準天頂衛星系統廣播星歷精度評定和擬合精度分析

寇瑞雄，楊樹文

( 1. 蘭州交通大學 測繪與地理信息學院，蘭州 730070；2. 地理國情監測技術應用國家地方聯合工程研究中心，蘭州 730070；3. 甘肅省地理國情監測工程實驗室，蘭州 730070 )

0 引 言

隨著四大全球衛星導航系統(GNSS)的建成與升級換代，日本建設的準天頂衛星系統(QZSS)和印度區域衛星導航系統(IRNSS)也在逐步推進. 其中日本建設的QZSS 是服務于亞太地區的區域衛星導航系統[1-2]，也是美國的GPS 在亞太區域的星基增強系統. 由于多系統融合導航定位是衛星定位發展的一個重要方向，文獻[3-4]評估了QZSS 在中國和日本及周邊區域的定位性能. 結果表明：QZSS 系統對GNSS定位導航精度有所提高，在GNSS 可用性方面也具有一定補充作用.

在衛星實時導航定位數據處理中，廣播星歷計算導航衛星位置是一個重要環節. 廣播星歷文件中發布軌道參數的時間間隔一般為1 h 甚至更長，與觀測文件秒級的采樣間隔不一致，為了保證衛星位置計算精度且能減少重復迭代次數，需要對衛星位置按需插值或擬合. 目前對GNSS 廣播星歷插值和擬合的研究較多，但對RNSS 的研究較少，且QZSS 的J01、J02 和J03 采用了大橢圓非對稱“8”字形傾斜地球同步軌道(IGSO)衛星，與目前現有的GNSS 衛星軌道都不一樣，所以QZSS 廣播星歷具有一定的研究意義. 針對GNSS 廣播星歷擬合或插值方法包括牛頓多項式、拉格朗日多項式、五次樣條插值法和埃爾米特多項式等，如文獻[5]討論了滑動式和非滑動式拉格朗日多項式在北斗衛星導航系統(BDS)精密星歷中的應用；文獻[6]利用五次樣條擬合法在GPS 衛星軌道擬合中的應用；文獻[7]對比分析了牛頓多項式和埃爾米特多項式在GNSS 廣播星歷中的擬合精度. 為了研究切比雪夫多項式對QZSS 廣播星歷擬合精度，本文首先評定QZSS 廣播星歷的精度，然后利用切比雪夫多項式擬合法對QZSS 衛星坐標擬合并評定擬合精度.

1 QZSS 廣播星歷

1.1 計算QZSS 衛星位置

QZSS 廣播軌道采用的坐標系統是日本衛星導航大地測量系統. QZSS 的時間系統稱為QZSST，它的秒長與國際原子時間(TAI)的秒長相等，但落后TAI 19 s[8]. 目前系統在軌衛星有4 顆，包括3 顆IGSO衛星和1 顆地球同步軌道(GEO)衛星[9]. QZSS 廣播星歷計算衛星位置與GPS 廣播星歷計算衛星位置方法一致，文獻[10]詳細介紹了根據直接法使用廣播星歷計算衛星位置的過程，因此本文不再贅述直接法QZSS廣播星歷計算衛星位置的方法.

1.2 QZSS 廣播星歷精度評定

QZSS 廣播星歷每1 h 提供一組開普勒軌道數據，通過廣播星歷軌道參數計算一定時間內任意時刻QZSS 衛星的空間坐標. QZSS 精密星歷每組衛星坐標的時間間隔為15 min，目前精密星歷是精度最高的衛星星歷，因此在廣播星歷精度評定時將精密星歷提供的衛星三維(3D)坐標設定為真值.

本文在https://sys.qzss.go.jp/dod/en/archives/pnt.html 網址上下載了自2020-04-27—2020-05-06 (年積日第118—127 天)的廣播星歷和精密星歷. 由于廣播星歷的時間間隔與精密星歷的時間間隔不一致，為方便對比，利用廣播星歷計算歷元前后半小時之間的15 min 間隔衛星位置，然后以精密星歷為真值，計算10 天內所有歷元的廣播星歷在空間大地坐標系(X、Y、Z) 三個方向和衛星軌道坐標系(R、T、N) 三個方向的誤差. 分別統計兩個坐標系下的廣播星歷誤差，使用最大絕對誤差(Max)、平均絕對誤差(Mean)和均方誤差(Std)來評定廣播星歷精度，具體結果如表1和表2 所示.

