”（顯然只有被掐處有痛感，其他地方則無痛感）。在學生進行回答后再做解釋。該例子中，一只手的兩個指頭掐另外一只手的任一手指，從力學上看，相當于被掐手指上作用了一對大小相等、方向相反的集中力，之所以在被掐處有痛感，是因為該處應力很大;其他地方無痛感，是因為這些地方應力很小。該例子可使學生親自體會圣維南原理，起到活躍課堂氣氛、提高學生對圣維南原理的學習興趣的作用。用老虎鉗剪鐵絲和用剪刀剪線的例子同樣可用圣維南原理說明。

2.2020年年初，武漢發生了新型冠狀病毒疫情。為了避免病毒的傳播，政府對武漢采取了封城的措施，以減少冠狀病毒對其他地方的影響。這個概念也與圣維南原理的思路十分吻合。

3.矩形淺梁的純彎曲問題、矩形淺梁受均布荷載作用問題，在梁的兩端（次要邊界）的應力邊界條件無法精確滿足時，可用圣維南原理，使該邊界上應力的合力（含合力矩）滿足邊界條件，即使邊界上正應力的合力等于邊界上的軸力、剪應力的合力等于邊界上的剪力、合力矩等于邊界上的彎矩。

4.薄板小撓度彎曲問題的板邊為自由邊時，其邊界條件同樣可應用圣維南原理進行處理，即使邊界上的扭矩等效為剪力，再與邊界上的實際剪力迭加，用此總剪力來滿足剪力的邊界條件。

5.在外半徑遠大于內半徑的圓環受均部內壓作用時，其極坐標下的應力分量為：σr= ? qa，σθ= ? ?qa，其中a為圓環內半徑、r為徑向坐標、qa為均布內壓集度。顯然，均部內壓為平衡力系，當r很大時（即離平衡力系較遠時），應力分量σr和σθ均很小，符合圣維南原理的第二種提法。

四、圣維南原理教學中的課程思政

課程思政是將思想政治教育融入學科教育的一種教育形式，是指將高校思想政治教育融入課程教學和改革的各環節、各方面，實現立德樹人的有效途徑。這就需要教師尋求各科教學中專業知識與思想政治教育內容之間的關聯性，并在課程教學開展過程中，將思想政治教育的相關內容融會于學科教育當中，通過學科滲透的方式達到思想政治教育的目的。為此，在圣維南原理教學中，可挖掘如下素材。

1.圣維南原理由法國力學家圣維南于1855年在大量實驗的基礎上提出，但他未給出原理的證明。目前雖然有些學者試圖證明圣維南原理，但從發表的論文來看，他們僅僅是對一些特殊情況給出了證明，而未對一般性的理論進行嚴格的證明。在講授圣維南原理后，可向學生提供以上信息，并指出若學生今后能夠通過努力鉆研證明圣維南原理（一般性的理論證明），則以后該原理將可能不再叫圣維南原理，而用證明了圣維南原理的學生的名字來命名。由此，不僅活躍了課堂氣氛，而且激發了學生對圣維南原理的求知欲，同時取得良好的教學效果。

2.通過圣維南原理的概念可以知道，集中力作用點會有應力集中問題，導致結構局部應力很大，對結構造成危害。所以，從結構受力有利的角度看，盡量將外力分散布置是較好的結構方案。此概念引申到學生的學習上，大部分學生采用平時不抓緊時間、馬馬虎虎，在考試前進行突擊的方式，對其掌握課程知識是不利的，這也是力學課程掛科率居高不下的原因之一。所以，科學的學習方式應該是平時上課就認真投入，課后及時復習，把疑問在課堂或當天課后解決。通過將圣維南原理與學生學習相聯系，培養學生樹立正確的學習態度，加深學生對課堂知識的理解。

3.圣維南原理在彈性力學求解中主要用于處理次要

邊界的邊界條件，使難以滿足的處理次要邊界的邊界條件得以近似滿足。由該思路引出科學研究的方法論——“抓大放小法”，即分清主次，抓住主要矛盾，搞好宏觀控 制，對次要矛盾進行微觀調節（刪繁就簡——抓大保證了問題的主要特征，放小使問題得到簡化）。告知學生，這個方法論在力學分析中有著廣泛的應用，如“材料力學”“彈性力學”的基本假設、薄板彎曲問題的自由邊界條件中的等效剪力以及平面應力問題和平面應變問題等的處理思路均包含“抓大放小法”，由此培養學生分析問題、解決問題的能力，從而達到授人以漁的教學目標。

參考文獻：

[1]徐芝倫.彈性力學[M].北京：高等教育出版社，2005：1.

[2]蔣紅雨.課程思政的教與學[J].黑龍江教育（理論與實踐），2020，74（6）：6.

編輯∕李夢迪

作者簡介：陳玉驥（1962—），男，海南文昌人，佛山科學技術學院土木工程系教授，博士，研究方向：彈塑性理論及應用。

基金項目：2020年廣東省教育廳研究生示范課程建設項目“彈塑性理論”（2020SFKC064）;2020年佛山科學技術學院

“課程思政”教改立項建設項目“結構力學”;2019年佛山科學技術學院研究生重點課程建設項目“彈塑性理論”