有關幾何變換中考試題的命題實踐與思考

方圓

摘要：隨著我國社會經濟的快速發展，教育事業受到了人們的廣泛關注。而初中數學教學作為一門基礎學科更加受到了教育界的重視。初中數學中的幾何變換思想是提高學生空間想象能力的一種有效途徑。所以幾何變換思想在初中數學教學中占據著重要地位。下面將對初中數學幾何變換中考試題的命題實踐進行相關的探究。

關鍵詞：幾何變換;中考試題;命題實踐

中圖分類號：A?文獻標識碼：A?文章編號：（2021）-44-464

幾何變換作為初中數學新課程新增的教學內容，是“空間與圖形”領域的重要組成部分，在現實生活中有著廣泛的應用。幾何變換包括軸對稱變換、平移變換、旋轉變換、相似變換等。軸對稱變換、平移變換、旋轉變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小;相似變換改變圖形的大小，但不改變圖形的形狀。

幾何變換的學習有助于學生從“變換”的角度認識傳統的幾何圖形。軸對稱變換與等腰三角形相對應，平移變換與平行四邊形相對應，相似變換與相似形相對應，這些都是歐氏平面上常用的特性。幾何變換有著特殊的教育價值，特別是在發展學生的空間觀念，以及觀察、實驗、探索、合情推理等方面具有“過程性”教育價值。

幾何變換又是以運動的觀點研究圖形，通過幾何變換，不僅能生成、創造許多新

的幾何圖形，而且能衍生新的圖形性質。有關幾何變換的中考試題不僅能有效考查學生對圖形變換及動態變換過程中的規律的認識，而且能有效考查學生發現和探究問題的水平，還能有效考查學生的空間觀念、圖形的直覺判斷能力和邏輯推理能力。

下面筆者就以近年中考數學試題為例，談談編制有關幾何變換中考題的實踐與思考。

一、利用“新”的幾何變換來編制試題

這里的“新”的幾何變換指的是學生暫時還沒有學過的幾何變換，主要采用閱讀理解的題型，將“新”的幾何變換作為學生數學探究的載體，來研究在“新”的幾何變換下圖形的變化規律和性質。

例：如圖1，在平面上，給定了半徑為r的QO，對于任意點P，

在射線OP上取一點P’，使得OP·OP’=r2，這種把點P變為點P’，的變換叫做反演變換，點P與點P’，叫做互為反演點。

（1）如圖2，⊙O內外各一點A和B，它們的反演點分別為A’和B’

求證：∠A’=∠B。

（2）如果一個圖形上各點經過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這

兩個圖形叫做互為反演圖形。

①選擇：如果不經過點O的直線l與⊙O相交，那么它關于⊙O的反演圖形是（?）。

（A）一個圓（B）一條直線

（C）一條線段（D）兩條射線

②填空：如果直線z與QO相切，那么它關于QO的反演圖形是——，該圖形與0O的位置關系是——。

【說明】2001年，全國部分地區先期實施初中數學新課程改革，作為實施新課

程改革的“預熱”，筆者有意設計了這一道幾何變換題，意在改變以往各類考試中過分強調的“演繹推理”的考查，轉向對學生的觀察、操作、探索、合情推理等“過程性”考查。

本題以“反演變換”為載體，要求學生在閱讀理解的基礎上研究變換的規律。在“反演變換”下，圓內的點的反演點在圓外，圓上的點的反演點在圓上，圓外的點的反演點在圓內。由于直線與圓的交點的反演點是它本身，因此只要在該直線的圓內、圓外部分各取幾個點，畫出反演點，便可推測該直線的反演圖形是圓。又由于直線與圓的切點的反演點是它本身，所以只要在該直線上取幾個點，畫出反演點，便可推測該直線的反演圖形是與已知圓相內切的一個圓。

本題主要考查圓的有關知識、閱讀理解能力和合情推理能力。本題的得分率為

0.45，學生答題過程中的主要錯誤有：不理解“反演變換”的意義而無法求解;缺乏合情推理的基本方法而無法求解;表達錯誤——把兩圓“內切”說成“相切”或“外切”

二、利用特殊工具作圖來編制試題

作出一個圖形在幾何變換后的圖形，這是數學中考命題的常用方法，當然這些

作圖要利用幾何變換的特性，也要依靠邏輯推理使作圖步步有據。而利用特殊工具作圖命制幾何變換中考題不僅情境新穎、思維價值較高，而且能有效考查學生的作圖能力和創新意識。

三、利用定量研究變換后的圖形關系來編制試題

幾何不僅研究圖形，而且研究圖形的運動和變化，如果按照一個“規則”移動一個幾何圖形上的所有點，就能創造一個新的圖形，這就是幾何變換，并且原圖形上的點與新圖形上的點一一對應，根據這一特點，可以在中考試題中設計幾何變換題，讓學生定量研究這個“規則”。

四、利用幾何變換設計新圖形來編制試題

利用幾何變換設計圖案是一項十分有趣的活動，可以發揮學生的主動性和創造性，也可以使學生感受到圖形變換的樂趣和價值。由于學生已經學習了利用軸對稱變換、平移變換、旋轉變換設計圖案，因此構造一個新的幾何變換，要求學生理解新的幾何變換，并利用其設計圖案，無疑能增加試題的思維價值和考評價值。

五、利用幾何變換的組合來編制試題

將兩種幾何變換進行有序組合，可以生成新的幾何變換，于是，可以利用生成的幾何變換研究幾何圖形以及它們的性質。對學生而言，此類幾何變換有似曾相識的感覺，但此類幾何變換與原來的兩種變換有著本質的不同，也有更豐富的內涵。利用幾何變換的組合來構造試題無疑為中考數學命題開啟了一扇窗戶。

總之，開發和設計有關幾何變換類中考試題，不僅可以創設較多的新的試題情境，鼓勵學生創造性地解決問題，而且對保證中考數學命題的質量，引導初中數學教學具有重要意義。

參考文獻

[1]鄔佩芬.幾何變換在數學解題中的作用[J].寧波教育學院學報，2003（增刊）：73-74.