活用條件 巧妙求值

劉頓

對有關分式的條件求值問題，除了套用常規方法外，在許多情況下需要根據條件及待求式的結構特征，采取適當的方法方能順利求解. 現就常見技巧，列舉四例進行簡要說明.

一、變換條件，歸一代入

例1（2021·四川·南充）若[n+mn-m] = 3，則[m2n2] + [n2m2] = .

解析：根據題意，由[n+mn-m] = 3，得n = 2m，將2m作為一個整體代入即可求值.

∵[n+mn-m] = 3，∴n = 2m，∴[m2n2] + [n2m2] = [m2（2m）2] + [（2m）2m2] = [14] + 4 = [174]. 故應填[174].

反思：本題意在考查分式的化簡求值，求解的關鍵是能從條件出發得到兩個字母之間的關系，從而實現從整體上代入約分求值.

二、變形條件，直通結論

例2（2021·四川·資陽）若x2 + x - 1 = 0，則3x - [3x] = .

解析：由條件可得到x - [1x]的值，而3x - [3x] = 3[x-1x]，從而可以直接求值.

∵x2 + x - 1 = 0，顯然x ≠ 0，∴x + 1 - [1x] = 0，即x - [1x] = -1，

∴當x - [1x] = -1時，3x - [3x] = 3[x-1x] = 3 [×] （-1） = -3. 故應填-3.

反思：本題是常規題型，卻頻頻出現在中考試卷上. 請同學們注意體會其解題方法.

三、巧用特值，直接代入

例3（2021·江蘇·蘇州）已知兩個不等于0的實數a，b滿足a + b = 0，則[ba+ab]等于（ ）.

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

解析：考慮分別取令實數a，b滿足條件a + b = 0的簡單的具體數值，直接代入計算求解.

∵兩個不等于0的實數a，b滿足a + b = 0，∴ab ≠ 0，

∴取a = 1，b = -1，∴當a = 1，b = -1時，[ba] + [ab] = [-11] + [1-1] = -2. 故選A.

反思：選取特殊值法，直接代入計算求解，對于具有特殊結構的條件求值問題值得效仿. 另外，本題也可以將待求式變形，即[ba] + [ab] = [a2+b2ab] = [（a+b）2-2abab]，從而達到整體代入、快速求解的目的.

四、增元變換，巧妙化簡

例4（2021·山東·菏澤）先化簡，再求值：1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2]，其中m，n滿足[m3] = - [n2].

解析：1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2] = 1 + [m-nm-2n] × [（m-2n）2（n+m）（n-m）]

= 1 - [m-2nm+n] = [m+n-m+2nm+n] = [3nm+n].

顯然，待求式化簡后有兩個字母，條件等式卻只有一個.

從條件等式的結構特點上看，可將[m3] = - [n2]變形為[m3] = [n-2]，

設[m3] = [n-2] = a，從而得到m = 3a，n = -2a，∴原式 = [3（-2a）3a-2a] = [-6aa] = -6.

反思：增元看似復雜，但整體過程十分簡潔. 對于某些特殊結構的條件求值題值得模仿.

1. （2021·廣東）若x + [1x] = [136]且0 < x < 1，則x2 - [1x2] = .

2. （2021·福建）已知非零實數x，y滿足y = [xx+1]，則[x-y+3xyxy]的值等于 .

3. （2021·山東·東營）化簡求值：[2nm+2n] + [m2n-m] + [4mn4n2-m2]，其中[mn] = [15].

（答案見本頁下方）

第21頁答案：1. E 2. A 3. E 4. E

第27頁答案：1. ∠2 = 70° 2. ∠1 + ∠3 = ∠2

第29頁答案：1. 43° 2. [75°]

第31頁答案：1. -[6536] 2. 4 3. [119]

第33頁答案：B

第35頁答案：1. x = 3 2. x = [23]

第37頁答案：1元