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——《釘子板上的多邊形》教學與思考（二）

文|王扣蘭 張云杰

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第108、109 頁。

【教學過程】

一、創設情境，鋪墊規律

師：今年是建黨100 周年，同學們用自己的巧手表達了對祖國的熱愛。回顧“繞線釘子板”制作的過程，想一想：什么決定了你所繞圖形面積的大小？

生：我繞的第一幅圖，發現邊上的釘子越多，五角星的面積越大。

生：我同意，但我有補充。我繞的第二幅圖，發現里面的釘子越多，五角星就越大，外面的圓及整幅圖也相應就越大。

師：說得都有道理，老師從你們的“繞線釘子板”上“聞”到了一絲數學的味道。其實數學味更濃的釘子板還是我們的老朋友，（出示學具）這節課我們就借助它來研究釘子板上的多邊形。

【設計意圖：時值建黨100 周年，學生利用假期以一幅幅精美的“釘子板繞線畫”來表達自己的情感。“從經驗中學習，經驗是一切有價值的訓練的源泉”，從學生的行為操作活動經驗出發，以一個關鍵問題“什么決定了你所繞圖形面積的大小”打開學生的思維，幫助學生認識知識的起點，激發學生的學習興趣。】

二、實踐研究，初探規律

1.起點認知。

師：老師在釘子板上圍了兩個平面圖形：三角形（圖①）和梯形（圖②）。你能數數它們邊上的釘子數嗎？

（學生數，教師隨即板書）

師：如果每兩個釘子之間的距離是1cm，那你還知道什么呢？

生：每個小正方形的面積是1cm2。

生：三角形的面積是2cm2。

生：梯形的面積是3cm2。

（根據學生的回答完善板書《學習單1》）

2.觀察發現。

師：觀察黑板上的這兩組數據，你有什么發現？

生：面積是釘子數的一半。

師：僅僅根據這兩個圖形，能肯定這個發現嗎？（不一定）是的，這僅僅是你們的猜想，我們還需要更多的數據來驗證與支持。

3.驗證猜想。

（1）研究例題的后兩個圖形。

師：這里還有一個五邊形（圖③）和一個平行四邊形（圖④），請數一數、算一算、填一填《學習單1》，想一想這樣的規律還成立嗎？

學習單1

（學生獨立探究并交流匯報，后兩個圖形的數據也能證明猜想。同時，引導學生關注這些圖形的面積除了可以計算之外，還可以數一數，特別是第三個圖形，用數一數的方法更簡單）

（2）研究課前自己圍的圖形。

師：現在這四個圖形都能證明我們的猜想，那是不是所有圖形都存在這樣的規律呢？請同學們拿出課前圍的平面圖形（如下圖），也請你數一數、算一算，然后填一填《學習單1》，思考：這樣的規律還成立嗎？

（學生獨立計算，教師巡視收集資源：圖形內部只有1 枚釘子：符合規律；圖形內部釘子數不是1：不符合規律。組織交流，分別請兩名學生代表上臺匯報。如下圖）

4.比較歸納。

師：為什么老師畫的圖形都符合規律，而你們畫的圖形，有的符合，有的不符合呢？小組觀察《學習單1》上的四幅圖，再對比大屏上的四幅圖，有什么想說的？

生：我發現老師畫的圖形里面都只有1 枚釘子，我們畫的符合規律的圖形里面也只有1 枚釘子。

生：我同意，但我有補充。我發現不符合規律的圖形，里面要么沒有釘子，要么有2 枚釘子。

小結：看來多邊形的面積，除了與邊上的釘子數有關，還與它內部的釘子數有關。當多邊形內部的釘子數是1 時，多邊形的面積是多邊形邊上釘子數的一半。

師：當多邊形內只有1 枚釘子時，用n 表示多邊形邊上的釘子數，S 表示多邊形的面積，那么S=n÷2。

5.內化運用。

師：這一數學規律，是我們用多個例證一步一步探究而得的。那它有什么用呢？這是李明課前圍的一只“茶壺”，你知道這只“茶壺”的面積嗎？

生：3.5cm2。

師：你怎么這么快就知道的？

生：這個“茶壺”內部釘子數是1，邊上的釘子數是7，所以面積是3.5cm2。

師：求“茶壺”的面積，如果用數或者算的方式，你感覺如何？

生：感覺比較困難。

師：請你評價一下這個規律。

生：這個規律能幫助我們快速解答釘子板上的多邊形面積。

6.總結板書。

師：回顧規律得到的過程，我們是怎樣一步一步走過來的？

（總結板書：觀察—比較—猜想—驗證—總結—運用）

【設計意圖：波利亞曾說“學習任何知識的最佳途徑，是自己去發現。因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”教師適時制造了一個認知沖突，“到底什么樣的圖形才符合規律呢”，學生通過觀察比較，發現需要添加一個條件。這個環節不僅激發了學生刨根問底的探究熱情，還為后面研究a≠1 做好鋪墊。此環節教師適當地扶，讓學生初步經歷了探索規律的一般過程：觀察—比較—猜想—驗證—總結—運用，也讓學生在自主歸納規律的同時，提升了符號意識、數據分析觀念等。另外，教師特別注重評價研究：生生互評“我同意，但我有補充”；師生互評“你怎么這么快就知道的，你感覺如何”；過程評價“請你評價一下這個規律”，這樣的評價性語言讓課堂更有張力，更有深度。】

