基于高斯過程回歸的三軸磁傳感器校正方法研究

唐小瑜楊 麗?徐超群肖書婷王 斌

(1.西南民族大學電子信息學院，四川 成都610093；2.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京100094)

三軸磁強計在磁目標測量和定位領域應用廣泛，如醫(yī)學上用于定位內(nèi)窺鏡膠囊[1]、軍事上用于探測未爆彈[2－4]、地質(zhì)上用于礦產(chǎn)資源的勘探[5]。然而其測量精度受到兩方面的影響，一方面是除目標物體之外其他鐵磁性物體的磁干擾，另一方面是磁傳感器自身由于制作工藝水平的限制，不可避免的受到各種誤差源的干擾；如非正交誤差、零漂誤差和刻度因子誤差等[6－9]，這些誤差被稱為轉(zhuǎn)向差[10]，轉(zhuǎn)向差使得磁傳感器測量值和實際磁場值之間存在一定的偏差，導致探測精度降低，定位達不到工程要求，因此使用前需要進行校正。

校準技術(shù)早期是利用羅盤擺動原理進行標定，使用線性最小二乘法計算誤差參數(shù)，但是需要額外的外部航向信息[11]。隨后Foster和Elkaim提出非線性兩步估計校正算法的擴展用于磁力計的校正，第一步將軟磁硬磁誤差源與其他誤差源一體化，第二步解決運算過程中的中間變量與誤差源之間的代數(shù)關系，其算法適用于任何兩軸或三軸傳感器且不需要姿態(tài)角度信息[12]。J M G Merayo等人[13]在傳感器內(nèi)部建立正交坐標系，使用線性最小二乘估計，獨立又唯一地找到非正交角度、刻度因子和零偏在內(nèi)的9個誤差參數(shù)，這種方法已成功用于磁測繪衛(wèi)星上磁力計飛行前的校準。Yu Huang等人[14]提出新的“兩步”估計算法用于校正磁梯度儀，第一步基于功能鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(FLANN)，分別校正磁梯度計中的單個磁傳感器誤差，第二步對于磁傳感器之間的非對準誤差使用最小二乘法解決。他們還將單個三軸磁力計(TAM)誤差和TAM之間的誤差進行一體化建模，使用功能鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(FLANN)實時校正磁梯度計[15]。除此之外一些算法如LM算法[16]、橢球擬合法[17]、支持向量回歸[18]包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡[19]已經(jīng)被引入三軸磁通門傳感器自適應標定。以上方法要求在采集實驗數(shù)據(jù)時地磁場保持相對穩(wěn)定，然而在現(xiàn)場探測時(非實驗室測試環(huán)境)，背景場為地磁場和未知磁體產(chǎn)生的磁異常場的疊加，它是空間不均勻的磁場，針對此種情況，Yaxin Mu等人[20]提出一種新的基于旋轉(zhuǎn)張量不變量的磁強計現(xiàn)場校正方法。

上述校正方法在進行數(shù)學建模時沒有考慮到影響磁傳感器測量精度的非線性誤差，并且在線性運算過程中忽略高階小量導致參數(shù)估算不準確等問題，本文提出基于高斯過程回歸(GPR)的三軸磁通門傳感器校正方法，利用貝葉斯非參數(shù)原理，在文中擬合傳感器磁測數(shù)據(jù)與真實地磁場數(shù)據(jù)之間的非線性關系，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了三軸磁通門傳感器校準模型，對三軸磁傳感器在誤差源干擾下總場測量值輸出不同的情況進行校準，隨后利用仿真計算和實驗，驗證了本文方法的可行性和有效性，最后研究了四種常見核函數(shù)對本文所提方法性能的影響，驗證了算法的可靠性。

