廣義極值分布在計算風險價值中的應用

王 震

（上海郵電設計咨詢研究院有限公司，上海 200093）

0 引言

在現實世界中，對個別不常發生的事件通常稱為極值事件。這些極值事件很重要，其中在金融市場，一些黑天鵝事件的發生對社會經濟產生巨大的影響。對這類事件引起金融市場風險，使用風險價值（Value at Risk， VaR） 進行度量。一般計算VaR方法[1]有風險度量制（RiskMetrics）、波動率模型的經濟計量模型、經驗分位數以及極值理論等。該文討論的廣義極值（Generalized Extreme Value， GEV） 分布是基于極值理論的方法，該理論專門研究很少發生，然而一旦發生卻產生重大影響的隨機變量極端變異性的建模及統計分析方法，它提供了一種優良穩健的漸近模型對分布的尾部進行建模[2]。

該文從風險價值的概念出發，說明VaR度量方法的核心問題，討論廣義極值方法及其背后的統計理論和厚尾性質，并結合實例說明GEV估計VaR的過程、結論，進一步驗證GEV具有較好的厚尾性，并通過與波動率模型的經濟計量模型以及經驗分位數方法的比較，說明當尾概率較小時，GEV對VaR的估計更合理的。

2 風險價值

金融市場風險包括信用風險和市場風險等[3]，VaR主要討論市場風險。概率框架下，定義一個持有期為l、尾部概率為p的金融頭寸的VaR如公式（1）所示。

式中：L（l）為金融頭寸中從時刻t到時刻t+1時資產價值量變化時相關損失函數（t為時間指標）；Fl（x）為L（l）的累計分布函數（Cumulative Distribution Function， CDF）；VaR為分位數，Pr是概率函數的縮寫。

公式（1）表明VaR關注的是Fl（x）損失的尾部行為。

CDF在實際應用中往往是未知的，對VaR的研究主要關心的是CDF及其分位數的估計，尤其是CDF的尾部性質[4]。因此，Fl（x）對的擬合是經濟計量模型的焦點，而不同的方法估計Fl（x）產生了不同VaR的度量方法[5]。除了該文討論的極值方法計算VaR外，還有風險度量制、波動率模型的經濟計量模型以及經驗分位數等。

3 計算VaR的極值方法

3.1 極值理論

極值理論研究隨機變量極端值，即最大值或最小值的分布性質[5]。記某資產收益率為rt，n個收益率構成序列該序列中最小收益率記為r（1），最大收益率記為r（n）。該文以最大收益率r（n）進行理論說明， 最小收益率r（1）的情況，只需采取進行轉換。

假設時間序列{rt}nt=1獨立或弱相關，具有同CDF的F（x），設rt的變化范圍。由概率論可知，設r（n）的CDF，記為Fn，n（x），如公式（2）所示。

由公式（2）可知，如果F（x）已知，Fn，n（x）是可求得的，但實際中，該F（x）往往是未知的，而且最大值分布Fn，n（x）是退化[1]，這樣的CDF是沒有實際價值的。由 Fisher-Tippett極值類型定理[2]推得，存在2個常數列{αn}（αn＞0）和{βn}，使r（n*）≡（r（n）-βn）/αn分布當n→∞收斂到一個非退化分布，其中{αn}是尺度因子序列，{βn}是位置序列。在序列{rt}nt=1獨立或弱相關的假設下，標準化的最大收益率r（n*）的極值分布函數如公式（3）所示。

式中：ξ為形狀參數，exp是以e為底的指數函數。

ξ控制極值分布的尾部行為，根據ξ不同，公式（3）這種一般形式的廣義極值分布可分為3種類型的極限分布[1]，當ξ=0， 為Gumbel族分布；當ξ＞0，為Fréchet族分布；當ξ＜0，為Weibull族分布。

3.2 GEV的參數估計

由式（3）及rn標準化公式知，GEV包括3個參數：形狀參數ξ、尺度參數αn、位置參數βn，該文采用MLE方法[1]進行參數估計。對給定的觀察樣本，一般無法直接估計參數。因此將由T個收益率構成序列分成g個互不相交的子樣，每個子樣有n個觀測值，即

