基于參數匹配的二級行星滾柱絲杠動力學分析

吳林萍 馬尚君， 張建新， 謝立中

(1.西北工業大學 機電學院∥陜西省機電傳動與控制工程實驗室，陜西 西安 710072； 2.湖北江山重工有限責任公司，湖北 襄陽 441057)

行星滾柱絲杠(Planetary Roller Screw Mechanism，PRSM)作為性能優良的機械傳動裝置，主要是通過螺紋牙之間的多點接觸來進行動力的傳輸。研究表明，PRSM的靜剛度比相同直徑下的普通滾珠絲杠提高約50%，承受相同軸向負載時，其安裝空間節省約1/3，工作壽命提高約14倍[1- 2]。PRSM還可通過采用微小導程設計(螺距可達0.3 mm)來提高系統的傳動精度，更多的螺紋牙同時參與動力的傳遞，使得PRSM可以實現輕載、重載條件下更加平穩的超高精密傳動。目前國內外已在飛行器舵面、無級變速器換擋、高檔數控機床進給、焊接機器人擺臂等全電化裝備領域采用了基于PRSM的機電伺服作動技術[3- 6]。

近些年，國內外學者對PRSM進行了大量的研究：Jones等[7- 8]考慮滾柱偏移，研究了構件導程與相對滑動的關系，得出了滾柱的軸向偏移量不影響機構導程的結論，并基于共軛曲面的原理建立了接觸面間的接觸模型；馬尚君等[9- 10]分析了反向式PRSM中滾柱位移對機構導程和滑動速度的影響，并得到了與Jones等[7- 8]相同的結論，滾柱節圓的偏移不會影響機構導程，并且建立了考慮不同螺紋旋向的分析模型，基于行星傳動的原理揭示了各構件參數間的關系。

目前國內外將PRSM作為傳動裝置的機械設備中，主要局限于使用單級PRSM，然而，對于需要使用多級線性推桿裝置的機構，單級PRSM傳動裝置往往不能達到所需的行程，且其速度相對較慢，使其在中大型起豎裝置的應用方面面臨著挑戰，成為了阻礙車載裝備全電化進程的關鍵問題。二級PRSM的應用可以提升中大型起豎裝置的起豎速度，增大起豎行程，減少起豎時間，因此，開展二級PRSM結構參數匹配及運動學研究，對于二級PRSM的工程應用具有重要意義。近年來，國內外學者開始對二級PRSM展開研究：陳芳[11]基于Hertz 接觸理論，建立了兩級行星滾柱絲杠的軸向剛度計算模型，研究了傳動精度的影響因素；許兵宗[12]提出了一種由具有外花鍵的滾珠絲杠和具有內花鍵的空心滾珠絲杠組成的空心絲杠花鍵副型二級傳動裝置，并在此基礎上對二級電動缸的結構設計和運動特性進行了研究；張瀚起[13]通過花鍵軸和花鍵孔完成了二級PRSM的整體結構方案設計，利用ADAMS軟件對電動缸整體的動態特性進行了仿真分析，并研究了PRSM誤差對傳動準確性的影響；李欣等[14]基于多級行星滾柱絲杠的結構特點，運用牛頓第二定律推導了多級行星滾柱絲杠的運動方程，分析了該機構的動力學特性。

文中提出的二級PRSM結構采用型面連接的方式來實現一級絲杠與二級空心絲杠之間的運動傳遞——將一級主絲杠的右端設計為六邊形型面，因型面連接拆裝方便，有良好的對中性，連接面上無鍵槽和尖角，從而減少了應力集中，且可傳遞較大的轉矩。文中以二級PRSM的結構特點、運動原理為基礎，綜合考慮其傳動特點，在現有單極PRSM參數匹配設計條件的基礎上，補充了二級行星滾柱絲杠參數設計所需的條件，提出了二級PRSM各級滾柱的自轉角速度、公轉角速度、各級螺母直線位移與軸向移動速度的理論計算方法，并基于ADAMS軟件對其運動學特性進行了仿真分析，最后將仿真結果與理論計算結果進行了對比。

