邊界非線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)線性估計(jì)

彭?yè)P(yáng)林，劉洪英，董 睿，蔡紅華，趙亞雄，石 蒙

（中國(guó)航天員科研訓(xùn)練中心，北京 100094）

1 引言

機(jī)械結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用過(guò)程中，存在大量受隨機(jī)載荷作用的場(chǎng)合。所以在隨機(jī)載荷作用下，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度以及疲勞等問(wèn)題，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段都需要高度重視。目前，利用有限單元法分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，已成為結(jié)構(gòu)工程實(shí)踐中廣泛使用的一種數(shù)值計(jì)算解決方法。常見(jiàn)的商用數(shù)值計(jì)算軟件均可計(jì)算結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，其隨機(jī)振動(dòng)分析是一種基于概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的譜分析技術(shù)，但是這種譜分析運(yùn)算只能進(jìn)行線性系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算。

機(jī)械結(jié)構(gòu)中，含有各種非線性因素：材料非線性、幾何非線性以及邊界非線性等。自然界不存在絕對(duì)的線性系統(tǒng)，不同系統(tǒng)中，只是非線性特性強(qiáng)弱不同。非線性特性強(qiáng)時(shí)，多數(shù)情況下和線性模型的預(yù)測(cè)結(jié)果差異較大。

對(duì)于非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析已有較多的研究，主要集中在理論解法、近似解法和數(shù)值模擬解法三個(gè)方面，如FPK方程法、隨機(jī)平均法、等效線性化方法、蒙特卡羅(Monte-Carlo)模擬法、馬爾可夫(Markov)方法和攝動(dòng)法等。大多數(shù)的研究方法，或者以理論分析為主，或者難以適用于多自由度系統(tǒng)。相應(yīng)的算法，并未應(yīng)用于成熟的工業(yè)軟件中，在工程實(shí)踐中的應(yīng)用有限。

針對(duì)某航天組件結(jié)構(gòu)的邊界非線性，采用極限邊界條件進(jìn)行線性化數(shù)值模擬及估算，并進(jìn)行相應(yīng)的振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證，解決了設(shè)計(jì)過(guò)程中非線性隨機(jī)振動(dòng)的響應(yīng)估算問(wèn)題，保障了產(chǎn)品的研制進(jìn)度，有效地推進(jìn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)改進(jìn)過(guò)程。

2 產(chǎn)品結(jié)構(gòu)及問(wèn)題描述

本文所探討的結(jié)構(gòu)如圖1所示，該結(jié)構(gòu)包括腔體、組件A、組件及法蘭連接件。該組件右端和腔體通過(guò)法蘭連接，左側(cè)和腔體上的定位環(huán)為間隙配合，如圖1右下角的局部視圖，其余區(qū)域組件和腔體之間沿徑向存在間隙。

圖 1 結(jié)構(gòu)整體三維模型剖視圖

該組件的三維模型如圖2所示，產(chǎn)品研制初期，通過(guò)隨機(jī)振動(dòng)力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)考核后發(fā)現(xiàn)，圖2中關(guān)注的M2螺釘出現(xiàn)明顯彎曲。也就是原有的M2螺釘?shù)膹?qiáng)度不夠，隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)過(guò)程中，螺釘截面上受到的應(yīng)力較大程度上超過(guò)材料的屈服強(qiáng)度。為了解決這一問(wèn)題，提出將原有M2螺釘更換為M3螺釘?shù)姆桨福瑴p少其他零部件的改動(dòng)。

圖 2 組件三維模型圖

航天產(chǎn)品由于研制成本高、研制周期長(zhǎng)的特點(diǎn)，導(dǎo)致試驗(yàn)驗(yàn)證的機(jī)會(huì)較少。僅評(píng)估將原有M2螺釘更換為M3螺釘，也會(huì)導(dǎo)致圖2中桶2、連接法蘭以及內(nèi)部部分零部件的更改。為了加快驗(yàn)證周期、減少試制成本、降低改進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)，決定通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方式來(lái)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)下的強(qiáng)度評(píng)估。

