數學表征：兒童數學學習的銜接性隱喻
——以五下“圓”的大單元學習為例

潘香君

近年來，隱喻作為一種思維方式和認知現象在學校教學中受到廣泛關注。在教學中，筆者發現，由于數學自身抽象的特點，有些學生難以理解數學知識，對數學學習的理解往往停留在淺表層，不擅長對單項知識點進行系統化建構，不能熟練地遷移運用方法。隱喻可以將數學中的抽象化為具體，將未知化為已知，助推學生認識和表達復雜的數學問題，并通過發展學生的多元表征能力，讓他們在數學學習過程中建構體系化的知識，孕育數學思想，最終指向其思維的發展。

一、隱喻與數學表征的內涵解讀

在狹義層面，隱喻是比喻的一種類型；在廣義層面，隱喻是一種思維方式和認知現象，是人類認知和文化建構的基本方式。它是指利用熟悉的事物去構建對未知事物的理解，所以必然存在于教學實踐中。

數學表征是數學學科的關鍵能力，既可以反映兒童數學學習的過程，又能呈現兒童數學學習的結果。它是指兒童利用已有的經驗，借助熟悉的事物，去構建對未知事物理解的外顯方式。數學表征可分為內在表征與外在表征，我們研究較多的是外在表征。外在表征是指需要學生理解和掌握的數學知識點等學習對象的外在形式。這種外在形式可以通過動作、圖示、語言等方式外顯學生的認知過程以及理解程度。動作表征、圖式表征、語言表征等其實就是兒童在認知與理解等方面的隱喻方式。因此，可以將數學表征看作兒童數學學習的銜接性隱喻，它能在認知與思維之間架起一座橋梁，從而有助于兒童更好地建構認知與發展思維。

二、用好數學表征這個銜接性隱喻的策略

在數學教學中，教師要注重引導學生在學習中發展表征能力，用好這個銜接性隱喻。下面，筆者以蘇教版五下“圓”的大單元學習為例，談一談怎樣來引導學生建構深度表征，有效實現數學表征的銜接性隱喻的作用。

教學前，筆者嘗試進行大單元設計（如表1），給學生搭建多元表征的平臺，建構各種信息的聯合體，編織知識、方法的結構網絡，以期促進學生積累豐富的活動經驗，聯通內外表征，讓其思維過程看得見。

表1 “圓”的大單元設計

（一）在前學中形成結構化表征

所有的學習都是基于原有經驗的遷移。在學習“圓”這一單元之前，教師先組織學生回憶已認識的平面圖形，以三個問題激發他們回顧反思：在認識這些平面圖形的過程中，我們研究了它們的哪些特征？是怎樣開展研究的？如果繼續研究平面圖形“圓”，你會研究它的哪些特征？怎樣研究呢？請你用自己喜歡的方式整理相關內容。大部分學生借助思維導圖整理已學知識、方法，教師在圖示表征中解讀到了學生內在結構化、模型化、深層化的思考。

1.結構化：從點狀走向塊狀。

從學生的思維導圖中，教師看出他們已經能抓取每一課時的重點內容。于是，引導學生通過整理與交流，提煉研究平面圖形的基本點，即聚焦邊、角的特征開展研究，并探索平面圖形的周長與面積。學生在核心問題引領下展開思考，勾勒結構化的知識圖。

2.模型化：從經驗走向結構。

數學中的模型思想是建立在學生體會和真正理解數學的基礎上的，這在學生的思維導圖中可以看出來。學生在其中獲得了對平面圖形的研究經驗，從而推想在學習圓的知識時也可以研究這些內容：什么是圓？怎樣畫圓？圓的面積怎么算？由此及彼，學生的學習逐漸從經驗走向結構，主動創造豐富的學習過程。

（二）在合學中體驗多元化表征

1.動作表征：孕育概念理解。

動作表征是以實際動作再現知識經驗，用自己的身體來影響周圍世界的一種方式。在“你能想辦法畫出一個圓嗎？”這一活動中，有的學生借助透明膠帶、學具籃里的硬幣或圓片描畫圓，有的自制工具畫圓，更多學生選擇直接使用圓規畫圓。在經歷不同方法畫圓到學會用圓規畫圓的過程中，學生能夠初步感知圓是怎樣的圖形。學生雖然不能直接抽象定義圓，但能體會到定點就是圓心，定長就是半徑，圓是封閉的曲線，為其后續學習奠定了基礎。在畫圓過程中，學生還能發現圓的一些特征：有無數條半徑，而且同一個圓中的半徑都相等，圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小……深入理解了圓的特征。

2.圖形表征：探尋公式關聯。

（圖1）

（三）在創學中建立關聯性表征

在教學中，教師要注意啟發學生運用已經習得的經驗去開啟新的認知。練習中有這樣一道生活情境題：一塊草坪上的噴水裝置最遠射程是12米，這個噴水裝置最多能噴射多少平方米？此題中的噴水裝置就是現實生活中草坪、花圃的灌溉系統，學生結合圖片觀察能理解“射程”是圓的半徑，噴出水的范圍形成了圓的面積。教學時，教師不能就此戛然而止，而應該趁熱打鐵，出示變式題：如果讓你來改編這一題，你還會怎樣改編呢？靜靜思考后，學生思維的火花開始綻放，有學生提出：公園里音樂噴泉的最遠射程是10米，它最多能噴射多少平方米？降落傘的繩最長的是8米，它打開后的面積最大是多少？聚焦本質特征，關聯生活情境，助推學生深度學習，不僅應注重從知識到知識的延續，還應學會從生活中抽象出數學問題進行解決。

（四）在拓學中深化多重性表征

1.微主題探究：多元表征外顯發散思維。

學完“圓”后，教師鼓勵學生找找生活中的圓，如牛奶瓶口（底）的面、小區里的圓形花壇、紐扣的面等，并引導他們靈活運用數學知識解決生活中圓的實際問題。怎樣才能求出牛奶瓶蓋面的周長和面積呢？首先需要想辦法測量出它的半徑或直徑，借助兩把三角尺和直尺可以測量出直徑，然后可以通過計算分別求出周長和面積。學生思考后還總結出像這樣比較小的圓面可以用尺量法解決，比較大的圓還可以用不同的方法解決。

2.大主題深探：多元表征彰顯聚合思維。

為什么生活中許多物體的面要設計成圓形呢？學生利用各種資源開展“車輪為什么是圓的”主題探究。學生通過前期搜集資料、互動討論，聚焦“車輪為什么是圓的”這一核心主題，確定研究的小課題，設計富有挑戰性的任務。在研究過程中，有的小組動手制作各種形狀的車輪模型模擬運動，在對比中感受圓形車輪的優勢；有的小組到數學場館中，對方輪車進行測量、分析、比較，并形成文字報告。各小組通過不同的研究方式，借助動作表征、模型表征、文字表征等呈現研究過程與結果。最后，在集體交流時，小組間的多元評價促進了學生言語表征能力的發展。

綜上所述，在“圓”的大單元學習中，通過前學、合學、創學、拓學等多樣化的學習活動，借助多元表征，學生逐漸明晰了圓的概念本質，并能活用知識解決問題。當兒童的數學表征逐漸走向深度，對于數學內容的理解能夠進行多元化展示，表征這一隱喻架構起認知與思維的橋梁的作用也就很好地實現了。