用分式方程解決價(jià)格問題

趙小冬

價(jià)格問題中有三個(gè)基本量：總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量，其基本關(guān)系式是“總價(jià) = 單價(jià) × 數(shù)量”. 下面舉例說明如何用分式方程來解決價(jià)格問題.

例1（2021·四川·南充）超市購(gòu)進(jìn)某種蘋果，如果進(jìn)價(jià)增加2元/千克要用300元;如果進(jìn)價(jià)減少2元/千克，同樣數(shù)量的蘋果只用200元. 求蘋果的進(jìn)價(jià).

解析：設(shè)蘋果的進(jìn)價(jià)為x元/千克，根據(jù)等量關(guān)系“進(jìn)價(jià)增加2元/千克要用300元，進(jìn)價(jià)減少2元/千克購(gòu)買同樣數(shù)量的蘋果只用200元”列分式方程[300x+2=200x-2]，解得x = 10. 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 10是原分式方程的解，且符合題意. 則蘋果的進(jìn)價(jià)為10元/千克.

變式1：將“同樣數(shù)量”改為倍數(shù)關(guān)系.

例2（2021·四川·眉山）為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學(xué)以體育為突破口，準(zhǔn)備從體育用品商場(chǎng)一次性購(gòu)買若干個(gè)足球和籃球，用于學(xué)校球類比賽活動(dòng). 每個(gè)足球的價(jià)格相同，每個(gè)籃球的價(jià)格相同. 已知籃球的單價(jià)比足球單價(jià)的2倍少30元，用1200元購(gòu)買足球的數(shù)量是用900元購(gòu)買籃球數(shù)量的2倍. 求足球和籃球的單價(jià).

解析：設(shè)足球單價(jià)為x元，則籃球單價(jià)為（2x - 30）元，根據(jù)“用1200元購(gòu)買足球的數(shù)量是用900元購(gòu)買籃球數(shù)量的2倍”列方程[1200x] = 2 × [9002x-30]，解得x = 60. 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 60是原分式方程的解，且符合題意，∴2x - 30 = 90. 則足球單價(jià)為60元，籃球單價(jià)為90元.

變式2：將“同樣數(shù)量”“倍數(shù)關(guān)系”改為“和差關(guān)系”.

例3（2021·江西）甲、乙兩人去市場(chǎng)采購(gòu)相同價(jià)格的同一種商品，甲用2400元購(gòu)買的商品數(shù)量比乙用3000元購(gòu)買的商品數(shù)量少10件. 求這種商品的單價(jià).

解析：設(shè)這種商品的單價(jià)為x元/件. 根據(jù)等量關(guān)系“甲用2400元購(gòu)買的商品數(shù)量比乙用3000元購(gòu)買的商品數(shù)量少10件”，列分式方程[3000x-2400x=10]，解得x = 60. 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 60是原分式方程的解，且符合題意. 則這種商品的單價(jià)為60元/件.

（2021·浙江·嘉興）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽. 901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍. 求熒光棒的單價(jià).（答案見第31頁(yè)）