1 二級行星滾柱絲杠的理論模型

1.1 結構形式與運動機理

二級PRSM較單級PRSM具有更復雜的結構和傳動方式。圖1所示為二級PRSM的結構示意圖，圖2所示為文中建立的二級PRSM的三維模型，其主要由一級主絲杠、一級螺母、二級空心絲杠、二級螺母、套筒、推桿、推力軸承、內齒圈和保持架等結構組成。該模型中主要零部件的結構參數如表1所示，d0為螺紋中徑，d1為螺紋大徑，d2為螺紋小徑，p為螺距，n為螺紋頭數，l為螺紋長度，α為螺紋牙型角，z為輪齒齒數，m為輪齒模數，h*為齒頂高系數，c*為頂隙系數，其中長度單位均為mm。

二級PRSM由一級主絲杠的旋轉帶動一級滾柱和一級螺母軸向移動，同時一級螺母通過套筒和軸承將軸向運動傳遞給第二級PRSM，二級螺母帶動推桿做軸向移動，推桿連接桿端關節軸承，桿端關節軸承帶動負載進行相應的直線移動。因一級螺母與二級空心絲杠之間需要傳遞推力時二級空心絲杠相對于一級螺母還有軸向轉動，故在一級螺母與二級空心絲杠之間加入推力軸承，以同時實現推力的傳遞與相對軸向運動。由圖3所示二級PRSM的橫剖面圖可知，一級主絲杠還通過其右端的六邊形型面帶動二級空心絲杠轉動，二級空心絲杠在六邊形型面的周向帶動下與一級絲杠同軸轉動[11]。同時，兩配合型面之間應當有一定的間隙，使得一級主絲杠右端的六邊形型面對二級空心絲杠的軸向運動起到導向的作用。

圖1 二級PRSM的結構示意圖

圖2 二級PRSM的三維模型

表1 二級PRSM主要零部件的結構參數

圖3 二級PRSM的橫剖面圖

1.2 參數匹配設計

二級PRSM在進行結構參數匹配設計時，必須遵守單級PRSM參數匹配設計條件(共8個條件)[15]，在此基礎上還需要滿足以下兩個參數匹配設計條件。

(1)強度條件

在二級PRSM的參數匹配設計過程中，需運用強度理論對一級主絲杠和二級空心絲杠強度進行計算。根據所選材料的材料屈服強度極限σmax，取二級行星滾柱絲杠應用工況的安全系數為K，則其屈服應力σ為

[σ]=σmax/K

(1)

故二級PRSM應滿足：

(2)

(3)

式中，σ1、σ2分別為一級主絲杠和二級空心絲杠的屈服強度，Fa為二級PRSM所承受的軸向負載；d01、d02分別為一級主絲杠和二級空心絲杠的螺紋中徑。

(2)壓桿穩定性

二級PRSM應用在起豎系統中時，大多工作于受壓工況下，即承受較大的軸向負載。當軸向負載很大時，會破壞構件原有直線狀態下的平衡狀態，即發生失穩或屈曲[16]，故二級PRSM的結構設計中必須考慮其壓桿穩定性問題。

桿件柔度的計算公式如下：

λ=μl/rmin

(4)

式中，rmin為壓桿截面最小慣性半徑，l為桿長，μ為材料力學中壓桿的長度系數。

根據桿件柔度值計算構件的臨界應力σc如下：

(5)

式中，σl為二級PRSM的材料屈服極限，a、b為與PRSM材料性質有關的常數，λl為屈服極限σl對應的柔度，λp為比例極限σp對應的柔度。屈服極限和比例極限柔度可分別表示為

λl=(a-σl)/b

(6)

(7)

