二項式定理教學感想

林祖燦

【摘要】二項式定理是數學高考的一個考點，主要從數、圖兩個方面來考查二項式定理的變形與應用.二項式定理是代數式乘法的推廣，能利用組合性質證明二項式定理.用楊輝三角和組合的性質從數圖兩個方面認識二項展開式的特點，分析二項式的展開式各項系數的特點，能利用通項公式求二項式系數、展開式系數、常數項、有理項等.

【關鍵詞】代數乘法;組合思想;通項公式;規律總結

二項式定理是數學高考常考的考點，主要從數、圖兩個方面來考查二項式定理的正用與逆用.二項式定理是代數式乘法的推廣，能利用組合性質推導二項式定理.學生通過合作交流，自主探究二項式定理的形成過程，可以培養學生觀察、分析、比較、總結的能力，以及轉化與化歸的數學思想，領會從特殊到一般、一般到特殊的數學方法，領會數學語言表達的規范化.用楊輝三角和組合性質從數圖兩個方面分析二項式定理的展開過程，分析二項式的展開式各項系數的特點，能利用通項公式求二項式系數、展開式系數、常數項、有理項等.

在課堂教學中，教師引導學生探究數學史中牛頓在二項式定理“數”方面的發現，以及楊輝在《九章算法》中“形”方面的貢獻，分析規律，歸納猜想，讓學生由圖到數，數形結合，觀察、分析、比較、總結楊輝三角及展開式的結構特點，認識二項式定理;同時引導學生利用組合性質，借助楊輝三角的“圖”特征，總結歸納項的數字系數，字母系數，單項式的個數，字母a，b次數的變化特點，為推導（a+b）n的展開式提供了方法，使學生在后續學習過程中有“法”可依.通過（a+b）3，（a+b）4展開式的探究方法，學生類比得到（a+b）n的展開式.二項式定理的證明采用“說理”的方式，從計數原理的角度對展開過程分析，概括出二項式的展開式的特點，利用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的展開式.其中，二項式定理的常用結論有：

下面就二項式定理在數學高考試題中常考的題型的變式訓練加以舉例說明.

一、利用通項公式求展開式中指定項或特定項

利用通項公式來求二項式系數、展開式系數、常數項、有理項等，此類題的解題步驟：①寫出通項公式;②令未知數的次數等于指定的次數，求出r的值;③帶入通項公式中，即可求出指定項或特定項.

二、利用賦值法求有關系數的和

利用二項式展開式中各項系數的規律，求有關系數的和.此類題的解題步驟：①寫出已知二項式的展開式;②一般令未知數值等于1，0，-1;③通過加減運算，即可求出有關系數的和.

三、利用二項式定理證明整除問題和證明有關不等式問題

二項式定理在高考試題中還考查與其他知識點的綜合運用，通常利用二項式定理證明整除問題和證明有關不等式問題，以及求近似值的問題.此類題的解題步驟：①利用二項式展開式的通項公式;②根據二項式展開式中各項系數的規律;③結合證明的問題，進行推理論證和運算求解.

總之，二項式定理是數學高考中常考的一個考點，本文就二項式定理在數學高考試題中常考的題型加以改編并舉例說明.此外，與二項式定理有關的題型還有二項式系數、展開式系數、展開式中的項最值問題、二項式定理的正用與逆用等，與二項式定理有關的題型不勝枚舉，本文就不一一列舉了.在課堂教學中，教師需要不斷地探索課程改革與教學改革，推陳出新，不斷發現新問題、新思路、新方法，從而不斷完善自我.

【參考文獻】

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