高中數學立體幾何初步教材內容理解與教學實施

任希暢

摘? 要 “立體幾何初步”一直以來都是高中數學教材中的重要內容。以人教版2019年高中數學A版教材為例，分析教材的內容框架、知識編排、呈現方式等，詳述如何靈活、巧妙地運用教學裝備，對如何盡可能地實施直觀教學提出個人見解。

關鍵詞 高中數學;立體幾何;教材;教學裝備;立體幾何模型

中圖分類號：G633.63? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2021）18-0055-03

Understanding and Teaching Implementation of Textbook Pre-liminary Solid Geometry in High School Mathematics//Ren Xi-chang

Abstract “Introduction to Preliminary Solid Geometry” has always been an important teaching content in high school mathematics. This

paper takes the PEP textbook of high school mathematics in 2019 （Version A） as an example. Based on the relevant analyses of its con-

tent framework， knowledge layout， and modes of presentation， this paper elaborates on how to make good use of teaching equipment flexibly and skillfully， which provides students with intuitional instruction and puts forward references for other teachers.

Key words high school mathematics; solid geometry; textbook; tea-ching equipment; solid geometric model

0? 引言

廣袤宇宙和大千世界是一個實實在在的無限空間，在這個空間中存在無數大大小小、形狀各不相同的物體，這些物體與人們的日常生活密切相關。自明代開始，我國先民就開始從長、寬、高三個維度，通過直觀感知和度量計算等方法，認識和探索這些物體的基本屬性。

據《新世紀·百科字詞通典》詮釋，幾何學是“數學中研究點、線、面、體及其相互關系的學科”，立體幾何是“研究立體圖形的性質、形狀、大小、位置等的學科”。現行的高中數學“立體幾何初步”，就是從點、線、面、體等基礎認知開始，引導學生認識空間圖形的性質、形狀、大小、位置等關系，從而培養發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、幾何直觀能力等，是高中階段數學學科教學內容的重要組成部分。要使學生對教材所表達的內容和知識目標能夠深刻理解、全面掌握、靈活運用，就必須從宏觀和微觀兩個方面對教材進行詳盡分析。

1? 教材的編排和呈現形式

本單元教材是以長方體為載體，幫助學生認識和理解空間點、直線、平面的位置關系;用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證;了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法;運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等方法與過程，認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念。因此，教材的版式編排和內容呈現是非常關鍵的。

1.1? 教材的版式呈現

如圖1所示，教材的版式依照“引言—章節—小結—復習參考題”的結構順序展開。“章節”為正文，先講述幾何原理，接著設置相關的練習題，通過閱讀思考和探索發現，幫助學生了解幾何原理，然后進行“歸納”活動，統籌理解本章立體幾何的基本知識。其中的“歸納”活動不但增加了學生觀察和練習的形式，而且能夠讓學生更多地觀察數學邏輯之間的聯系，從而自己提出問題進行探究，逐漸形成問題式學習模式。

1.2? 教材內容的編排

內容編排是教學和學習順序的指導。教材的內容編排采用如下順序[1]：

8.1 基本立體圖形

8.2 立體圖形的直觀圖

8.3 簡單幾何體的表面積與體積

8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

8.4 空間點、直線、平面之間的位置關系

8.4.1 平面

8.4.2 空間點、直線、平面之間的位置關系

8.5 空間直線、平面的平行

8.5.1 直線與直線平行

8.5.2 直線與平面平行

8.5.3 平面與平面平行

8.6 空間直線、平面的垂直

8.6.1 直線與直線垂直

8.6.2 直線與平面垂直

8.6.3 平面與平面垂直

上述系人教版2019年高中數學A版教材的目錄，從編排的順序來看，是先整體后局部、先具體后抽象的教學與學習順序，也即按照“立體圖形—直觀圖—表面積與體積—點、直線、平面之間的位置關系”的編排順序層層遞進，進行學習。

從內容上看，將柱體、錐體、臺體具體分為棱柱、棱錐、棱臺以及圓柱、圓錐、圓臺、球，這樣既加強了對學生學習表面積和體積計算公式的要求，又將直線與直線、直線與平面、平面與平面三者進行組合，強調了三者之間的平行關系和垂直關系。

1.3? 知識呈現方式分析

從直線與平面平行的性質定理、平面與平面垂直的判定定理這兩個教學重點，來看知識呈現方式。

1.3.1? 在知識導入方面? 教材采用具有邏輯感的充分條件和必要條件的相互轉化來導入，將判定定理和性質定理聯系起來，發展學生逆向思維意識，引導學生找尋這兩者之間的邏輯關系。

1.3.2? 在知識體驗與表征方面? 教材采用給出模型并進行分析證明結論，最后得出性質定理的方式，遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型幫助學生認識空間幾何體的結構特征。在表述上，教材更具有專業性和嚴謹性，體現數學語言的簡潔精煉，引導學生逐步學會用準確的數學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，做到直觀感知、操作確認。在知識的表征上，通過語言描述的形式闡述性質定理。

1.3.3? 在知識應用和知識拓展方面? 以例題3為例，題中給出一種作平行線的方法，揭示了直線與平面平行中蘊藏著直線與直線平行;同時，在例題之后設置了包括填空、證明、判斷三種題型的練習題進行鞏固[4]。

2? 教材內容的理解與學習

學習是一個系統的過程。由于高中“立體幾何初步”這一章節的內容比較豐富、覆蓋面比較廣闊，而且知識也比較抽象，學習的難度比較大，因此必須要求師生使用歸納總結的方法，先把分散的知識進行歸納整理，使教師的教學步驟和學生的學習過程得到系統化、規律化的梳理。

