探索小學(xué)數(shù)學(xué)方程教學(xué)中建立數(shù)學(xué)模型的策略

方玉紅

新課程注重讓學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、得到結(jié)果、解決問題的過程。利用方程這種基本的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出模型的結(jié)果并討論結(jié)果的意義。“稍復(fù)雜的方程”一課中，設(shè)計時就力求體現(xiàn)：培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識，經(jīng)歷列方程解決問題的過程，培養(yǎng)模型思想。

然而，對于小學(xué)五年級學(xué)生來說，要在自主活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上來建模，學(xué)生的直觀經(jīng)驗、思維品質(zhì)、知識整合會在很大程度上制約模型建立的過程和理解。因此，在“稍復(fù)雜的方程”教學(xué)中，教師更加注重數(shù)學(xué)知識在生活經(jīng)驗中的生長點，更加關(guān)注學(xué)生思辨力在建模中的積極作用，讓方程思想與解題模型如行云流水般，自然地滲透于教學(xué)過程。對數(shù)學(xué)模型的建立過程，于此課中做了大膽成功的實踐。

一、課前學(xué)情分析，找準知識的生長點

數(shù)學(xué)建模的基本步驟是：觀察實際情境—發(fā)現(xiàn)提出問題—抽象成數(shù)學(xué)模型—得到數(shù)學(xué)結(jié)果—檢驗（是否合乎實際）—可用結(jié)果。情境的引入能不能激發(fā)學(xué)生的思考、能不能調(diào)動學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、能不能與后續(xù)學(xué)習(xí)建立有邏輯內(nèi)涵的聯(lián)系，對順利建模有著開局的影響力。于是，教師在設(shè)計“稍復(fù)雜的方程”一課時，細致分析了學(xué)情：在學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的方程（一）前，學(xué)生已認識字母表示數(shù)的意義和作用，并初步了解方程的意義和等式的基本性質(zhì)，并能運用它解簡易方程。這一課時是對前面知識的提高深化，它擔(dān)負著教學(xué)列方程和解方程的雙重任務(wù)，是本單元的學(xué)習(xí)重點，也是難點。學(xué)會用方程解決問題，能夠讓學(xué)生在解決問題的時候擺脫算術(shù)思維方法中的某些局限性，尤其是逆向思維的解決問題。

教師在引入課程內(nèi)容時，沒有用書上原有的足球的情境，而是另辟蹊徑：引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)量間的關(guān)系。1.有一個密碼箱，當(dāng)輸入26時，顯示56，讓學(xué)生猜測是通過怎么樣的運算得到的。學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生匯報時可能會出現(xiàn)以下情況：26+30=56，26×2+4=56或26×3-22=56……2.若把56看作我國民族個數(shù)、26看作云南民族個數(shù)，學(xué)生嘗試以26×2+4=56為例描述我國民族個數(shù)和云南民族個數(shù)的關(guān)系：云南民族個數(shù)×2+4=我國民族個數(shù)，即我國民族個數(shù)比云南的2倍多4個。

這樣的情境引入，從生活實際中抽象概括了事物間蘊含的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的價值、數(shù)學(xué)的美。也為整堂課營造最炫民族風(fēng)這樣的知識背景打開了序幕。

二、放飛思辨的翅膀，探索知識的關(guān)鍵點

預(yù)設(shè)與生成是課堂教學(xué)的兩翼。沒有預(yù)設(shè)的課堂是不負責(zé)的課堂，沒有生成的課堂是不精彩的課堂。數(shù)學(xué)建模是學(xué)生將數(shù)學(xué)知識內(nèi)化生成加工的過程，思維品質(zhì)決定著模型形成的實效性，思辨能力決定著模型應(yīng)用的邏輯性。因此，在探索路上，學(xué)生的思辨能力將深遠地影響著知識的發(fā)展與應(yīng)用。于是，教師設(shè)計了這樣的思辨過程：初步感知方程思想，體會列方程解決問題的優(yōu)越性。1.根據(jù)以上數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生隱藏某個已知條件編成解決問題的題目。學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生匯報時可能會出現(xiàn)以下情況：（1）云南有26個民族，我國民族個數(shù)比云南的2倍多4個，我國有多少個民族？（2）我國有56個民族，比云南的2倍多4個，云南有多少個民族？2.對應(yīng)兩道題把學(xué)生編為兩組分別列式，要求只列式不計算，完成即刻舉手示意。學(xué)情預(yù)設(shè)：由于思考方向的不同，列式中解決第（1）題的學(xué)生速度和正確率明顯優(yōu)于解決第（2）題的學(xué)生。教師借勢判斷一組的同學(xué)要比二組聰明，引起兩組學(xué)生的爭議。教師要求兩組學(xué)生交換題列式并思考一組同學(xué)優(yōu)于二組的原因，引導(dǎo)學(xué)生感受第（1）題順向容易思考，第（2）題反推較難思考。3.引導(dǎo)學(xué)生想到以第（1）題（順向思考）的思考方法列出含有未知數(shù)的等式，列方程解決。

設(shè)計意圖：第（2）題若用算術(shù)方法解，需要逆向思考，思維難度較大，學(xué)生容易出現(xiàn)先除后減的錯誤。讓學(xué)生通過編題、小組比賽列式等活動，引起認知沖突：若能用方程解，思路比較順。從而感知方程思想，體會列方程解決問題的優(yōu)越性。