3 分析建模

鎖緊螺母外圈和腔體定位環(huán)之間為間隙配合，間隙配合如圖1所示，單側(cè)設(shè)計(jì)間隙約為 0.035～0.080mm。由于間隙較小，在隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)作用下，鎖緊螺母和定位環(huán)之間在時(shí)間歷程上，可能會(huì)不斷出現(xiàn)接觸和分離的情況，這是一個(gè)強(qiáng)非線性過(guò)程，常見(jiàn)的基于頻域譜分析的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析難以模擬這種非線性的過(guò)程。這個(gè)非線性過(guò)程存在兩種極限邊界，極限邊界1是鎖緊螺母和定位環(huán)始終接觸，存在軸向和切向的自由度，當(dāng)振動(dòng)幅度較大時(shí)符合這種情況；極限邊界2是鎖緊螺母這一端完全處于自由狀態(tài)，定位環(huán)對(duì)其無(wú)約束，當(dāng)振動(dòng)幅度較小時(shí)符合這種情況。實(shí)際的振動(dòng)過(guò)程應(yīng)該介于這兩者之間。

（1）模型簡(jiǎn)化

為了兼顧計(jì)算效率、模型規(guī)模和計(jì)算準(zhǔn)確度，必須對(duì)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化。

有限元建模方式及主要簡(jiǎn)化內(nèi)容如下：

1）組件中非承力零部件刪除；

2）除關(guān)注的螺釘采用實(shí)體建模，其他的螺釘均采用線體建模；

3）組件內(nèi)部的薄壁零件采用殼單元進(jìn)行建模；

4）對(duì)于工藝上考慮的結(jié)構(gòu)倒角、圓角和微孔等局部細(xì)小特征進(jìn)行刪除處理；

5）對(duì)于零件刪除、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化引起的質(zhì)量差異采用分布質(zhì)量附加在模型上。

（2）網(wǎng)格劃分及邊界條件

網(wǎng)格劃分以四面體網(wǎng)格為主，形狀規(guī)則的零部件采用六面體網(wǎng)格劃分，面體采用四邊形網(wǎng)格劃分；對(duì)于不影響關(guān)注螺釘受力的零部件采用粗網(wǎng)格，關(guān)注螺釘附近區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理。網(wǎng)格劃分后的有限元模型如圖3所示。

圖 3 組件有限元模型圖

如前文描述，鎖緊螺母一端的邊界條件存在不確定性，所以對(duì)兩種極限的邊界條件均進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。極限邊界1：鎖緊螺母端受約束時(shí)，定位環(huán)外圈固定約束，定位環(huán)內(nèi)圈和鎖緊螺母之間沿徑向約束，保持軸向和切向的自由度，法蘭局部區(qū)域固定約束。極限邊界2：鎖緊螺母端處于自由狀態(tài)時(shí)，模型的邊界為法蘭局部區(qū)域固定約束。

4 計(jì)算結(jié)果及討論

該組件安裝位置處，三個(gè)方向上的隨機(jī)激勵(lì)功率譜密度曲線如圖4所示，對(duì)應(yīng)的均方根加速度值分別為10.2

g

、10.1

g

和12.2

g

。在進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)，分別以圖4中的曲線作為輸入激勵(lì)。

圖 4 隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算輸入激勵(lì)

為了能夠定量估算隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)下，產(chǎn)品的響應(yīng)及應(yīng)力水平，對(duì)關(guān)注螺釘使用M3和M2螺釘連接以及對(duì)兩種極限邊界情況下的四種工況進(jìn)行計(jì)算。

（1）M2螺釘計(jì)算

在如圖4所示的激勵(lì)條件下，M2螺釘連接時(shí)，關(guān)注螺釘截面上的3

σ

準(zhǔn)則平均等效應(yīng)力，M2螺釘截面的平均等效應(yīng)力見(jiàn)表1。

表 1 M2螺釘截面的平均等效應(yīng)力（單位：MPa）

?

由表1可知，兩種極限邊界條件下，

X

向和

Z

向的應(yīng)力值差異很大，這就是該邊界非線性不能用線性計(jì)算去代替的原因。極限邊界2條件下計(jì)算得到的鎖緊螺母上位移在三個(gè)方向上的最大值分別為：0.208 mm、0.001 mm和0.118 mm。

X

向和

Z

向位移值均大于鎖緊螺母和定位環(huán)設(shè)計(jì)公差0.08 mm，邊界的兩種極限狀態(tài)在振動(dòng)過(guò)程中均會(huì)發(fā)生。

（2）M3螺釘計(jì)算

在如圖4所示的激勵(lì)條件下，M3螺釘連接時(shí)，關(guān)注螺釘截面上的3

σ

準(zhǔn)則平均等效應(yīng)力，M3螺釘截面的平均等效應(yīng)力見(jiàn)表2。

表 2 M3螺釘截面的平均等效應(yīng)力（單位：MPa）

?

