等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

邱香蘭 王小元 周麗英 肖可成

摘 要：一致收斂函數(shù)列是數(shù)學(xué)分析研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而其中的等度一致連續(xù)函數(shù)列更是眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。等度收斂函數(shù)列則是模仿等度一致連續(xù)函數(shù)列的定義而定義的。文章通過(guò)探究等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，得出函數(shù)列等度收斂的條件強(qiáng)于一致收斂的條件，找到能移植到等度收斂函數(shù)列中的一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)，并列出該性質(zhì)的證明過(guò)程，同時(shí)呈現(xiàn)等度收斂函數(shù)列在常微分方程中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 等度收斂函數(shù);數(shù)列;性質(zhì);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2022）02-0112-03

一、引言

數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科在其發(fā)展過(guò)程中經(jīng)歷了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，而每一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決過(guò)程都是數(shù)學(xué)研究進(jìn)步的過(guò)程，是數(shù)學(xué)獲得更大發(fā)展的過(guò)程。數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論。實(shí)數(shù)系最重要的特征是連續(xù)性，有了實(shí)數(shù)的連續(xù)性才能討論極限、連續(xù)、微分和積分。正是在討論函數(shù)的各種極限運(yùn)算的合法性的過(guò)程中，人們逐步建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系。隨著研究的逐步深入，人們正慢慢揭開數(shù)學(xué)分析神秘的面紗，其中，數(shù)學(xué)分析中的等度收斂是收斂與等度一致連續(xù)的結(jié)合，不僅具有一致收斂的性質(zhì)，還具有一致連續(xù)的性質(zhì)。作為一種全新的概念，等度收斂有很大探究空間，是眾多學(xué)者研究的課題。一致收斂以及一致連續(xù)也是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，等度連續(xù)雖然出現(xiàn)較少卻具有橋梁的連接作用。為探索它們之間的關(guān)系，徐麗從它們的定義出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的定理與技巧，找到相互推導(dǎo)需要用到的條件。由此，這幾個(gè)概念之間的關(guān)系變得清晰明了。之后，邢家省等人重新提出不受關(guān)注的奧斯古德定理，并進(jìn)一步論證這個(gè)定理具有的價(jià)值、意義。實(shí)際上，奧斯古德定理只是判斷一致收斂的一種方法，但它是從函數(shù)列的等度一致連續(xù)性出發(fā)得出來(lái)的，因此也可以說(shuō)奧斯古德定理是在探索等度一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系。目前，對(duì)等度一致連續(xù)的研究多數(shù)是在拓?fù)鋵W(xué)之中，而等度收斂是一個(gè)全新的概念，它包含等度一致連續(xù)與收斂的內(nèi)容，并推導(dǎo)出一致收斂、一致連續(xù)，而這也給學(xué)者提供了新的研究思路、新的研究方向。要說(shuō)明一致收斂，只要說(shuō)明等度收斂即可，要判斷一致連續(xù)，也只要說(shuō)明等度收斂即可，但是從后面的研究可以發(fā)現(xiàn)，等度收斂的條件很強(qiáng)，要判斷等度收斂并不是一件輕松的事。由此可見(jiàn)，等度收斂還有很大的探究空間。本文主要探究等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用。

二、等度收斂函數(shù)列概念的界定

目前，很多教材都沒(méi)有等度一致連續(xù)的定義，這里只能對(duì)等度一致連續(xù)這一概念進(jìn)行描述。若函數(shù)列

f（x）中每一個(gè)函數(shù)在數(shù)集D上都一致連續(xù)，則函數(shù)列

f（x） 在D上是等度一致連續(xù)。下面模仿等度一致連續(xù)函數(shù)列的定義來(lái)定義等度收斂函數(shù)列。若函數(shù)列

f（x） 收斂于f（x），且其中每一個(gè)函數(shù)fn（x）在數(shù)集D上都一致連續(xù)，則稱函數(shù)列

f（x）在D上為等度收斂函數(shù)列，記作：fn（x）→f（x）（n→∞），x∈D。等度收斂函數(shù)列用ε-δ 語(yǔ)言描述為： ?ε>0，?δ=δ（ε）>0，當(dāng)x1，x2∈D且x1-x2<δ時(shí)，?n有

f（x1）-

f（x2）<ε，并且f（x）=f（x）。

三、等度收斂函數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)1（一致收斂性）：若函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則

f（x）在[a， b]上一致收斂。

證明：因?yàn)楹瘮?shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），所以對(duì)?ε>0，?δ=δ（ε）>0，當(dāng)x1，x2∈[a， b]且x1-x2<δ時(shí)，?n有

f（x1）-

f（x2）<ε，并且f（x）=f（x）。即函數(shù)fn（x）在[a， b]上一致連續(xù)，又由收斂數(shù)列的保不等式性知，f（x1）-f（x2）≤ε，即f（x）在[a， b]上也一致連續(xù)。