表1 空間大地坐標系誤差統計m

表2 衛星軌道坐標系誤差統計m

由表1 可知，在空間大地坐標系中QZSS 廣播星歷的Max 在J03 衛星Y方向最大，其余都小于5 m.GEO 衛星在X和Y方向的平均絕對誤差大于IGSO衛星，但在Z方向比IGSO 衛星的都小. J01 衛星Z方向的Std 較大，其余衛星的Std 大部分小于1 m.

由表2 可知，在衛星軌道坐標系中，GEO 衛星R方向的Mean 大于IGSO 的，T和N方向的Mean平均絕對誤差也大于其中2 顆IGSO 衛星的. GEO衛星在R和N方向的Std 均大于IGSO 衛星，在T方向僅小于J03 衛星.

從整體上看，GEO 衛星的廣播星歷誤差大于IGSO衛星. 在兩個坐標系統中，QZSS 廣播星歷精度均處于米級.

2 切比雪夫擬合法原理

對QZSS 廣播星歷，在 [t0,t0+Δt] 時間間隔內使用n階切比雪夫擬合法進行擬合，其中t0為初始歷元，Δt為擬合區間長度. 首先將t∈[t0,t0+Δt] 處理成τ ∈[?1,1]的形式，即

以衛星X坐標為例，使用間接平差原理求解切比雪夫多項式系數，將式(2)的第1 個式子列出誤差方程并整理為式(4)：

同理，使用上述方法可以求得Y和Z坐標的切比雪夫多項式系數，根據計算得到的多項式可以計算擬合區間內任意時刻的3D 坐標.

3 QZSS 廣播星歷擬合精度分析

繼續使用上述10 天的QZSS 廣播星歷數據，因為QZSS 衛星軌道有IGSO 和GEO 兩種軌道，不同軌道類型的擬合結果可能不相同，所以選取軌道誤差較大且分別代表不同軌道的衛星J01(IGSO)衛星和J07(GEO)衛星對廣播星歷進行實驗分析. QZSS 廣播星歷每1 h 發布1 次，每顆衛星1 天內提供24 組軌道參數，為了增加統計量，使用J01 和J07 衛星10 天數據進行統計分析.

使用QZSS 廣播星歷軌道參數，計算出每個歷元前后30 min 時間段內，時間間隔為30 s 的衛星空間3D 坐標，作為真值檢核切比雪夫多項式的擬合結果.為了擬合精度評定，需將對應時刻的擬合值與采用軌道參數方法求得的衛星坐標求差，對殘差進行統計，用Max、Mean 和Std 作為擬合精度的評價指標. 考慮到切比雪夫擬合法的擬合精度與時間間隔、節點個數和擬合階數都有關系，下面分兩部分進行分析：一是在固定時間間隔下，不同節點個數和擬合階數對精度的影響；二是在不同時間間隔下，達到所需擬合精度時節點個數和擬合階數最優組合的變化情況.

3.1 不同節點和擬合階數下的擬合精度

選用QZSS 系統中J01 和J07 衛星10 天的廣播星歷數據，在單歷元前后各30 min 的時間段內，設節點時間間隔為240 s，則1 h 共有16 個已知點；每30 s設置1 個檢核點，則總共有121 個檢核點，通過選取不同節點個數和擬合階數對廣播星歷進行擬合，并統計X、Y、Z三個方向的擬合誤差. 本節共使用了240個參考歷元擬合區間，檢核點最多時達到29 040 個，分別統計在不同節點個數和擬合階數下J01 和J07衛星廣播星歷X、Y、Z方向的擬合誤差，J01 衛星的統計情況如表3～5 所示，J07 衛星的如表6～8 所示，需要注意的是節點個數要大于等于擬合階數，所以表3～8 給出了表格的上三角部分.

表3 X 方向上節點個數與擬合階數不同組合的擬合誤差mm

表4 Y 方向上節點個數與擬合階數不同組合的擬合誤差mm

表5 Z 方向上節點個數與擬合階數不同組合的擬合誤差mm

表6 X 方向上節點個數與擬合階數不同組合的擬合誤差mm

表7 Y 方向上節點個數與擬合階數不同組合的擬合誤差mm

表8 Z 方向上節點個數與擬合階數不同組合的擬合誤差mm

針對J01 衛星分析表3～5，當節點個數為7，擬合階數為7 時，X、Y、Z三個方向的Max 分別為12.48 mm、12.64 mm 和3.14 mm；當節點個數為10 和13，擬合階數為9 時，擬合精度指標在三個方向上均小于1 mm；當節點個數為16 時，精度隨著擬合階數的增加迅速提高，擬合階數為10 時，Max 在三個方向均為小于1 mm；當擬合階數超過10 時，存在所有擬合誤差不同程度上變大的情況，且耗時較長.