相比于M2螺釘連接狀態(tài)，M3螺釘連接時(shí)螺釘上的平均等效應(yīng)力有較大幅度的下降。

（3）等效應(yīng)力分析

螺釘材料的屈服強(qiáng)度為170 MPa，抗拉強(qiáng)度為485 MPa。M2螺釘在兩種極限邊界條件下，仿真計(jì)算得到的平均等效應(yīng)力的最大值分別為115.9 MPa和869.9 MPa。由于實(shí)際試驗(yàn)中，M2螺釘發(fā)生彎曲，但并未出現(xiàn)斷裂的裂紋，所以實(shí)際試驗(yàn)中，螺釘截面的平均等效應(yīng)力應(yīng)位于170～373 MPa（上文計(jì)算結(jié)果中，截面上的應(yīng)力范圍約為平均應(yīng)力的±30%，局部達(dá)到抗拉強(qiáng)度即有可能出現(xiàn)裂紋。根據(jù)平均應(yīng)力的范圍和抗拉強(qiáng)度的安全系數(shù)約為1.3，所以按照485 MPa除以1.3得到373 MPa）。所以，試驗(yàn)中的實(shí)際應(yīng)力值，位于兩種極限邊界條件下的仿真值之間。

由表2可知，M3螺釘兩種極限邊界計(jì)算得到的最大平均等效應(yīng)力為47.4 MPa和349.5 MPa。不同螺釘及邊界條件下的仿真計(jì)算應(yīng)力值和實(shí)際應(yīng)力之間的關(guān)系如圖5所示。可以近似認(rèn)為，隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程中M3螺釘截面上的實(shí)際平均等效應(yīng)力位于圖中

σ

和

σ

之間。根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以計(jì)算得到

σ

=69 MPa，

σ

=150.4 MPa，也就是M3螺釘截面上的平均等效應(yīng)力范圍為69～150.4 MPa。另外，3

σ

準(zhǔn)則的等效應(yīng)力評(píng)估本身偏保守，所以，根據(jù)等效應(yīng)力分析可知M3螺釘隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程中的應(yīng)力小于其屈服強(qiáng)度，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)的使用要求。

圖 5 不同螺釘及邊界的等效應(yīng)力關(guān)系

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，對(duì)改進(jìn)后的組件及腔體結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)。試驗(yàn)過(guò)程中組件安裝在腔體內(nèi)，通過(guò)專(zhuān)用試驗(yàn)夾具安裝于振動(dòng)臺(tái)的水平滑臺(tái)上，試驗(yàn)實(shí)施過(guò)程如圖6所示。

圖 6 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證

組件在進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)之后，對(duì)其所在系統(tǒng)的性能和結(jié)構(gòu)外觀進(jìn)行檢查。檢查結(jié)果顯示，系統(tǒng)性能運(yùn)行良好，組件和關(guān)注螺釘外觀完好未發(fā)生變形。充分驗(yàn)證了改進(jìn)設(shè)計(jì)方案的有效性，以及數(shù)值計(jì)算結(jié)果的有效性。

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法，使用線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析對(duì)非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行估算，達(dá)到了改進(jìn)方案驗(yàn)證的目的。得到如下結(jié)論：

1）有限元數(shù)值計(jì)算方法，可以有效地計(jì)算結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，加快設(shè)計(jì)效率，減少研制成本。

2）非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算成本高、應(yīng)用要求高，工程應(yīng)用中可以通過(guò)線性近似或估算的方法結(jié)合試驗(yàn)驗(yàn)證來(lái)進(jìn)行。

3）通過(guò)已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和邊界極限條件，可以對(duì)類(lèi)似改進(jìn)的工程應(yīng)用進(jìn)行有效的數(shù)值估算。本文的數(shù)值計(jì)算和振動(dòng)試驗(yàn)，充分驗(yàn)證了該計(jì)算方法用于改進(jìn)后結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)的有效性。