每一x∈[a， b]，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)鄰域U（x， δ），所有這樣的鄰域U（x， δ）所形成的開區(qū)間集H自然覆蓋了閉區(qū)間[a， b]。于是由有限覆蓋定理可知，必存在有限多個(gè)這樣的鄰域U（x1， δ），U（x2， δ），…，U（xm， δ） 也覆蓋了閉區(qū)間[a， b]。令分割 Δ：a=x10，?Ni>0當(dāng)n>Ni時(shí)，有

f（xi）-

f（xi）<（i=1， 2，…， n），只要取N=maxN1， N2， N3， …Nm，當(dāng)n>N，?x∈[a， b]，?xi有x-xi<δ，從而

f（x）-f

（x）=

f（x）-

f（xi）+

f（xi）-

f（xi）+

f（xi）-f

（x）≤

f

（x）-

f（xi）+

f（xi）-f

（xi）+

f（xi）-f

（x）<++=ε，故

f（x）在[a， b]上一致收斂于f（x）。

性質(zhì)2（連續(xù)性）：設(shè)函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則f（x）在[a， b]上連續(xù)。由性質(zhì)1的證明過(guò)程知性質(zhì)2成立。

性質(zhì)3（可積性）：設(shè)函數(shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則f（x）在[a， b]上可積，且f（x）dx=f（x）dx。

證明：分兩步證明。（1）因?yàn)楹瘮?shù)列

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），則由上述性質(zhì)2知f（x）在[a， b]上連續(xù)。因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定可積，所以f（x）在[a， b]上可積。（2）要證明f（x）dx=f（x）dx，證明f（x）dx=f（x）dx即可。也就是要證明 ?ε>0，?N>0，當(dāng)n>N，?x∈[a， b]時(shí)有

f（x）dx-

f（x）dx=

fn（x）-f（x）dx<ε。由于

f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），根據(jù)性質(zhì)1知fn（x）一致收斂于f（x）， x∈[a， b]，即?ε>0，?N>0，當(dāng)n>N，?x∈[a， b]都有fn（x）-f（x）<。于是進(jìn)行放縮有

f（x）dx-

f（x）dx=

fn（x）-f（x）dx≤fn（x）-f（x）dx<·（b-a）=ε，綜合（1）（2）便可得證。

性質(zhì)4（可導(dǎo)性）：設(shè)函數(shù)列

f（x）在[a， b]上收斂于f（x）， fn'（x）在[a， b]上等度收斂于f'（x），則

f（x）在[a， b]上可導(dǎo)，且

f（x）=f（x），證明：因?yàn)楹瘮?shù)列

f'（x）在[a， b]上等度收斂于f'（x），所以根據(jù)性質(zhì)2知，函數(shù)列

f'（x）在[a， b]上連續(xù)，于是有f'（x）=f'（x）。∵f（x）-f（x0）=f'（t）dt ?fn（x）=fn（x0）+f'（t）dt，∴f（x）=f（x0）+f'（t）dt=f（x0）+f'（t）dt，∴

f（x）=

f'（t）dt=f'（x）=f'（x）= f（x），結(jié)論得證。

性質(zhì)5（一致連續(xù)性）：

f（x）在D上等度收斂于f（x），則fn（x）和f（x）在D上一致連續(xù)。

證明：由于fn（x）在D上等度一致連續(xù)，所以?ε>0，?δ=δ（ε）>0，當(dāng)x1，x2∈D且x1-x2<δ時(shí)，?nfn（x1）-fn（x2）<ε。很顯然，一方面，按照一致連續(xù)的定義，函數(shù)fn（x）在D上一致連續(xù);另一方面，因?yàn)閒（x）= f（x），所以只要讓n→∞，取極限就會(huì)有f（x1）-f（x2）<ε，即f（x）在D上也一致連續(xù)。

上述性質(zhì)2、3、4與一致收斂的函數(shù)列的相應(yīng)三個(gè)性質(zhì)比較，等度收斂的優(yōu)點(diǎn)特別突出，它不再需要一些附加條件，比如在證明一致收斂函數(shù)列的極限函數(shù)的可微性時(shí)，要增加函數(shù)列的每一項(xiàng)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的條件。這是因?yàn)榈榷仁諗亢瘮?shù)列不僅有一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，如一致連續(xù)性。

