關于線性代數混合式課堂教學的探索

馬文雅　肖羽　吳星

摘? 要：線性代數是高校理、工、農、醫、經、管等學科的基礎必修課程，在信號處理、信息與通信技術、數據科學等領域都有許多重要應用，又是矩陣論、隨機矩陣以及數值計算等后續課程的基礎，搭建了相關高階課程必要的數學基礎和邏輯推理的橋梁。鑒于線性代數本身的重要性和教師在教學中面臨的相關問題，本文根據線性代數本身的特點和在學校實施的情況，對線性代數課程的混合式課堂教學問題進行了研究與探討。

關鍵詞：線性代數; 混合式;課堂教學

中圖分類號：G642.1? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2021）43-0055-03

線性代數內容涉及行列式、矩陣、向量及其線性相（無）關性、線性方程組、特征值與特征向量、相似對角化、二次型等較為典型和抽象的概念[1-3]，概念多、性質雜、知識點縱橫交錯，內容具有高度的抽象性和邏輯性等特點，滿堂的煩瑣推導與現實的時空限制導致該課程并不能很好地發揮課堂效果，故傳統教學面臨較大壓力。

新技術帶來了新的課堂教學模式，線上線下混合式教學能充分利用現代化教學平臺，更好地調動學生的積極性，克服傳統課堂教學中時空的限制，更符合時代特點。河南農業大學實施線性代數課程的混合式教學已有一年多時間，經過前期的建設準備，借鑒其他高校的先進做法，在落實線上線下混合式教學的過程中，進行了不斷的嘗試、思考和總結，結合實際學情特點和立德樹人的目標對學校線性代數課程的課程內容、模式和考核方式以及學習效果等進行了探索和反饋，更好地優化升級課程，本研究將就此進行相關探討。

一、傳統線性代數課程特點及內容優化方案

線性代數中包含了行列式、矩陣、線性方程組、N維向量（空間）、相似矩陣、二次型等內容，知識點龐雜。傳統課堂單純地講解各知識點和做練習，到了課程后段，學生的興趣消磨得厲害，有的甚至干脆放棄，這警示教師要著力改進教學方法，整合教學內容以適應新局面，重新引起學生學習的興趣。但在沒有全新的技術和平臺等手段之前，教師只能通過完善PPT的方式對教學方法改善，途徑比較單一，應更多地在優化教學內容方面下功夫。

通過對學生情況的前期調查發現，初學者通常不太習慣抽象思考，譬如在學習行列式等抽象概念時理解不到位，容易走彎路，影響到對后續的矩陣以及線性方程組解法的學習。其實這些知識點具有較高的實用價值，若能對此類問題有明確思考，比如讓學生根據數形結合原理對向量和行列式的三階形式相應的三維空間對象舉例，使學生對這部分內容首先有一個直觀的理解，他們可能更愿意繼續高維空間的深入學習;比如在物理背景下學習矩陣與應力的關系、張量矩陣與主應力、剪切應力等的對應;當然，矩陣表達更是在物流分配問題當中廣泛存在，這些作為教學和實際的結合點，對激發學生的學習興趣具有較好的作用，也是優化課程內容的重要方式，教師可以此為契機，對其背后重點知識闡述清楚，做到詳略得當。

僅僅這樣還遠遠不夠，教師還要把優化后的內容和高效的授課形式結合起來，以更好地發揮課程改革的效用，這就需要借助線上和線下混合式的教學模式。

二、混合式教學大致框架模式

混合式教學是以建構主義理論為基礎，強調以學生的學習為中心，在主動建構過程中讓學生完成知識與能力的習得，且以信息技術的運用為標志，將線上與線下學習融合的教學方式。

線性代數是河南及河南農業大學的精品課程，在國內爆發新冠肺炎疫情的初期，為應對突發教學情況河南農業大學較早開展了線上教學，并發展到目前的線上線下混合式教學，見圖1。學校從布置錄課任務準備腳本等開始，逐步按照相應模塊進行了校內資源的建設。

教師通過前期緊張準備并上線相關課程，依托校內SPOC線上資源為主線，以一些網絡課程譬如MOOC教學資源、公開課等相關教學資源為輔助，在課前統一發布預習的內容，并在微信群或QQ群中上傳經選擇的補充資料以及布置適當的任務，發現這些對提高課前準備和課上討論的效率都有很好的促進作用。一方面，學生可以通過在線學習，掌握課程中相對容易的內容，并對一些難點進行初步思考和歸結，哪里不懂還可以回放琢磨;另一方面，教師在課堂上可以更集中地解決重難點，通過輔助場景創設、進行小組討論、隨堂測試等方法，對有爭議的問題引導學生思考、深入探究其中奧妙。這一環節借由信息化手段的輔助，較大程度上調動了學生的積極性，促使學生更主動地參與到課堂活動中，真正成為學習的主體。當然，有了前期的鋪墊基礎，這個環節也留給教師更多時間引導課堂的討論去向，適時引導學生聚焦和反思，更好地體現教師的主導作用。

為了鞏固課堂學習效果，還需要進行必要的練習和拓展。通過QQ群作業、超星學習通、SPOC平臺或App等發布習題，根據實際學習情況設定提交時間，通過互評的方式促進學生間的討論交流，同時可以選擇碎片時間批改作業，后臺記錄也可納入最終成績的參考。此外，線上平臺能夠很大程度地將課后問題集中到討論區，課題組成員只要做好時間分配就能及時解答學生問題，保證討論區的互動交流，這對學生的進一步學習也是一種鼓勵和激發，能夠形成一種良性循環。