三、蹊徑探幽，呈現(xiàn)知識的發(fā)展點

1.建立數(shù)量間的相等關(guān)系，列方程

（1）小組合作，提供以下卡片

我國民族個數(shù) 云南民族個數(shù)的兩倍 4 =

以4人小組為單位，將卡片置于等號兩端，使數(shù)量間能保持相等的關(guān)系，從而建立“我國民族個數(shù)”和“云南民族個數(shù)”間的相等關(guān)系。

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生匯報時可能會出現(xiàn)以下情況：

云南民族個數(shù)×2+4=我國民族個數(shù)，我國民族個數(shù)-云南民族個數(shù)×2=4，云南民族個數(shù)×2=我國民族個數(shù)-4。

（2）根據(jù)生成的等量關(guān)系，列出方程

在列方程前，應(yīng)先寫“解：設(shè)”以交代未知數(shù)代表的數(shù)量。

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生匯報時可能會出現(xiàn)以下情況：

2x+4=56，56-2x=4，2x=56-4……

選擇形如ax±b=c的方程，引出課題：稍復(fù)雜的方程。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的集體討論并展示研究結(jié)果，讓學(xué)生講述自己的思路，教師給予適當(dāng)?shù)脑u價、補充，肯定學(xué)生的研究成果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、口語表達能力和解決問題的能力。

2.解方程

（1）以方程“2x+4=56”為例嘗試解方程。

教師提供三種方案供學(xué)生選擇：①教師示范解這個方程;②自學(xué)教材第65頁內(nèi)容，獨立嘗試解方程;③不看教材，獨立想辦法解決。

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生解方程時可能會出現(xiàn)以下情況：

①自學(xué)教材第65頁內(nèi)容，嘗試解方程：

2x+4=56，2x+4-4=56-4，2x=52，2x÷2=52÷2，x=26。

②不看教材，自己想辦法解決，可能與上述一致，也可能用其他方法解方程。

（2）學(xué)生匯報交流，無論以何種方法解方程都給予肯定

師：通過閱讀教材，你要提示其他同學(xué)應(yīng)注意些什么？

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生匯報時可能會出現(xiàn)以下情況：

①先把2x看成一個整體。②要記住驗算。③書寫格式等。

（3）驗算并寫出答案。

3.小結(jié)列方程解決問題的步驟

（1）弄清題意，找出數(shù)量之間的相等關(guān)系，列方程。

（2）解方程。

（3）檢驗，寫出答案。

4.溝通三個相等關(guān)系的聯(lián)系

學(xué)生思考三個相等關(guān)系之間有什么聯(lián)系？

以“云南民族個數(shù)×2+4=我國民族個數(shù)”為例，溝通它與“我國民族個數(shù)-云南民族個數(shù)×2=4”和“云南民族個數(shù)×2=我國民族個數(shù)-4”之間的聯(lián)系。

四、培養(yǎng)模型思想，尋找知識的轉(zhuǎn)化點

數(shù)學(xué)模型的建立，與培養(yǎng)學(xué)生模型思想是同步的。建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而且它也是實現(xiàn)上述目的的基本途徑。在教學(xué)實踐中，培養(yǎng)模型思想，就要找到知識的轉(zhuǎn)化點。例如，在本節(jié)課中，教師有如下設(shè)計：記者從云南省第六次全國人口普查新聞發(fā)布會上獲悉，云南省普查實際登記人口中，漢族約有3063萬人。有6個少數(shù)民族人口過百萬，由多到少排列依次是彝族、哈尼族、白族、傣族、壯族和苗族。據(jù)了解，人口最少的是獨龍族，其次是水族和滿族，水族約有7000人，比獨龍族的2倍少4000人，獨龍族有多少人？學(xué)生根據(jù)作業(yè)單上的信息，選定一個問題列方程解答。通過聽老師讀信息，學(xué)生從聽到的眾多信息中篩選出另一條解題需要的信息。

教師讀信息：學(xué)校民族歌舞團中，回族有10人。回族人數(shù)是彝族的2倍少2人;回族人數(shù)是白族的2倍，回族人數(shù)是傣族的3倍少2人;回族人數(shù)是佤族的3倍多1人。

拓展：播放視屏《舌尖上的中國（1）》片段，介紹云南香格里拉的松茸，通過數(shù)量間的關(guān)系，溝通一支松茸在原產(chǎn)地、東京和高檔餐館的不同價格，留給學(xué)生尋找答案的空間。

這樣在明確建立和求解模型的過程中，學(xué)生學(xué)會從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋討論它在現(xiàn)實問題中的意義。學(xué)生在循序漸進的學(xué)習(xí)中感悟模型思想，這樣的建模方式，其基本特點可以用源于生活而高于生活來概括。這種高于體現(xiàn)在對生活事理的簡約、提煉、概括和數(shù)學(xué)化的表達上。

總之，數(shù)學(xué)模型的建立，模型思想的教學(xué)，不是能像具體知識點那樣可以單獨作為一個數(shù)學(xué)內(nèi)容來進行專門教學(xué)的，而是融入具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟體會形成的。并且模型思想的建立，需要經(jīng)歷一個比較復(fù)雜的過程，需要教師長時間的滲透與培養(yǎng)。借用屈原的一句話來表達我們的體會，那就是“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”。