HPM視角下復數的教學

陳碧如

摘要：復數是為了解決數學本身的問題而引入的。本文對復數教學進行了研究，闡明了復數的歷史發展過程以及復數的幾何意義，針對當今學生學習復數的情況，給出了教學上的意見。

關鍵詞：復數;歷史;應用;教學

很長一段時間以來，似乎數學教育的目的僅僅是弘揚科學精神，而人文教育則很少被提及，從而導致數學與其他學科特別是人文學科的過度分離，導致數學教育過程中人文精神的進一步喪失。針對這個問題，教育部進行了新一輪的課程改革。新課程的改革主旨就是提高學生的數學素養和整體素質，在《普通高中數學課程標準》的課程理念中要求了體現數學的文化價值，提出“數學是人類文化的重要組成部分”。

復數的產生、發展經歷了漫長而又艱難的歲月，具有深刻的歷史意義，而我們在平時的教學中總是忽略。復數是在人們解方程時引入的。從意大利數學家卡丹1545年寫下復數平方根那一刻起，到1831年德國數學家提出了完備的復數幾何解釋，人類認識復數經歷了漫長的300年。這300年的歷史包括了虛數的引入，復數的幾何解釋和復數的應用。虛數在很長的一段時間內都籠罩在一層神秘的面紗之下，后來因為復數被廣泛地應用到各個領域，人們才慢慢地開始接受它。隨著復變函數理論的日漸發展和壯大，復數不僅在數學學科內，還在其他領域，比如力學、電學、航海航空等方面扮演著重要角色，正因為如此，人們對復數的認識也從此進入了一個新的境界。

從復數發展的歷史來看，我們發現人類在認知復數的過程中曾經產生了困惑。由此可見，數學家在研究復數的進程中遇到的問題也可能是學生在學習復數的過程中的難點。前車之鑒，后事之師，根據歷史上數學家沖破認識障礙的這個過程，可以指導如今的教學設計和課堂活動。

（一）、復數教學中應注意的問題

如今復數是中學內容和高等數學緊密聯系的重要內容，也是高考考查的重點之一。因為復數具有多樣的表示形式，靈活地計算方法，以及具有融合代數、三角函數、幾何為一體的特點，使學生在應用復數解決問題時感到了較大的難度。因此，復數的教學應該如何抓住重點，突破難點是一個重要的問題。結合實際，我認為，妥善處理好以下幾個問題至關重要。

1、復數與實數的關系

因為復數是由實數擴充來的，它與實數既緊密聯系又有區別。在教學中，教師往往因為在介紹復數與實數的聯系和區別上不到位導致學生在解題時總是出現知識性的錯誤。因此老師在教學中除了講授好復數與實數的基礎知識以外，還應該補充一些針對性的問題給學生多加練習，以利于加深學生對復數與實數的聯系與區別的認知。

2、復數表示的多樣性和運算的合理性的關系

復數表示形式的多樣性決定了它既有代數運算又有三角函數的計算，因此，復數的運算在復數的教學過程中應該被加以足夠的重視。實踐證明：采用實踐—類比—歸納總結的教學方式效果最好。比如，復數代數式的加減與合并同類項進行類比，代數式的除法與分母有理化進行類比等等。在此基礎上，引導學生注意運算的合理性以及靈活性，努力做到避繁就簡。

3、復數中數形結合的思想

任何一個復數，它的表示形式無論是代數式還是三角式，都有鮮明的特點和意義。因此在明確了其意義的前提之下，將復數問題代數化，通常可以得到化繁為簡，事半功倍的效果。

（二）、復數的教學

為了更好的做好教學設計，我查閱了相關的文獻。研究表明，已經學過復數的學生中，百分之六十的學生對這個定義產生過疑惑，歷史上人們剛開始接受復數的時候也存在著同樣的疑惑，這一點驗證了歷史理論的相似性。百分之八十的學生對的來歷不甚了解，即使學了復數還有百分之六十的學生認為虛數是虛幻的，是不存在的，百分之七十七的學生認為虛數沒有用途，將近一半的學生認為虛數這個概念是復數整章中最難的部分。而百分之二十八的學生對于書本中利用方程引入虛數單位這種做法表示不能接受甚至是非常不能接受，僅只有百分之三十八的學生對此表示沒意見。以上這些數據表明，學生在復數的學習過程中確實存在了一些問題，對于復數的概念的存在性都不甚了解，對于書本中的引入方式也不是很能接受。從上述數據可以看出目前學生學習復數的情況：對于復數本身的相關概念知之甚少，例如虛數單位怎么來的？復數有什么用途？這種刻板的學習方式并沒有達到學習數學的真正目的—數學學于生活并應用于生活。因此我們為了達到更好的教學效果需要嘗試改變復數的教學方式。