三、基于混合式教學的立體化資源升級

在繼續實踐線上線下混合式教學的過程中，除了想辦法激勵學生自主學習，把學習內容進行更好地掌握之外，學校還陸續在教材建設、數學素養和課程思政等方面打造了立體化的輔助和配套資源。

首先，形成與線上資源配套的自編教材和輔導書[4-5]，從內容和結構上更適應學情和學校特點。學校具體地把教材上每個知識點做成了微知識單元，附上相應的二維碼，學生可以通過掃描二維碼隨時隨地進行學習。學院接下來采購了Maple T.A.平臺，它擁有龐大的試題庫資源，并對題目劃分了層次，通過把題目中參數設置為隨機生成，學生看到的題目互不相同，有效杜絕了抄作業的問題，而且可以專門就同一題型反復練習。經過系統的自動批改，教師可在后臺查看學生的學習和答題情況，掌握學生參與測試的情況和學習中的薄弱環節，從而有針對性地對學生開展輔導和答疑，為過程化教學提供依據，大大減輕了教師批改作業的壓力，讓教師能夠有更多時間投入對學生的關注、提升教學科研水平上。

其次，通過提升教學科研水平，傳遞給學科最新的發展理念。學樣本著立足于應用案例滲透現代數學思想方法和工具的思路，在統計學和熱門的數據科學中，介紹矩陣的乘積、特征向量等相關內容在數據的相關性和數據降維方面的應用，從深度學習到寬度學習中相關工具、線性變換在強化學習中的重要作用，以及在實際問題中采用軟件計算解決大規模線性方程組問題的效用，這些都大大激發了學生的興趣，使其順著這個興趣鉆研下去，為學生后續的數學建模等各類競賽活動的開展有很好的促進和推動作用。

基于過程化學習原則，考核方面，學校采用“在線學習+作業情況+實踐+測驗+考試”的評價模式，并逐漸加強對平時學習，包括線上學習和線下參與課堂活動及實踐活動的比例，降低最后考試成績比重的綜合評價傾向，通過師生間的雙向反饋，漸漸營造學生把功夫用在平時、對問題進行主動探究的濃厚學習氛圍。

最后，課程后續還著重加入了思政元素，一方面從數學史中提煉出思政元素，培養學生數學核心素養;另一方面從實際生活經驗、社會熱點以及高科技的應用中提煉思政元素，增強學生的使命感和責任感[6]。課程本身并沒有局限于知識內容的講授，還包含教書育人、以德樹人的社會責任感和塑造學生正確價值觀的使命感，能夠培養具有歷史擔當、滿足社會發展需求的高素質型人才，這也使得課程變得更加飽滿。

四、結語

從實際效果來看，通過精選教材內容，選擇合適的場景案例，結合先進教學手段，線性代數混合式教學的效果明顯，學生對課程的評價比較高，整體學習興趣和成績也有明顯的提高。新模式能夠更好地促進理論知識的實際應用，在引入新理念與課程內容結合應用的基礎上，開放實驗室和軟件求解的操作等，提高了學生的知識轉化能力以及解決實際問題能力，提高了學生的創新思維和拓展能力，考核方式的轉變也促進了學生動手能力的提高，后期學生參與數學建模競賽的熱情顯著增加。社會熱點問題的討論、課程思政的開展有助于學生樹立正確的人生觀、價值觀和社會主義榮辱觀，提高學生的社會責任感和為社會主義現代化建設事業的奉獻精神。河南大學將繼續在已有教學資源的基礎上，更新和完善課程形式和內容，注重知識的延伸和拓展，優化線上線下過程評價和結果的測評方法，挖掘思政素材，不斷進行實踐探索，推廣采用線上線下混合式教學模式，幫助學生更好更快地成長、發展和成才。

參考文獻：

[1] 李尚志. 線性代數：數學專業[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[2] 同濟大學數學系. 線性代數：第6版[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[3] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right，2nd ed[M]. New York：Springer-Verlag，1997.

[4] 曹殿立，馬巧云. 線性代數：第2版[M]. 北京：中國農業出版社，2020.

[5] 曹殿立，張建林. 線性代數學習指導：第2版[M]. 北京：中國農業出版社，2020.

[6] 曹殿立，蘇克勤，曹潔. 融合思政教育的線性代數在線課程教材建設研究[J]. 科教文匯，2020（06）：49-50.

（責任編輯：汪旦旦）

基金項目：本文系2020年河南省首批本科高校課程思政樣板課程“線性代數”[項目編號：教高（2020）531-24];2017年度河南省高等教育教學改革與實踐項目“線性代數在線開放課程教材的研究與建設”[項目編號：教高（2017）1039-2017SJGLX244];2018年度中華農業科教基金教材建設研究項目“融合思政教育的線性代數在線開放課程教材建設研究”（項目編號：NKJ201802008）的研究成果。

作者簡介：馬文雅（1982—），女，博士，河南農業大學信息與管理科學學院副教授，研究方向：偏微分方程;肖羽（1982—），女，博士，河南農業大學信息與管理科學學院講師，研究方向：應用數學;吳星（1989—），女，博士，河南農業大學信息與管理科學學院講師，研究方向：偏微分方程。