三、分組合作，拓展規律

1.合力探索。

師：用這個方法，我們探索出了內部只有1 枚釘子的規律，那接下來你覺得可以繼續研究什么？

生：內部有2 枚釘子的多邊形。

師：你們準備怎樣研究呢？

生：我建議小組合作，團隊的力量比較大。小組內四個人分別在釘子板上圍一個不一樣的內部有2 枚釘子的多邊形，數一數、填一填，然后把其中三個人的研究數據合起來探索出規律，最后用這個規律來驗證第四個人的圖。

（小組合作，借助《學習單2》進行探究，教師巡視指導）

2.小組匯報。

交流匯報：小組上臺匯報，展示四幅圖形及《學習單2》，介紹小組的研究過程，說說小組的發現，其他小組及時補充。

學習單2

得出結論：當多邊形內有2枚釘子時，S=n÷2+1。

3.數形結合。

利用多媒體技術展示多邊形邊上的釘子數不變，面積與內部釘子數的變化。明確S=n÷2+1 中，“+1”加的是哪部分？

【設計意圖：“要想走得快，就一個人走；要想走得遠，就結伴而行”。學生已經有了a=1 的探究經驗，接下來自然而然地產生了a=2的探究內需，探究的形式是引導學生組成學習共同體，開展合作學習、互助式學習，讓學生真正站在學習的正中央。】

四、推動內驅，完善規律

1.類比推理。

師：你還想研究什么？

生：內部有3 枚釘子、4 枚釘子、0 枚釘子……

師：根據內部有1 枚釘子和2枚釘子的規律，先猜猜內部有3枚釘子的規律可能是什么樣的？

生：S=n÷2+2。

2.分組研究。

師：以小組為單位展開研究，開始前先明確活動要求。

活動要求：（1）議一議：每個小組確定一個研究主題；（2）畫一畫：小組成員按照研究主題完成《學習單3》；（3）理一理：組長收集并匯總成員研究信息；（4）說一說：觀察表格，小組交流，共同匯報研究成果。

（學生小組合作探究并完成《學習單3》）

學習單3

得出結論：當多邊形內有__枚釘子時，S=______。

3.交流成果。

分組匯報：釘子板內部有0枚釘子時，S=n÷2-1；釘子板內部有3 枚釘子時，S=n÷2+2；釘子板內部有4 枚釘子時，S=n÷2+3。

師：照這樣寫下去，5 枚呢？6枚呢？10 枚呢？你有什么發現？

生：前面都是n÷2；后面加的數比內部釘子數少1。

師：你能用一個簡潔的表達方式概括出這里所有的規律嗎？

生：釘子板內部有a 枚釘子時，S=n÷2+a-1。（板書）

4.深化認知。

師：下面，我們用一組動畫來感受規律的由來。

五、運用規律，拓展認知

1.運用規律。

師：下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？

生：喇叭邊上釘子數是8，內部釘子數是0，則S=8÷2-1=3cm2。

生：小貓邊上釘子數是20，內部釘子數是2，則S=20÷2+1=11cm2。

生：小狗是兩個多邊形的組合。身體面積：S=12÷2-1=5cm2；尾巴面積：S=4÷2-1=1cm2；總面積：5+1=6cm2。

2.回顧過程。

師：回顧探索和發現規律的過程，你有什么體會？

（學生自由說）

3.拓展規律。

師：同學們，今天所學的規律也叫“皮克定理”。我們一起來看看關于“皮克定理”的微視頻。說一說，有哪些異同點？

生：表示面積、內部釘子數和邊上釘子數的字母不一樣，但規律的本質內涵是一樣的，都是用“邊上釘子數÷2+內部釘子數-1”。

師：真是一群會思考、能探究、善總結的孩子！通過一節課的努力，不僅探索出大數學家皮克發現的定理，還能靈活運用。老師希望你們能保持這樣的探索熱情，一直這么深度思考下去！

【設計意圖：教師是學生的鏡子，學生是教師的影子，教師關注什么，學生就能得到什么。探索規律，重在探索二字，讓學生學會思維，經歷過再三的思考直至它在個人經驗中生根。整節課，學生經歷了“發現—會發現—愛發現”的學習過程，尋幽探徑，這樣的學習過程、發現過程是學生自己創生的，如此便是深度學習。】