則桿件的臨界載荷即為臨界應力與桿件橫截面的乘積：

Fc=σcSc

(8)

式中，Sc為桿件橫截面的面積。

當二級PRSM為大柔度桿時，即可選用歐拉公式對其臨界載荷進行計算：

(9)

式中，E為材料彈性模量，I為截面慣性矩。

二級PRSM為變截面受壓的構件，在工作狀態下，其左端絲杠的支撐方式為固定，右端伸出的推桿的固定方式為鉸支，相應的約束狀態如圖4所示。

圖4 軸向載荷作用下的構件彎曲示意圖

在軸向載荷作用下，構件的彎曲曲線方程為

(10)

式中：A為變形最大值，為任意常數；L為執行機構的總長度。

在軸向載荷Fa的作用下，二級PRSM發生彎曲，此時的軸向位移Δ可表示為

(11)

(12)

故軸向載荷Fa所做的功為

(13)

變形中任意截面上的彎矩可表示為

(14)

則第i節執行機構由于彎矩產生的變形能為

(15)

式中，ai為第i級執行機構伸出后的長度與執行機構全長之比，Ii為第i級執行機構的截面慣性矩。

將式(14)代入式(15)可得

(16)

對式(16)進行積分得

(17)

故整體機構的總的變形能U為

(18)

式中，I1為第1級執行機構的截面慣性矩，N為執行機構的級數。

壓桿穩定性問題本質上是執行機構保持自身穩定平衡狀態的能力，即需要將絲杠與推桿將外力所做功轉化為彈性勢能，亦即

U=W

(19)

將式(13)和(18)代入式(19)可得臨界載荷Fc：

(20)

式中：u1為長度系數，由執行機構的支承方式決定；u2為變截面長度系數。

1.3 滾柱的理論角速度

由單極PRSM的結構特點可知，在整個系統的傳動中，螺母的周向運動被約束，滾柱繞自身軸線自轉的同時繞絲杠軸線公轉。圖5所示為含有單個滾柱的單級標準式PRSM的運動示意圖[17]。

圖5中b點的絕對速度可表示為

vb=vc/2=ωsd0s/4=ωcdc/2

(21)

式中：vb為絲杠與滾柱接觸位置圓周方向的切點速度；ωs為絲杠旋轉角速度；d0s為絲杠中徑；ωc為滾柱公轉角速度；dc為滾柱公轉直徑，且dc=d0s+d0R。

圖5 標準式PRSM的運動示意圖

因此，滾柱公轉角速度可表示為

(22)

式中，d0R為滾柱中徑。

如圖5所示，在純滾動狀態下，滾柱自轉轉過的弧長與在螺母上滾過的弧長相等，即

φRd0R/2=φcd0N/2

(23)

又有φR/φc=ωR/ωc，聯立式(23)可得

(24)

式中，ωR為滾柱的自轉角速度，φR為滾柱繞自身軸線自轉的轉角，φc為滾柱公轉的轉角，d0N為螺母中徑。

1.4 螺母的理論速度與位移

由圖6所示的嚙合結構可知，滾柱兩端和內齒圈均加工有直齒，滾柱直齒和內齒圈直齒嚙合保證了滾柱和螺母之間的相對運動為純滾動。當絲杠以角速度ωs轉動時，對應的螺母軸向位移為

(25)

將式(25)兩邊對時間t求導，可得對應螺母的軸向移動速度如下：

圖6 直齒嚙合結構

(26)

式中，ns為絲杠螺紋頭數，p為螺距。

二級螺母總的軸向移動速度vN2由兩部分組成：一是在一級螺母的軸向移動帶動下，整體第二級PRSM的軸向移動速度vN12，即一級螺母的軸向移動速度；二是在二級空心絲杠的帶動下，二級螺母的軸向移動速度vN22。

vN2=vN12+vN22

(27)