四、等度收斂函數(shù)列的應(yīng)用

等度收斂函數(shù)列應(yīng)用于許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域，本文主要研究其在常微分方程中的應(yīng)用。用Picard逐步逼近法得到函數(shù)列φn（x）如下：

φ0（x）=y0

φn（x）=y0+

f（ξ，φn-1（ξ））dξ， x0≤x≤x0+h（n=1， 2…）且有 φn（x）-y0≤b，證明函數(shù)列φn（x）是等度收斂的。

分析：已知“函數(shù)序列φn（x）在x0≤x≤x0+h上是一致收斂的”。那么，根據(jù)等度收斂函數(shù)列定義的界定，證明φn（x）在x0≤x≤x0+h上是等度一致連續(xù)的即可。

證明：由于φn（x）=y0+f（ξ，φn-1（ξ））dξ， 且有φn（x）-y0≤b，所以φn（x）在x0≤x≤x0+h上有界。設(shè)M=f（x，y）， ?ε>0，?δ=則對(duì)于任意的x1，x2∈U+（x0， h）且x1-x2<δ時(shí)有φn（x1）-φn（x2）=

f（x，φn-1（x））dx-

f（x，φn-1（x））dx=

f（x，φn-1（x））dx≤

f（x，φn-1（x））dx≤Mx1-x2<ε。所以φn（x）是等度一致連續(xù)的。又已知函數(shù)序列φn（x）在x0≤x≤x0+h上是一致收斂的，所以φn（x）是等度收斂的。已知，φn（x）是x0≤x≤x0+h上的連續(xù)解。下面用一致連續(xù)的定義證明φ（x）是一致連續(xù)的。證明：對(duì)于?ε>0，?δ=>0，當(dāng)x1，x2∈x-x0≤h且x1-x2<δ時(shí)，有φ（x1）-φ（x2）=y0+

f（ξ，φ（ξ））dξ-y0+

f（ξ，φ（ξ））dξ≤

f（x，φ（x））dx≤f（x，φ（x）dx≤Mx1-x2<ε，所以φ（x）是x0≤x≤x0+h上的一致連續(xù)解。

五、結(jié)語(yǔ)

等度收斂是一個(gè)新概念，但是其內(nèi)容對(duì)學(xué)生并不是完全陌生的，等度收斂是收斂與等度一致連續(xù)的升華。等度一致連續(xù)雖然在大學(xué)數(shù)學(xué)教材中并不常見(jiàn)，但是在實(shí)分析中的作用很大，收斂則是數(shù)學(xué)分析中的常見(jiàn)內(nèi)容，二者結(jié)合創(chuàng)造出“新”的數(shù)學(xué)知識(shí)，即一致收斂與一致連續(xù)。于是，等度收斂與一致收斂、一致連續(xù)之間便架起了橋梁，一致收斂的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)移到等度收斂中，而因?yàn)榈榷纫恢逻B續(xù)的存在又使得等度收斂增加了一致收斂的性質(zhì)。這樣，數(shù)學(xué)分析中的一致收斂、一致連續(xù)變得更加緊密。本文從等度收斂的定義入手，首先探究等度收斂與一致收斂的關(guān)系，然后根據(jù)關(guān)系推導(dǎo)出等度收斂的性質(zhì)及判斷技巧，最后將這個(gè)新的概念運(yùn)用于解題之中。由此得出結(jié)論，等度收斂函數(shù)列概念的提出非常有價(jià)值而且還有許多未知領(lǐng)域值得人們?nèi)ヌ剿鳌⑷パ芯俊?/p>

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Properties and Application of Equidegree

Convergent Function Sequence

Qiu Xianglan， Wang Xiaoyuan， Zhou Liying， Xiao Kecheng

（School of Engineering and Management， Pingxiang University， Pingxiang 337000， China）

Abstract： Uniformly convergent function sequence is the focus and difficulty of mathematical analysis， and the equidegree uniformly continuous function sequence is the focus of many scholars. The equidegree convergent function sequence is defined by imitating the definition of equidegree uniformly continuous function sequence. By exploring the properties and applications of equidegree convergence function sequence， this paper obtains that the condition of equidegree convergence of function sequence is stronger than that of uniform convergence， finds the property of uniform convergence function sequence that can be transplanted into equidegree convergence function sequence， lists the proof process of this property， and presents the application of equidegree convergence function sequence in ordinary differential equations.

Key words： equidegree convergence function; sequence; nature; application