隨機游走定義的概念錯誤及糾正

高宏

【摘要】本文分析了隨機游走定義將單個質點的位移與時間之間的數量關系假設為隨機變量的基本概念錯誤，以及用刻畫大量重復試驗中隨機事件發生可能性的概率來度量隨機游走每一步向右或向左可能性的研究方法錯誤.隨機游走定義中的概念錯誤會導致隨機游走研究對象發生錯位，使研究對象從一個質點改變為大量質點，從而會得出與事實不符的結論.本文基于白噪聲序列的基本概念，重新定義了隨機游走，并分別推導出隨機游走樣本軌道性質和隨機變量性質.

【關鍵詞】隨機游走;樣本軌道;隨機變量

一、引言

隨機游走（Random Walk）是隨機過程學科中用于描述動態隨機現象的一種基本隨機過程，其他重要的隨機過程都可由它構造出來.隨機游走不僅在隨機過程理論中占有相當重要的地位，而且是自然科學、工程技術和社會科學研究動態隨機現象的重要數學工具.液體中懸浮微粒的布朗運動、光纖陀螺中的隨機游走誤差和股票市場中的價格波動等隨機現象均可用隨機游走過程進行描述.

本文分析了隨機過程教科書在定義隨機游走時，將一個質點的位移與時間之間的數量關系假設為隨機變量的基本概念錯誤，以及用刻畫大量重復試驗中隨機事件發生可能性的概率來度量隨機游走每一步向右或向左可能性的研究方法錯誤.隨機游走定義的概念錯誤無形中會導致研究對象從一個質點改變為質點集合，只能用描述大量質點空間位置分布的統計特性來刻畫一個質點的運動規律，從而會得出一系列與事實不符的結論.本文基于白噪聲序列的基本概念重新定義了隨機游走，并分別推導出隨機游走過程的樣本軌道性質和隨機變量性質，可為自然科學、工程技術和社會科學提供正確的理論、方法及工具.

二、隨機游走定義錯誤分析

隨機游走有兩種形式的定義：一是對質點每一步的位移概率進行定義，二是將每一步的位移定義為獨立同分布隨機變量.

1.基于概率的定義

則稱x（n）為從原點出發的一維簡單隨機游動[1-4].

隨機現象在個別試驗中的觀察結果是隨機的，呈現出不確定性，但是在大量重復試驗中其結果又具有某種固有的統計規律.例如，如果只拋擲一次硬幣，其結果完全隨機，無法預測;但是隨著拋硬幣次數的增多，硬幣正反面出現的頻率會逐漸穩定于數值0.5附近，則稱數值0.5為硬幣正反面出現的概率.

因此，概率是在隨機試驗次數n充分大時，用來刻畫隨機事件發生可能性大小的一個數量指標.概率p和q是指隨機游走的步數n充分大時，質點向右移動的步數和向左移動的步數與總步數n之比.

概率不能用來描述當n=1時的隨機事件發生的可能性.對于n=1時的拋硬幣試驗，硬幣正面出現的頻率不是為1，就是為0，根本不存在頻率的穩定值.定義1的錯誤在于將概率用于度量當n=1時的隨機事件發生可能性大小，意味著如果只拋擲一次硬幣，會同時出現正、反面向上的錯誤結果.

二、基于隨機變量的定義

隨機試驗中的一次“測量結果”與隨機過程中的一個樣本函數x（t）相對應，樣本函數x（t）描述了人們實際觀察到的隨機現象隨時間演變過程，因此x（t）也被稱為隨機過程的一個“實現”.

圖2為隨機過程X（ω，t）、隨機變量X（t）和樣本函數x（t）三者之間的關系示意圖.

從圖2可以看出，隨機變量X（t）和樣本函數x（t）描述的是完全不同的物理現象.隨機變量X（t）用來描述質點集合在某一時刻的位置分布，樣本函數x（t）則用來描述一個質點的位移隨時間變化過程.

定義2用隨機變量X（t）來描述一個質點在t時刻的位移，無形中將研究對象從一個質點改變為大量質點，勢必會用隨機變量X（t）的統計特性來刻畫一個質點的隨機游走運動規律，得出與事實不符的錯誤結論.

3.質點位移與時間之間的數量關系

觀察圖1中質點位移x（t）隨時間t的變化過程，無論質點做確定性運動還是隨機性運動，在每一個確定的時刻，都有唯一一個確定的質點位置與時間“一一對應”，因此質點位移x（t）與時間t之間的數量關系為函數關系.

從物理學角度看，質點位移x（t）無疑是時間t的函數.從隨機過程的角度看，質點位移是固定ω時的隨機過程X（ω，t），即隨機過程X（ω，t）中的一條樣本軌道x（t），而非隨機變量X（t）.