2 動力學仿真模型

根據表1所示二級PRSM零部件的主要結構參數，采用SolidWorks軟件創建二級PRSM的三維模型與裝配體，并借助Mechanism/Pro無縫接口將裝配模型導入ADAMS軟件進行運動仿真和分析[18]。為減少計算量，縮短計算周期，文中對二級PRSM的裝配體結構進行適當的簡化：一級主絲杠與二級空心絲杠均只保留兩個對稱位置的滾柱，并且去掉導向滑動套筒等，如圖7所示。對導入ADAMS中的二級PRSM中各部件的顏色、透明度等進行調整，增加模型的可讀性并為后續建模過程提供便利。

圖7 ADAMS中二級PRSM的幾何模型

2.1 邊界條件

對各級PRSM中的零部件建立連接關系，添加約束副時，需要根據各零部件與裝配體的相對位置關系和二級PRSM的實際運動情況來確定，否則將會影響后續仿真分析的正確性與準確性。二級PRSM運動學仿真物理模型中的全部約束副如下。

固定副5個：二級PRSM運轉過程中，各級螺母左右兩端的內齒圈與螺母之間無相對運動關系，故固定各級螺母與其左右兩端的內齒圈；一級螺母右端的推力軸承與螺母之間無相對運動，故將該雙向推力軸承與螺母固定。

旋轉副9個：一級絲杠在原地自轉，無軸向位移，故一級絲杠相對大地自轉，在一級絲杠與大地之間設置一個旋轉副；滾柱相對于行星架既有自轉又有公轉，故只需一級主絲杠、二級空心絲杠的各2個滾柱分別與各級絲杠兩端的兩個行星架添加旋轉副即可。

移動副3個：二級PRSM運轉過程中，一級主絲杠與二級空心絲杠之間依靠六邊形型面進行運動的傳遞，二者運動過程中轉速相同，無相對角位移，只有相對軸向位移，故在一級主絲杠與二級空心絲杠之間添加1個移動副；除此之外，一級螺母和二級螺母只有軸向移動，沒有轉動，故在各級螺母與保持架之間添加2個移動副。

平面副1個：運動過程中，二級空心絲杠既轉動又軸向移動，而二級螺母只發生軸向移動，故在推力軸承與二級空心絲杠之間添加1個平面副。

二級PRSM的運動中，一級主絲杠為主動件，即可作為整個系統的動力源，故在一級主絲杠與保持架之間的旋轉副上施加電機驅動。

2.2 接觸力

通過絲杠與滾柱、滾柱與螺母、滾柱與內齒圈之間接觸的添加來仿真二級PRSM中各構件間真實的接觸情況。接觸力是ADAMS軟件中的一種特殊載荷。一般情況下，在從三維建模軟件向ADAMS軟件導入的過程中，需要將模型改為parasolid-x-t格式，這樣，當建立接觸力時，就可以很容易地實現solid-solid類型的接觸。

ADAMS中有兩種計算接觸力的方法，一種是補償法(Restitution-Based Contact)；另一種是沖擊函數法(IMPACT-Function-Based Contact)。文中采用沖擊函數法(即IMPACT函數)來仿真計算兩個構件間的接觸力。接觸力可分解為正壓力和摩擦力兩部分。正壓力是兩個構件之間相互切入而產生的彈性力，使用IMPACT函數來計算；摩擦力是相對速度產生的阻尼力，文中為使仿真結果與實際情況更加接近，在施加接觸力時考慮了摩擦力的影響，使用Coulomb法進行計算。

IMPACT函數值的有無由自變量的函數值決定。當位移變量q大于碰撞力激發的位移值q0時，無函數值；當位移變量q小于等于碰撞力激發的位移值q0時，有函數值，且此時函數值為

{IMPACT=MAX{0，K×δe-C×dv×

STEP(q，q0-d，q0，0)}

δ=q0-q

(28)