表6～8 是切比雪夫擬合法對J07 衛星廣播星歷擬合精度的統計結果，當節點個數為7，擬合階數取6 時，三個方向的誤差指標都小于1 mm，其中Z方向Max 最小；當節點個數為10 和13，擬合階數取7 時，Max 達到亞毫米級. 當節點個數為16 時，精度隨著擬合階數的增加迅速提高，擬合階數為7 時，Max 在三個方向均為小于1 mm；當擬合階數在8～12 時，擬合精度遠小于QZSS 廣播星歷米級的誤差，但隨著階數的增大計算耗時也逐漸增多.

3.2 不同時間間隔最優擬合階數

固定時間間隔下，擬合節點較多時，隨著擬合階數增大擬合誤差減小后增大，因此將三個方向Max 小于1 mm 且擬合階數最小的擬合階數定義為該時間間隔下的最優擬合階數. 繼續使用J01 和J07 衛星10 天的廣播星歷，在參考歷元前后30 min區間里，依次設置時間間隔為120 s、180 s、240 s、300 s和360 s，統計兩個衛星在最優組合擬合階數下的擬合精度如表9～10 所示.

表9 J01 衛星不同時間間隔下最優組合的誤差統計

由表9 和表10 可得，在固定擬合區間時，不同時間間隔下節點個數不同，當J01 衛星擬合階數取10 階和J07 衛星擬合階數為7 階的情況下，Max、Mean 和Std 都小于1 mm，滿足精度需求. 同時，對比分析J01 和J07 衛星的擬合情況可得，在節點個數相同時，達到亞毫米級精度所需的J07 衛星的擬合階數小于J01 衛星階數.

表10 J07 衛星不同時間間隔下最優組合的誤差統計

3.3 直接法與擬合法精度和效率對比

為比較直接法和擬合法的精度差異，圖1 和圖2 給出了J01和J07 衛星在時間間隔為360 s 擬合最優組合時三個坐標方向在240 個參考歷元區間內所有檢核點擬合法與直接法之間的差值.

由圖1 和圖2 可知，Z方向的擬合誤差小于X和Y方向的擬合誤差，但三個方向的擬合誤差均小于1 mm，所以擬合法對廣播星歷的精度影響可以忽略. 由于軌道類型不同，擬合誤差的分布也不完全一致，GEO 衛星擬合誤差明顯具有周期性.

圖1 360 s 時間間隔最佳擬合階數下J01 衛星擬合誤差

圖2 360 s 時間間隔最佳擬合階數下J07 衛星擬合誤差

在計算效率方面，使用擬合法時，只需將時間參數代入J01 和J07 衛星在X、Y、Z三個方向分別提供一個10 階和7 階的切比雪夫多項式計算衛星位置，而直接法計算過程中需要迭代計算. 經統計，J01 衛星使用10 階切比雪夫擬合法比直接法時間效率提高了15%，J07 衛星使用7 階切比雪夫擬合法比直接法時間效率提高了24%.

4 結束語

本文首先使用2020 年年積日第118—127 天的QZSS 廣播星歷數據計算了衛星坐標，然后以精密星歷為參考值，使用10 天計算所得的衛星坐標數據評定了廣播星歷的精度，最后利用切比雪夫多項式擬合法對10 天的衛星坐標進行擬合，得出以下結論：

1)在空間大地坐標系中，廣播星歷在X、Y、Z方向的Max 都小于7 m，Mean 不大于2.5 m，Std 最大值為1.728 m. 衛星軌道坐標中，N方向誤差大于R和T方向誤差. 總之，GEO 衛星的廣播星歷誤差大于IGSO 衛星，且所有衛星誤差均處于米級.

2)在固定時間間隔時，不同節點個數下擬合精度小于1 mm 的最優擬合階數不完全相等；節點個數較多時，擬合階數過低或過高擬合誤差都大于最優擬合階數的擬合誤差. 當擬合區間固定時，不同時間間隔的最優擬合階數變化不大. 相同擬合條件下，GEO衛星的最優擬合階數小于IGSO 衛星的最優擬合階數. 當三個方向的擬合誤差均小于1 mm 時，X和Y方向的擬合誤差大于Z方向的擬合誤差.

3)最優擬合階數下切比雪夫擬合法的擬合誤差不大于1 mm. 與直接法相比，運算效率也有所提高.因此，最優擬合階數的切比雪夫擬合法可作為一種QZSS 廣播星歷計算衛星坐標的方法.