但是，定義1和定義2均將質點位移與時間之間的數量關系假設為隨機變量，使研究對象從一個質點改變為質點集合，無形中導致樣本軌道研究對象錯誤，由此必然會推導出一系列與事實不符的錯誤結論.

三、隨機游走樣本軌道性質

為區別隨機游走過程中的隨機變量和樣本軌道，隨機變量用大寫的X（t）表示，樣本軌道用小寫的x（t）表示.

由于白噪聲序列的自相關函數為“單位沖擊序列”，其功率譜密度為“常數”，在數學上具有處理簡單、計算方便等突出優點，因此白噪聲序列是一個理想化的數學模型，在隨機現象的理論研究中具有相當重要的地位.

基于白噪聲序列的基本概念，可給出隨機游走樣本函數的定義：

表明一維簡單隨機游走質點的位移等于其平均速度與時間的乘積，即隨機游走的位移與步數n成正比.

3.頻域性質

隨機過程樣本函數在時域無法用確定性的數學解析式來描述，但是在頻域可用確定性的數學解析式表示.例如，式（11）的功率譜密度函數就是隨機游走樣本軌道一階差分在頻域的解析表達式.

任何復雜的運動均由眾多頻率不同的簡諧運動疊加而成.研究隨機游走的頻域特性，能夠發現隱藏在隨機游走現象下的確定性運動，從而能揭示出在時域看不到的確定性特征及規律.

從信號與系統的角度來看，隨機游走x（n）是白噪聲序列w（n）通過如圖4所示的系統后所產生的輸出響應.

由于系統輸入w（n）的功率譜密度為常數，因此系統輸出x（n）的功率譜密度就完全取決于系統的傳遞函數特性，可把對隨機現象統計規律的研究轉變為對確定性系統特性的研究.

從式（16）的累加器幅頻特性可以看出，累加器具有低通濾波特性，導致Δx（n）通過累加器后，原時間序列中的低頻諧波分量得到增強，高頻諧波分量大幅衰減，因此系統輸出x（n）是信號能量集中在低頻段的紅噪聲序列.

此外，累加器具有記憶性，表明當前時刻的系統輸出x（n）不僅與當前時刻的系統輸入w（n）有關，而且與之前所有時刻的系統輸入w（n）有關.因此，隨機游走的質點位移x（n）具有很強的“相關性”或“記憶性”.

四、隨機游走隨機變量性質

1.增量數字特征

2.隨機變量數字特征

由式（15）隨機游走樣本軌道位移x（n），可直接寫出隨機變量模型：

即X（n）服從參數為（0，n）的正態分布，與大量布朗粒子的空間位置分布規律相同，表明大量質點的隨機游走是一種與布朗運動類似的擴散現象;當n充分大時，X（n）將變為一族從原點發出的射線.

所有樣本軌道x（n）在第n步時的位置就是隨機變量X（n） 在第n步時的狀態，因此所有樣本軌道x（n）在第n步時的位置服從均值為0和方差為n的正態分布.圖6所示為8個質點的隨機游走樣本軌道，質點隨步數n的增加而遠離原點.

圖6?隨機游走樣本軌道

五、隨機游走問題重新求解

1905年，英國數學家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）在《自然》雜志上公開求解隨機游走（Random Walk）問題：如果一個酒鬼醉得非常嚴重，完全喪失方向感，走路時每步的方向完全隨機.問經過一段時間以后，在哪里找到他的可能性最大.

1921年，匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya）在研究了隨機游走問題后，假設隨機游走每一步的概率p=q=0.5，證明了P[X（n）=0，i.o.]=1，即一維簡單隨機游走的質點返回原點的概率為 1.日本數學家角谷靜夫通俗地將其表述為：喝醉的酒鬼最終會找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）.

根據式（13）的隨機游走位移公式，從原點出發的一維簡單隨機游走質點相對原點的位移x（n）與步數n成正比，表明隨著步數n的增加，喝醉的酒鬼會逐漸遠離原點.

六、結論

本文指出了隨機游走定義中的兩個基本概念錯誤：①將質點位移與時間之間的數量關系抽象為隨機變量的基本概念錯誤;②用刻畫大量重復試驗中隨機事件發生可能性的概率來度量隨機游走每一步向右或向左可能性的研究方法錯誤.隨機游走定義中的兩個基本概念錯誤無形中導致隨機游走樣本軌道研究對象發生錯位，使研究對象從一個質點改變為質點集合，只能用刻畫隨機變量的空間統計特性來描述一個質點的時間運動規律，從而會得出一系列與事實不符的結論.本文基于白噪聲序列的基本概念，重新定義了隨機游走，分別推導出單個隨機游走質點的運動規律和大量隨機游走質點的統計特性，可全面、系統地闡明隨機游走過程的現象、特征及規律;同時證明了在微觀上表現出很強隨機性的隨機游走，在宏觀上具有總體的確定性和穩定性.

【參考文獻】

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