將子區間內觀測到的最大收益率記為rn，i，0≤i≤g，i表示第i個子區間，n表示子樣大小，最后用子樣最大值集合{rn，i}來估計極值分布未知參數。

設子區間最大值{rn，i}服從GEV，滿足xi=（rn，i-βn）/αn的概率密度函數由式（3）求導后給出，可得rn，i的概率密度函數f（rn，i），如公式（4）所示。

式（4）中的形狀參數βn有下標n表示它的估計依賴于n的大小。在rt獨立性假定下，得到子區間最大似然函數如公式（5）所示。

基于公式（5），利用非線性估計程序得到3個參數估計。MLE方法估計出參數后，代入式（4）構建擬合GEV概率密度函數。為確定所擬合的模型的正確性，進行殘差檢驗，定義殘差如公式（6）所示。

在公式（6）中，代入所求的估計的形狀參數、尺度參數、位置參數，求出各個rn，i的殘差值wi，作殘差序列圖，并作{wi}對指數分布Q-Q檢驗圖。如果GEV模型擬合正確的話，首先殘差序列圖中的散點不會有特定規律或趨勢，其次{wi}對應指數分布Q-Q檢驗圖中，散點應該落在45°參考直線上。通過以上檢驗，說明該GEV模型設定沒有錯誤，參數擬合效果較好。

3.3 GEV計算VaR

將MLE方式估計的參數代入式（3），并再考慮式（1），得到一個空頭頭寸的潛在損失超過一定限制的可能性p*如公式（7）所示。

解得分位數如公式（8）所示。

式（8）的分位數是子樣本最大值在極值理論基礎上計算的VaR。進一步確定子區間最大值與觀測值收益率序列rt的關系。由于假設時間序列是序列獨立或者弱相關，由式（2）得公式（9）。

式（9）表明，概率之間的這種關系可得到原始的資產收益率序列的VaR，即對一個特定的很小的上尾概率p，且1-p=Pr（rt≤rn*），持有一個對數收益率為rt的資產，其空頭頭寸的VaR如公式（10）所示。

式中：n為子區間的長度。

綜上，對GEV計算VaR的問題，先通過尺度參數αn和位置參數βn規范化隨機變量的極值以避免極值分布退化，建立GEV分布函數。進一步，將整個序列等分成g個子區間，由各區間的極值觀測值，作GEV模型的MLE參數估計，求得所擬合的GEV模型參數后，可通過式（10）求得一個特定概率p的VaR。

4 實證研究

該文選取上海某銀行連續每日收盤價價格作為數據，共2694個交易日收盤價為實證分析的原始樣本，設Pt（t= 1，2，…，2694）是股票在第t個交易日的價格。對長期持有股票主要考慮損失大小，因此研究最小收益問題，分別采用GEV、計量經濟方法和分位數估計3種方法進行VaR估計。所有數據來源于網易財經，使用R語言對樣本數據進行處理。

4.1 數據的基本統計分析

為使數據在統計上更容易進行處理[1]，該文采用股票日對數收益率，記為rt。rt= ln （Pt+1） - ln （Pt），t= 1，2，…，2693，經計算，該股票日收益率簡單的統計描述，見表1。

表1可知該股票日對數收益率均值接近于0；樣本標準差不大；日對數收益率的具有較高的超額峰度與偏度問題。進一步對數據進行正態性相關檢驗。首先構建Jarque-Bera （JB）檢驗統計量[1]，計算日對數收益率數據，結果JB49332，P值＜0.0001，拒絕原假設，即日對數收益率不服從正態分布。圖1（a） 中，實線是該股票日對數收益率的經驗密度函數，虛線是該樣本均值和樣本標準差決定的正態概率密度函數，兩者相比，經驗密度函數在均值附近有更高的峰、尾部更厚。圖1（b） 中45°直線是參考線，本例來看，散點與參考線偏離程度較大，兩端彎曲程度比較明顯，說明該樣本不服從正態分布，具有厚尾。

圖1 上海某銀行股票樣本的日對數收益率的圖像

表1 上海某銀行股票樣本日對數收益率簡單統計描述

圖2所示是該股票日對數收益率樣本自相關函數（Autocorrelation Function， ACF），該圖表明日對數收益率序列相關性很小，樣本ACF值基本都在兩個標準差之內，說明在5%水平下他們與0沒有顯著差別。進一步，該日對數收益率Ljung-Box統計量為[1]，P值分別為0.704和0.09，這說明該股票對數收益率沒有顯著的序列相關性。