同時，研究表明，學生學習新概念的最直接的動機是來自于這個概念的用途，有用的知識學生才愿意去學。對于一個新的概念，百分之七十二的學生希望了解它的歷史背景，百分之四十五的學生希望最先知道新概念的來源，百分之三十五的學生希望最先了解新概念的用途，只有百分之二十的學生希望直接介紹新概念的內容。據調查，最受學生喜歡的概念的介紹的順序是來源——內容——用途，理由是：符合邏輯順序，從了解到應用。

1、虛數的引入

這部分的內容教材安排在3.3.1節“數系的擴充和復數的概念”，為第一課時，作為新課的引入部分。

在教材中，引入虛數是為了解決方程x2+1=0在實數域中無解這個問題。假設i為方程x2+1=0的根，那么i2=-1。再把這個i添加到實數集中，就構成了一個新的數集。在這個數集中，方程x2+1=0是有解的，x=i。這種引入似乎是一種很好的引入虛數的方式，但是，有的學生就會問，初中里老師說x2+1=0是沒有實根的，那么現在為什么又要引入這個i作為這個方程的根呢？

其實在歷史上，引入虛數i并不是為了解決二次方程根的問題，而是為了解決三次方程的根的問題。先是有卡丹等人發現三次方程的解中有負數平方根的存在，再到后來的邦貝利和萊布尼茲等人對負數平方根的思考以及理解，才引入這個數。那么，遵循歷史來給學生引入虛數是不是能更加符合學生的認知呢？因此，根據虛數的歷史，我做了以下教學設計，以供參考。

“虛數的引入”教學設計

回顧我們之前學過知識，可以看到，數系的每一次擴充都是為了更好地解決問題。自然數中我們為了解決減法運算我們引入了負數;整數中為了解決除法運算我們引入了分數;有理數中，我們為了解決開方運算引入了無理數。那么，在實數范圍內，是不是也存在著我們解決不了的問題呢？

我們知道二次方程ax2+bx+c=0的求根公式為。同樣的，對于三次方程x3+bx+c=0也有求根公式，。但是當用這個求根公式解三次方程x3-15x-4=0是遇到了困難。一方面，帶入公式我們得到。我們知道，在實數范圍內，負數是沒有平方根的，所以這個根不存在。但是，另一方面，對方程進行因式分解我們可以得到（x-4）（x2+4x+1）=0，顯然這個方程有三個實數根。

那么怎么解釋這兩種求解的結果不一樣呢？問題的關鍵在與是否有意義。為了解決這個問題，我們只能承認負數在某一個數系里面能開平方根，規定為虛數單位，這樣問題就得到了解決。

2、復數的幾何意義

這部分的內容是教材3.1.2節，是第二課時。教材中的做法是直接給出的復數的兩種幾何意義：（1）a+bi與復平面上的點（a，b）一一對應;（2）a+bi與平面向量OZ一一對應。這種方式雖然簡單，但是沒有讓學生體驗這兩種幾何表示的形成過程，沒能展現虛數的直觀形象。

我們知道歷史上，引入虛數是為了滿足人們解方程的需要。但是虛數畢竟是想象出來的數，是抽象的，人們找不到它的原型，所以一直對它持有懷疑的態度，復數也一直籠罩著一層神秘的面紗。這種情況一直持續了200年。在這期間為了證明這個虛數的存在，人們一直試圖尋找一些能夠直觀表達虛數的方式，韋塞爾、阿爾岡就是其中的代表人物。在他們工作的基礎上，才創立了如今的復平面。因此，了解復平面的由來能幫助我們更好地理解復平面。此外，讓學生經歷這樣一個探索復數幾何意義的過程能讓學生將虛數化抽象為具體。

3、復數的應用

復數的應用這部分內容被安排在學生學完復數之后，是為了消除學生腦中虛數是“虛幻”的這個錯誤的觀念而安排的。教師可以在課堂上做簡單的介紹，或者讓學生自主學習。

復數通過復數的幾何意義可以直觀地展現在人們面前，這證實了虛數的存在性。但是虛數的廣泛及其奇妙的用途才是被人們接受的真正理由。復數在無論上理論上還是實際生活中都起到了重要的作用。同樣地，對于學生，只有讓他們知道復數的實用性，才能讓他們真正的認識復數，接受復數。數學是源于生活并且服務于生活的。作為一名老師，應該使學生樹立正確的數學觀。因此，學完復數之后，讓學生了解復數的奇妙的用途很有必要。

參考文獻

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