1 高斯過程回歸模型

在觀測數(shù)據(jù)樣本中，{(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)}，xi∈Rq，yi∈R，n表示樣本數(shù)目，yi是輸入變量xi經(jīng)過函數(shù)映射得到的目標輸出值，有無數(shù)函數(shù)可擬合該樣本數(shù)據(jù)，同時這些函數(shù)都獨立存在，服從高斯分布，函數(shù)的確定過程就是一個高斯過程。高斯過程GP可表示為f(x)~GP(m(x)，k(x，x′))，將觀測數(shù)據(jù)樣本分為訓練集，訓練高斯過程回歸模型，測試集n，預測測試集樣本點的目標輸出。

對于本文要解決的問題，可看做回歸問題，將誤差源參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為內(nèi)核函數(shù)求解問題，回歸問題有如下模型:

測試集也同樣服從高斯分布，這時訓練集的輸出yR和測試集的預測值yT構(gòu)成聯(lián)合概率分布的先驗:

式中:K(XR，XR)，K(XT，XT)為訓練集和測試集的對稱正定的協(xié)方差矩陣，矩陣元素kij＝k(xi，xj)度量輸入xi和xj的相關性，K(XT，XR)＝K(XR，XT)T為訓練集R和測試集T的協(xié)方差矩陣，In為單位矩陣。根據(jù)貝葉斯原理，在已知訓練樣本和測試輸入的情況下可推斷出測試集的后驗分布為

1.1 超參數(shù)求解

在GPR模型的預測過程中，根據(jù)樣本屬性選擇合適的核函數(shù)，可以將數(shù)據(jù)之間的非線性關系轉(zhuǎn)化為線性關系，使得非線性問題求解轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性問題求解[21]。本文使用高斯核函數(shù)進行研究:

式中:θ為超參數(shù)，x和x′為訓練集或測試集的輸入，核函數(shù)確定后，超參數(shù)的求解是GPR模型的關鍵。參數(shù)求解最常用的方法是通過構(gòu)造訓練集的條件概率負對數(shù)L(θ)＝－log p(yR｜X，θ)為目標函數(shù)，對其求偏導極大化該函數(shù)，不斷更新超參數(shù)，直至滿足條件。

對數(shù)似然函數(shù)的表達式如下:

對數(shù)似然函數(shù)里面的超參數(shù)求偏導:采用共軛梯度法等優(yōu)化算法求出超參數(shù)的最優(yōu)解，通過訓練集和核函數(shù)即可預測測試集的輸出。

1.2 算法基本步驟

①篩選數(shù)據(jù)，確定樣本量及模型輸入和輸出，建立磁傳感器校正模型樣本。

②數(shù)據(jù)標準化處理，由于測量數(shù)據(jù)的磁場三分量數(shù)量級相差較大，為消除量綱影響，需對樣本進行標準化處理。

③選擇協(xié)方差函數(shù)，根據(jù)核函數(shù)設置初始超參數(shù)，通過訓練樣本確定GPR先驗模型。

④根據(jù)式(8)、式(9)，采用優(yōu)化算法得到最優(yōu)超參數(shù)，確定后驗模型

⑤使用訓練先驗模型過程中獲得的最優(yōu)超參數(shù)以及測試集數(shù)據(jù)訓練GPR后驗模型，通過式(5)、式(6)獲取待測樣本的均值，得到校正后的預測值。

1.3 算法評估指標

本文采用平均絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)和平均絕對百分比誤差(MAPE)多方面描述應用于傳感器校正的GPR模型精度。

式中:Bi和B′i分別是第i個樣本的地磁場真實值和磁場預測值，b為樣本數(shù)，以上三個評估指標的值越小，模型推斷出的樣本數(shù)據(jù)就越精確。

2 仿真實驗

2.1 仿真分析

仿真過程中，仿真磁場磁測數(shù)據(jù)可由數(shù)學誤差模型得到

式中:Bg和Bs分別為真實和觀測到的地磁場矢量，仿真實驗中將真實地磁場模值設定為恒定值5×104nT，N為非正交矩陣，S為刻度因子矩陣，z為零偏矩陣，η∈R3為高斯噪聲，其誤差矩陣參數(shù)如表一所示，模擬三軸磁傳感器在空間中某一點旋轉(zhuǎn)，在不同姿態(tài)下生成96組真實地磁三分量數(shù)據(jù)，加入式(13)中的轉(zhuǎn)向差得到磁場三分量誤差數(shù)據(jù)，為盡可能模擬現(xiàn)場實驗，在磁場三分量誤差數(shù)據(jù)中分別引入均值為0，方差為1的高斯噪聲，得到有噪聲干擾的磁場三分量誤差數(shù)據(jù)，將其作為高斯過程回歸算法的輸入，真實地磁場模值與測量地磁場模值之間的誤差作為輸出，其表達式為:

此外，由于輸入特征的離散化，使樣本標準化，將輸入樣本縮放在[0，1]范圍內(nèi):

式中:x表示輸入特征值，min表示輸入特征中的最小值，max表示輸入集合中的最大值，x′為標準化后的輸入特征值，仿真校正結(jié)果如圖1所示。

圖1(a)為地磁場校正前后對比圖，校正前的地磁模值峰峰值從1025.1 nT降低到校正后的3.45 nT，圖1(b)為校正后的地磁模值誤差，其誤差在4nT范圍內(nèi)浮動，從數(shù)值模擬可以看出，使用本文算法之后，總場測量偏差降低了三個數(shù)量級，其仿真結(jié)果證明了GPR方法的有效性。

圖1 仿真校正結(jié)果圖

2.2 訓練集數(shù)量對模型性能的影響

在隨機生成各姿態(tài)下的模擬地磁場數(shù)據(jù)時，加入表1中的轉(zhuǎn)向差生成600組磁場三分量誤差數(shù)據(jù)，從樣本中分別選取20、60、100、140、180、220、260、300組作為訓練集進行訓練，為了研究訓練集數(shù)據(jù)量對GPR模型精度的影響，使用不參與訓練的同樣60組數(shù)據(jù)作為測試集。

表1 誤差參數(shù)

圖2為模型預測精度隨訓練集不同數(shù)據(jù)量而變化的情況。

從圖2中可以看出，測試集的MAE、MAPE、RMSE分別隨著訓練集數(shù)據(jù)量的增加而降低，訓練集數(shù)據(jù)量達到60組時，各項評估指標低于1，當訓練集數(shù)據(jù)量在100組左右時，各個度量標準趨于穩(wěn)定，表示訓練集涵蓋了整個樣本的數(shù)據(jù)特征，GPR模型的泛化能力趨于穩(wěn)定。通過仿真實驗，可依據(jù)訓練集數(shù)據(jù)量對算法精度的影響、校正數(shù)據(jù)精度要求以及實驗數(shù)據(jù)采集時間，綜合考慮，設計試驗。

圖2 訓練集數(shù)據(jù)量對模型精度的影響

3 實驗驗證

3.1 GPR實驗及結(jié)果分析

實驗地點位于北京某實驗室，在開始校準實驗前，先使用圖3中的鉀光泵磁強計觀測背景場，選擇地磁場相對穩(wěn)定的區(qū)域，測得該實驗室某區(qū)域的環(huán)境磁場在50 004 nT~50 008 nT內(nèi)波動，其波動范圍在4 nT以內(nèi)，滿足校正實驗要求。隨后將帶寬為30 Hz(Mag648)的TAM裝配在高精度無磁轉(zhuǎn)臺上，整個實驗校正裝置如圖3所示。

圖3 校正實驗測試圖

旋轉(zhuǎn)無磁轉(zhuǎn)臺，改變姿態(tài)，得到磁傳感器的測量輸出，在同一姿態(tài)中，會多次采樣，輸出多組測量數(shù)據(jù)，造成數(shù)據(jù)大量冗余，為獲得高質(zhì)量數(shù)據(jù)樣本以提高校正的準確性以及減少計算復雜度從而提高計算速度，篩選得到96組各個姿態(tài)下的三軸磁傳感器三分量信息。同時鉀光泵磁強計記錄背景場模值，獲得的磁場作為真實地磁場的參考，通過TAM測量地磁場的實驗，進一步檢驗基于高斯過程回歸的矢量傳感器校準有效性。本文將樣本數(shù)據(jù)的前80組作為訓練集；用于訓練GPR模型，后16組為測試集進行預測，其輸入特征為傳感器測量三分量磁場信息。校正前后地磁幅度誤差比較曲線如圖4所示。圖4(a)是校正前后地磁場的模值比較，圖4(b)為校準后的地磁場模值誤差。