圖2 上海某銀行的日對數收益率樣本自相關函數圖

以上檢驗分析指出，本例日對數收益率的樣本并不服從正態分布，其分布呈現“尖峰厚尾”且數據不具有顯著的序列相關性，因此該數據應用GEV計算VaR是合理的。

4.2 擬合GEV分布函數

根據式（3）的形式，建立GEV模型。利用MLE法估計GEV模型的參數，對不同的子樣區間，取值不同的n得下表2。

由表2的計算結果，當10≤n≤63，形狀參數ξn的估計是穩定的，近似等于0.4，但當n為126時（n為每個子樣觀測值的個數），由于子區間被分割為僅22個互不相交的子樣，其結果具有高度可變性，估計值不穩定。由形狀參數可知，該股票日對數收益率的分布屬于Fréchet族。

表2 上海某銀行股票樣本的最小日對數收益率極值分布的最大似然估計

子周期長度選取21個交易日，由式（3）建立極值分布函數，并采用式（6）的定義，計算擬合GEV分布的殘差，即負的日對數收益率擬合GEV分布時殘差。作該殘差圖（圖3），左圖為殘差序列圖，右圖為對指數分布的Q-Q圖，其中，殘差序列圖沒有顯示出模型誤設的問題，同時，對指數分布的Q-Q圖基本在理論指數分位數的直線上，因此認為GEV分布擬合是合理的。

圖3 上海某銀行股票樣本的負的日對數收益率擬合GEV分布時的殘差圖

4.3 計算VaR

將4.2節的參數估計結果代入式（10），計算不同置信水平下的該VaR值，見表3。

由表3表示，GEV中VaR的值對子區間長度n的選取較敏感且不同置信水平下的結果差異很大，應考慮選擇對應GEV分布擬合較好的子區間長度。

表3 用廣義極值分布（GEV）計算VaR結果

為進一步分析，選取子區間長度n=21的結果下，假設持有一個1000萬人民幣的多頭頭寸，考慮運用GEV、計量經濟方法和分位數估計3種方法計算樣本數據的VaR，求得在下一個交易日中的損失。VaR概率分別取為5%、1%、0.1%，即損失將以概率95%、99%、99.9%低于或等于VaR，各種方式計算的結果如表4。

表4看出，不同的方法結果有區別。首先，高斯AR（2）-GARCH（1，1） 模型在各VaR概率下均低估了損失，這主要是因為上海某銀行股票日對數收益率的分布具有厚尾性，所以基于正態分布假設的計算VaR不是很合理。然后，對經驗分位數估計VaR時，5%和1%的經驗分位數的估計結果可以當作真實VaR的一個保守估計（下界），但當尾部概率很小（例0.01%） 時，經驗分位數是真實分位數的一個不太合理的估計[1]。再比較自由度為3的標準化學生t-分布AR（2）-GARCH（1，1） 模型計算結果，對VaR概率5%估計較為合理，但概率較小時，會出現低估損失的問題。最后，在GEV計算VaR值時，當尾部概率較大時（例如5%），GEV方法出現低估的情況，但隨著尾部概率的減小，特別是到0.01%時，估計結果都大大高于正態分布假定下的VaR，這主要是因為，當VaR概率較小時，GEV分布的厚尾性發揮作用，估計結果更合理。

表4 各方法計算持有1千萬人民幣的多頭頭寸時下一個交易日各概率VaR結果 （單位：元）

5 結語

由于極值事件在社會經濟中有很重要的影響，風險價值（VaR）評估受到越來越多的關注。在金融市場風險管理中，VaR確定的關鍵在于其損失函數累積分布函數的確定。基于極值理論的廣義極值（GEV）分布方法，通過構建非退化的最大或最小值統計量，建立綜合模型研究極值分布情況，再通過轉換得到一定p值的分位數，那就是所求VaR。

在實例分析時，實際收益率呈現“尖峰厚尾”，所以運用基于正態分布的模型在估計VaR存在不合理性。相比之下，GEV方法能很好刻畫出極值數據分布的厚尾性，特別是Fréchet族分布形式。另外，當VaR尾概率p減小時，GEV方法能更好發揮出厚尾作用，所得VaR估計更精準合理。