式中：q為兩接觸零件間的距離，dv為兩個物體間的相對速度，q0為兩零件之間的參考距離，e為碰撞指數，K為剛度系數，C為阻尼系數，d為阻尼逐漸增大的位移。

建立絲杠-滾柱及滾柱-螺母接觸力時，考慮摩擦力的影響可以使仿真結果更貼近二級行星滾柱絲杠的實際情況；并且二級行星滾柱絲杠在工作時通常會加入潤滑脂，工作過程中會在零件之間形成油膜，從而改善零件接觸面，降低摩擦力。文中仿真分析設置的接觸力參數如下：

剛度系數，K=1.0×105N/mm；

碰撞指數，e=1.5；

阻尼系數，c=50 N·s/mm；

滲透深度，d=0.1 mm；

靜態系數，us=0.23；

動態系數，ud=0.16；

靜滑移速度，vs=100 mm/s；

動滑移速度，vd=100 mm/s。

在ADAMS軟件中設置完成運動副、約束、接觸力、載荷和驅動的定義，創建與實際二級PRSM運動原理一致的仿真模型，如圖8所示。

圖8 二級PRSM仿真模型

3 模型對比驗證

在仿真分析模型中對二級PRSM三維模型進行適當的簡化，將各級絲杠的滾柱數目均由10根縮減到2根，變為原來的1/5，故施加在二級螺母上的軸向推力也設計為原推力的1/5，取F=340 kN，設置一級主絲杠的旋轉角速度為ωs=800°/s，仿真類型時長為1 s，步長為0.001。如圖9所示，二級空心絲杠在一級主絲杠的帶動下以相同的角速度轉動。

根據圖9所示各級絲杠的角速度，可通過式(26)求得各級螺母的理論軸向移動速度為44.44 mm/s，由于一級螺母通過套筒和軸承將其軸向運動傳遞給第二級PRSM，故二級空心絲杠的理論軸向移動速度也為44.44 mm/s。如圖10所示，在文中建立的二級PRSM運動仿真模型中，二級空心絲杠和一級螺母的軸向移動速度以相同的規律波動，且其平均值為44.35 mm/s，理論值和仿真值之間的誤差為0.20%。

圖9 一級主絲杠與二級空心絲杠的角速度

圖10 一級螺母與二級空心絲杠的軸向移動速度

由式(27)可知，二級螺母總的移動速度主要由兩部分組成：一級螺母傳遞給第二級PRSM的軸向移動速度和二級空心絲杠帶動下二級螺母的移動速度。當各級絲杠以相同的角速度ωs(ωs=800°/s)轉動時，根據式(27)求得二級螺母總的軸向移動速度理論值為88.88 mm/s。圖11所示二級螺母的軸向移動速度平均值為87.56 mm/s，理論值和仿真值間的誤差為1.49%。

圖11 一級螺母與二級螺母的軸向移動速度

如圖12所示，一級螺母質心的初始位置為690.08 mm，當一級主絲杠以800°/s的角速度旋轉1 s后，其質心移動到648.01 mm處，故在1 s的運動時間內，一級螺母的軸向位移為42.07 mm，曲線平穩，波動很小。由式(25)可知，該轉速下一級螺母的理論軸向位移為44.44 mm，理論值和仿真值之間的誤差為5.33%。

圖12 一級螺母的軸向位移

如圖13所示，二級螺母的初始質心位置在-239.52 mm處，仿真結束時其質心位置移動到-152.85 mm處，整個仿真時間內二級螺母的軸向位移為86.67 mm。由式(25)可計算出1 s內二級螺母的理論軸向位移為88.88 mm，與仿真值之間的誤差為2.49%。

圖13 二級螺母的軸向位移

在ADAMS仿真過程中，構件質心坐標系相對于全局坐標系會隨著構件的運動而運動，所以得到的角速度就是局部坐標系相對于全局坐標系的角速度，即絕對角速度。圖14所示為各級滾柱的絕對自轉角速度和公轉角速度，可以看出，各級螺母的絕對自轉角速度和公轉角速度都近似相等，且各級滾柱對應的絕對角速度的波動都較其公轉角速度大。