圖4 實驗數(shù)據(jù)磁場校正前后對比圖

從圖4(a)中可以看出校正前，地磁場隨姿態(tài)變化波動劇烈，校正后總場模值得到改善，數(shù)據(jù)趨于平穩(wěn)，波動小。地磁場的最大磁場強度與最小磁強度之間的差異即最大峰峰值誤差從校準前的1168.44 nT降低到校準后的2.75 nT。圖4(b)為地球磁場校正后幅值差對比，可以看出校正后曲線在真實地磁場周圍上下波動。同時，從表2可以看出基于實驗數(shù)據(jù)的RMSE和MAE分別從校正前的342.642、294.683降低到校正后的1.310 6、1.139 5。上述實驗結(jié)果證實利用高斯過程回歸法可以明顯的將磁矢量傳感器的精度提高兩個數(shù)量級以上，有效補償磁傳感器的誤差。

表2 校正前后性能評估表

3.2 核函數(shù)對模型性能的影響

核函數(shù)對GPR模型預測性能起著至關重要的作用。本文將基于線性內(nèi)核，冪指數(shù)核函數(shù)、Matern32核函數(shù)與高斯核函數(shù)研究對GPR模型性能的影響，驗證本文提出的基于高斯核的GPR校正模型的準確性、有效性以及可靠性。

本研究使用四種不同的核函數(shù)對磁傳感器的同一樣本進行預測，4種核函數(shù)性能評價結(jié)果如表3所示，在與其他幾種核函數(shù)方法的RMSE、MAE值對比中，高斯核的預測性能優(yōu)于其他三種核函數(shù)，高斯核在測試樣本的校正中表現(xiàn)出足夠的準確性，其RMSE、MAE分別為1.315、1.145。

表3 四種核函數(shù)性能對比表

圖5為四種核函數(shù)下的真實地磁場與校正后磁場的誤差曲線，從四種模型的磁場校正對比圖中可以看出基于高斯核函數(shù)、Matern32核函數(shù)的校正曲線隨姿態(tài)變化波動小，但相對來說，基于高斯核函數(shù)的校正曲線更接近真實地磁場曲線，校正效果更好，進一步驗證了高斯核方法的優(yōu)越性。

圖5 四種核函數(shù)校正后磁場誤差對比圖

4 總結(jié)

①本文所用方法是一種非參數(shù)模型，具有參數(shù)自適應獲得，泛化能力強等優(yōu)點，但是目前仍然存在一部分問題待解決，其中首要問題是在模型訓練和預測過程中計算量大，需要對所有數(shù)據(jù)點進行矩陣逆計算，這無疑增加了計算樣本點的時間和空間復雜度，因此該方法更適用于處理小樣本數(shù)據(jù)。

②本研究中現(xiàn)場實驗結(jié)果效果較好，除了所選算法的作用之外，還有部分原因是因為選擇的實驗區(qū)域磁干擾較小，監(jiān)測到的背景場均勻分布且穩(wěn)定，實驗校正后RMSE、MAE和MAPE誤差大大降低，但仍存有殘留誤差，主要在于波動的背景場會影響校準效果。

③針對三軸磁傳感器產(chǎn)生的零漂、刻度因子、非正交性等誤差因素，本文提出基于GPR的校正方法，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動，通過穩(wěn)定的地磁場修正磁傳感器在不同姿態(tài)下的模值輸出，避免了建模過程中忽略某些誤差源帶來的誤差，通過分析對比幾種常見核函數(shù)對校正方法性能的影響，進一步驗證了高斯過程回歸法對磁傳感器校正的有效性和可靠性，仿真和實驗結(jié)果證明，基于高斯過程回歸的校正方法速度快、效果良好，可以有效提高磁傳感器的測量精度。