2.1? 從教材編排布局的情況來看

教材編排布局先呈現基本立體圖形，接著呈現立體圖形的直觀圖;然后從簡單幾何體包括棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算逐步深入，直至圓柱、圓錐、圓臺、球等的表面積和體積計算;進而引導學生認識空間點、直線、平面之間的位置關系，包括空間直線、平面的平行，空間直線、平面的垂直等。教材以螺旋上升、分層遞進、逐步到位的形式，把立體幾何的初步知識進行陳列。

2.2? 從教材呈現的教學過程引導來看

教材先讓學生通過直觀觀察，感知自然空間幾何體的存在，然后通過計算操作來確認自然空間幾何體的具體屬性，最后歸納出自然空間幾何體的相關空間位置關系。用這樣的過程實施引導，讓學生的空間思維按照教材的內容步步深入、循序漸進，直至他們完全掌握教材所表達的全部內容要求。

2.3? 教材呈現的學生學習活動也是循序漸進、步步深入

教材先是對空間幾何體進行反復“觀察”，然后在“觀察”的基礎上對空間幾何體的相互關系進行深入“思考”，通過“思考”對其中相關的問題進行深入“探究”，接著通過不同類型的“練習”進行訓練。在“觀察”“思考”“探究”“練習”等一系列活動的基礎上，最后對所學的知識進行“歸納”與“總結”，同時對所用的公式進行梳理整合，從而加深對知識的理解運用。

3? 立體幾何模型在教學中的合理運用

充分理解教材內容是實施教學的基礎，在教學實施過程中通過使用教學裝備來提高教學質量是根本。普通高中學校普遍地裝備了多媒體設備，同時配備了套裝的立體幾何模型。就裝備的特點而言，多媒體器材的優勢在于能夠展現豐富多彩的圖形，雖然這些多彩豐富的圖形非常容易激發學生學習的興趣，但是難以引導學生從平面到空間立體的思維轉化。而立體幾何模型雖然沒有豐富多彩的圖片，但是能夠直接給學生一個直觀立體體驗，使學生的空間思維轉化得到很好的鍛煉。因此，筆者就立體幾何模型在教學中的運用進行簡單探討。

3.1? 立體幾何模型實例與生活相關聯

在教學本章第一節“空間幾何體的結構”時，教師可以在課前布置預習作業，讓學生尋找生活中空間幾何體的實例，如魔方、足球等，加深現階段學生思維中的空間幾何觀念，并且將數學與日常生活相聯系，將數學融入生活。同時，教師可以在課堂中展示帶來的一些實例模型，讓學生通過觀察來認識空間幾何體并發現空間幾何體的特點。

再者，可以通過展示名勝古跡中的立體模型來拉近空間觀念與生活的距離，也可以培養學生用心觀察，分析周圍的數學之美。如舉行一個課堂展示，請學生分享自己在假期中觀察、記錄下來的立體幾何模型。此舉意在向學生灌輸學習不只是在課堂中的學習，更是平時生活中的點滴積累的理念。從實體建筑物到立體幾何模型，需要經過表象到實質、整體到局部，認真比對、反復研究，按照比例尺縮小尺寸，將偌大復雜的建筑物分解成若干個小的簡單幾何體，培養學生數學抽象的能力。

如果有條件提供多媒體教室的教學環境，教師可以組織學生小組合作，探索通過“畫圖”軟件進行立體幾何模型的繪制與設計，并在畫圖的過程中體會模型的建立過程，培養學生的數學模型核心素養，為之后“立體幾何初步”的學習奠定基礎。另外，初次利用軟件必然會遇到挑戰，因此有必要開展小組合作，通過一起出謀劃策與合作協商，最后由小組成員一起對所設計的作品進行展示和解說，提高學生的數學表達能力，創造一堂精彩的拓展課程。

3.2? 利用立體幾何教具模型深化空間觀念

在本章教學中，教師可以通過展示立體幾何教具模型來為學生講授空間幾何體的三視圖和直觀圖，培養學生的直觀想象能力，并且教具可以更加清楚明白地展示各個面的特點，實現幾何研究從“點—線—面—體”的研究思路，有利于構建學生思維中的空間幾何體的模型架構，便于在做題或者之后立體幾何計算的學習中理解圖形，有效地畫出圖形并得出結論。

另外，為了培養學生的實踐動手能力，在教學過程中創設以小組為單位制作立體幾何模型的活動也不失為一種新課改背景下的教學創新。此活動不僅可以提升學生合作活動時的配合默契度，更能讓學生在制作過程中發現立體幾何圖形的特點，并更好地掌握空間幾何體的結構、空間幾何體的三視圖和直觀圖以及觀察發現點、直線、平面之間的位置關系，同時在平時練習時可以加深記憶[5]。

4? 結束語

立體幾何的學習看似平常，但要能夠全面掌握其中的原理，熟練運用相關的方法與技術，對自然空間幾何體的性質進行準確判定，一般地說，教師就必須引導學生按照教材編定的程序，先從對空間幾何體的整體觀察入手，再直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系，最后對相關幾何體進行性質判定。■

參考文獻

[1]中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學必修：第二冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019：

96-171.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]葉立軍，王思凱.兩版高中數學教材“三角函數”內容比較研究：以人教2019年A版和2004年A版教材為例[J].中學數學雜志，2020（7）：1-6.

[4]葉立軍，戚方柔.中美初中“圓”內容比較研究：以浙教版、人教版、美國GMH教材為例[J].中學數學月刊，

2020（4）：44-48.

[5]林妙勇.引入立體模型提升立體幾何教學效果[J].廣西教育，2019（6）：108-109.