圖14 各級滾柱的角速度

由圖14對應的詳細數據可知，一級滾柱、二級滾柱的公轉和絕對自轉角速度分別為：293.40°/s和1 179.55°/s、296.92°/s和1 183.58°/s。由于滾柱既自轉又公轉的運動特點，滾柱質心的自轉角速度可由下式得到：

ωR=ωc+ωo

(29)

式中，ωR為滾柱的自轉角速度，ωc為滾柱的公轉角速度，ωo為滾柱質心的絕對自轉角速度。

根據式(29)可求得各級滾柱的質心自轉角速度：

ωR1=ωc1+ωo1=1 472.95°/s，

ωR2=ωc2+ωo2=1 480.50°/s。

文中二級PRSM的主要設計參數如表1所示，根據式(22)、(24)可分別求得各級滾柱公轉角速度和自轉角速度的理論值。因二級空心絲杠與一級主絲杠以相同的角速度轉動，故一級、二級滾柱的自轉角速度與公轉角速度分別相等，即

將各級滾柱角速度的理論值與仿真值進行對比發現，一級滾柱公轉角速度、自轉角速度的理論值與仿真值分別相差2.20%、1.80%；二級滾柱的分別相差1.03%、1.30%。上述所有的理論計算結果與仿真結果對比如表2所示，其中最小誤差為0.20%，最大誤差為5.73%，相對誤差均在可接受范圍內，說明文中提出的二級PRSM參數匹配是合理的，理論計算方法是準確的。

表2 理論值與仿真值的對比

表2中所有理論計算結果均是在滾柱處于純滾動的理想狀態下計算得到的。二級PRSM的實際運轉過程中，滾柱依賴滾動摩擦力實現運動的傳遞，且滾柱與絲杠間的接觸受力與絲杠軸線呈45°夾角，會使滾柱產生滑動的趨勢，即實際工作中滾柱的行星運動包含滾動和滑動兩種運動形式，所以理論計算結果和仿真值之間存在一定的誤差。從圖10、11和14還可以看出：構件在初始進入嚙合時速度波動較大，這是因為進行二級PRSM三維建模時，為保證各構件螺紋牙在裝配時不發生干涉，絲杠-滾柱側和滾柱-螺母側都預留了螺紋牙間隙，螺紋牙間的初始間隙不僅引入了整體傳動誤差，還導致了構件發生滑動，故在初始接觸時速度波動大。在軸向載荷的作用下，各螺紋牙間接觸點數量逐漸增多，機構平穩運行，故速度波動逐漸趨于平穩。

4 結論

文中以二級PRSM為研究對象，提出了其相關運動特性的理論計算方法，建立了其動力學仿真模型，開展的主要工作如下：

1)以單極PRSM的結構設計、參數匹配方法為基礎，補充了二級PRSM參數設計所需的強度條件和壓桿穩定性要求，計算了二級PRSM的結構參數，在此基礎上運用Solidworks軟件進行了三維建模與裝配；根據二級PRSM的運動原理，提出了計算各級滾柱自轉和公轉角速度、各級螺母的軸向位移和軸向移動速度的理論計算方法；

2)根據二級PRSM的運動特點，在ADAMS軟件中對所有零部件進行了材料設置，建立了符合運動規律的運動副，添加了驅動，在絲杠與滾柱、滾柱與螺母、滾柱與內齒圈之間分別添加了接觸力，完成了動力學仿真模型的建立。

對比理論計算結果和仿真分析結果發現：各級滾柱的自轉和公轉角速度的相對誤差小于3%；各級螺母的軸向位移和軸向移動速度的相對誤差小于6%，均在可接受范圍內，說明文中二級PRSM參數匹配是合理的，理論計算方法是準確的。